CHAPITRE XXXIII

APPLICATIONS DIVERSES DE LA THÉORIE DE LA LUiNE.

Calendriers lunaires.

On retrouve ces calendriers chez toutes les populations nomades. Les phases de la Lune ont servi primitivemenrt de signal pour indiquer les époques de réunion aux tribus disséminées par la vie errante des premiers âges; elles ont donné la première division du temps. Les saisons n'ayant pas alors le rôle important qu'elles ont pris chez les populations agricoles fixées au sol, les premiers calendriers n'eurent qu'un rapport fort mal défini avec Tannée. En revanche, la période des phases fut étudiée et fixée avec exactitude. Nous avons vu qu'elle est de 29^,5306 ou 29^^ à peu près. Le calendrier des Turcs et des Arabes est fondé sur cette donnée. On compte par lunaisons, qu'on fait alternativement de 29 et de 3o jours, et qu'on groupe par douzaines, afin de tenir compte grossièrement du mouvement annuel du Soleil, dont la révolution est de 12 lunaisons et ^. Une année lunaire se compose donc de 29^,5 X 12 = 354"'. Elle ne saurait suivre longtemps la marche du Soleil; l'erreur serait de 34 jours, c'est-à-dire de plus d'un mois en trois ans. Elle est donc totalement impropre à guider les travaux agricoles ; aussi les populations fixées qui, par tradition, ont conservé leur calendrier lunaire, doivent-elles en suivre un autre, exclusivement solaire, pour les besoins de tous les jours, à moins de les combiner tous les deux, par quelque compromis, comme ont fait les Hébreux.

Quant au calendrier purement lunaire, encore en usage aujourd'hui chez les Musulmans pour les usages civils et religieux, il a été réglé avec une précision parfaite. L'alternative de 39 et de 3o jours ne tenant compte que de la fraction 0,5, il reste oJ,o3o6

d'erreur sur chaque lunaison. Au bout de trente années lunaires de douze mois chacune, cette erreur produirait un écart de o,o3oC X 3o X 12 = 1 1 jours à très peu près. On en tient compte en intercalant 1 1 jours complémentaires en trente années, c'està-dire en donnant 3o jours, au lieu de 29, au dernier mois de certaines années. Celles-ci se nomment abondantes.

Grâce à celte intcrcalation, le calendrier arabe suit les phases de la Lune moyenne à moins d'un demi-jour près. Au bout de la première année d'un cycle de 3o ans, l'erreur est de ^ de jour, de H au bout de la seconde, et ainsi de suite. Convenons de prendre, pour fixer le rang de l'année dans cette période, celle dont le jnillésime divisé par 3o laisse pour reste i , et, pour la trentième, celle dont le reste est zéro. Voici la règle instituée par les astronomes arabes: L ^ année sera abondante quand le rang de Vannée, dans le cycle trentenairCy multiplié par —^ dépassera un nombre entier de ^ ou de plus de ~.

L'ère est riiégyre, date politico-religieuse qui répond au vendredi 12 juillet 622 ap. J.-C. Les mois sont

Joart

MohaiTcm 3o

Safar 29

Rcbi 1" 3o

Rébi 2* 29

Djoiimada 1"^ 3o

Djouinada -à* 29

Redjeb 3o

Srliaaban 29

Ramadan 3o

Schouàl 29

Dzou'l Cadeh 3o

Dzou'l Iledjeh 29 ou 3o

354 ou 355

La semaine est une très anlique subdivision du mois lunaire en sept jours. Comme il est impossible de la maintenir en harmonie avec la Lune, ( lie sort simplement à compter les jours par de> noms propres et à ré-ler les jours Itrirs revenant à courte période. Mais ellcconstiuie, à clic seule, une chronologie indépendante qui permet, en beaucoup de cas, de contrôler les dates ordinaires.

lorsqu'on y énonce à la fois le quantième du mois et le jour de la semaine. Voici les noms des jours chez les musulmans.

Youm-el-ahad Dimanche.

Youm-el-thany Lundi.

Youm-el-thaleh Mardi.

Youm-el-arbaa Mercredi.

Youm-el-khanis Jeudi.

Youm-el-djouma Vendredi (jour férié).

Youm-el-scbt Samedi.

D'après la règle d'inlercalation trentenaire, le i*^"^ de chaque mois répond à la nouvelle Lune, ou plutôt à la première apparition de son croissant, le soir, à Touest, peu après le coucher du Soleil, et la pleine Lune au i4 de chaque mois.

Nombre d'or.

Lorsque des populations entières se fixèrent au sol, adoptant la vie agricole, elles conservèrent leur ancien calendrier pour les époques légales et religieuses, mais elles sentirent bien vite le besoin d'un calendrier des saisons, réglé sur la marche du Soleil. Il fallut établir entre les deux computs une concordance quelconque, de manière à conclure aisément de l'un à Tautrc. Les Athéniens envoyèrent dans ce butMéton en Orient (433 av. J.-C); il en rapporta le nombre d'or. Voici en quoi consiste ce cycle :

I année solaire =: 12,368265 lunaisons,

ou bien, en fraction continue,

I an = 12 H

A la troisième réduite, on trouve-^— ^, rapport approché à

près. Ainsi les phases de la Lune reviennent en coïncidence avec les mêmes datés du calendrier solaire tous les 19 ans. Il suffit donc

d'avoir noté, pendant la durée d'un pareil cycle, les dates des nouvelles et pleines Lunes pour être en état de rédiger les calendriers des années suivantes, c'est-à-dire d'y marquer d'avance les phases principales de la Lune, car ces phénomènes s'y reproduiront juste aux mêmes dates. On trouve à la première page de la Connaissance des Temps \enon\hTe d*or pour Tannée courante 5 c'est le rang de cette année dans le cycle de Melon.

Le cycle solaire est relatif aux calendriers solaires et aux jours de la semaine. Quatre années juliennes contiennent 365^,25 xi ou365J X4+ iJ. Par conséquent 28 années juliennes contiendront 365 X 4 + I semaines. Au bout de 28 ans, les jours de même nom répondront aux mêmes dates. Si le 1 5 avril i88o,Meux style, est un mardi, le i5 avril 1908 sera encore un mardi^ et dans aucune autre année intermédiaire on ne retrouvera la même coïocidence. C'est donc un moyen de vérifier les dates.

Fête de Pâques.

Cette fête a été fixée, d'après l'Exode, au quatorzième jour du premier mois lunaire de l'année, le mois où mûrissent les épis (en Egypte). De là, pour les Hébreux, la nécessité d'un calendrier lunaire concordant avec les saisons. Dans un tel calendrier, le quatorzième jour d'un mois quelconque est le jour de la pleine Lune. Le concile de Nicée ayant adopté le calendrier solaire des Romain*, et voulant suivre autant que possible la tradition, fixa h» jour de Pâques à la première pleine Lune du printemps ; plus cxaclement, au dimanche qui suit la pleine Lune qui tombe le ai mars ou apn"* le 21 mars. On a imaginé pour ce calcul l'artifice des l'^pactrs, basé, comme les calendriers précédents, sur une lune fictive a>ant même longitude moyenne que la Lune réelle, absolument comme les jours solaires moyens se règlent sur un soleil fictif ayant même longitude moyenne que le Soleil vrai. Ne pouvant exposer ici ce système, nous donnerons, sans démonstration, la règle de Gaussqui le remplace. Soit M le millésime de Tannée : désignons par c/, b. c, d, e les restes des divisions suivantes

La fête de Pâques sera le 22 -{- d -{- e mars ou, ce qui revient au même, led-^e — 9 avril. S'il s'agit du calendrier julien, X =: i5, j' = 6, à perpétuité. Pour le calendrier grégorien, on a :

Do 1700 a 1709.

De 1800 à 1R99.

Pei9ooà Z099

Par exemple, en 1882, on a jc = 23, j^ = 4 î puis on trouve

aizzr, ^=z2, c = 6, t/=: 12, c =: 6;

par conséquent, le jour de Pâques tombe le 12-I-6 — 9 ou le 9 avril.

Cette fête ne saurait arriver plus tôt que le 22 mars ni plus tard que le 25 avril.

Ajoutons que les inégalités des mouvements vrais de la Lune et du Soleil s'élèvent à une dizaine de degrés que la Lune ne parcourt qu'en oJ,8; les phases de ces divers calendriers, réglés sur des mouvements moyens, peuvent donc différer de près d'un jour des phases réelles, sans compter les petites erreurs de l'intercalation.

3a8 LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIV.

Période chaldéenne.

Les Anciens altachaicnt une grande importance à ces phénomènes. Ils avaient réussi à les prédire avec assez d^exactilodef grâce à une période découverte par les observateurs de Babvlone, et ils trouvaient, dans le succès de ces prédictions, un moven de frapper les esprits et de démontrer à tous la puissance et la sûreté de leur science. Leurs observations ont même conservé de nos jours une grande valeur, parce qu'une éclipse de Lune ou de Soleil, de Soleil surtout, fixe les positions relatives des trois astres avec une précision qu'on était loin d'atteindre dans les autres genres d'observation. On se sert encore aujourd'hui, pour la théorie de la Lune, des éclipses observées à Babylone il y a a5 siècles el conservées dans VAlmageste,

Il n'était pas difficile de voir que les éclipses ne se produisent qu'aux syzygies, lorsque la Lune se trouve en môme temps dans l'écliptique ou très près de ce plan. Partout ailleurs, aux oppositions, la Lune pleine passe au-dessus ou au-dessous du cône d'ombre de la Terre ; aux conjonctions, le cône d'ombre que la Lune nouvelle projette passe au-dessus ou au-dessous de notre globe. En tenant un registre de ces phénomènes pendant des siècles, les anciens finirent par remarquer que les éclipses (relativement à un même nœud) meltaient un temps déterminé, environ i8 ans, à par^ courir Técliplique, et qu'au bout de ce temps (2a3 lunaisons^ elles se reproduisaient dans le même ordre. C'était un moven de prédiction, car ayant formé pendant 223 lunaisons consécutives le tableau de tous ces phénomènes, comprenant 4' éclipses de Soleil el 29 de Lune, avec leurs caractères et leurs dates, il sufljsait

d'ajouter 228 lunaisons, c'est-à-dire 18 ans 11 jours, à la date de l'un d'eux pour retomber sur celle d'un phénomène semblable et placé exactement de la même manière dans la période suivante. C'est ainsi, du reste, qu'on étudie, encore aujourd'hui, la plupart des phénomènes météorologiques dont on ignore la cause ou la loi . Par exemple, on compulse les anciens registres d'observation pour y chercher la période des grands hivers, celle des étés chauds et secs, etc., dans l'espoir d'arriver à en prédire le retour. On n y a guère réussi, parce que ces phénomènes-là sont bien plus compliqués que les mouvements célestes.

Il est facile d'expliquer le succès des Chaldéens. Chaque éclipse s'opère à la rencontre plus ou moins exacte de trois points circulant autour de la Terre indépendamment l'un de l'autre, le centre du Soleil, le centre de la Lune, le nœud ascendant de l'orbite lunaire. La période de rencontre des deux premiers est de 29^,53060; la période de rencontre des deux derniers est de 27J ,2 1 229 (p. 3o2). Si le rapport de ces deux périodes était égal à celui de deux nombres entiers assez simples, m et /z, au bout de m lunaisons ou de n révolutions draconitiques tout se retrouverait dans le même ordre, du moins en supposant les mouvements uniformes, et les relations de position qui se présenteraient dans la seconde série seraient la reproduction exacte de celles de la première. Si donc, dans la première, on avait compté 4^ éclipses de Soleil et 29 de Lune, plus ou moins complètes, on retrouverait dans la seconde série les mêmes éclipses se succédant dans le même ordre, avec le même caractère, à m lunaisons d'intervalle des premières.

Pour chercher ces deux nombres entiers, réduisons la frac-

tion -^ en traction continue.

On trouve

33o LIVRE VI. — CHAPITRE XXXIV.

Les réduites successives sont — > — > ^-j j-y — «? ••••

II 12 37 47 î*^3

Arrêtons-nous à la dernière, parce qu'il se trouve qu'au bout de 223 lunaisons le nœud a presque fait le tour de récliplique. Pour s'assurer du degré d'approximation, on n'a qu'à transformer ces deux termes en jours :

223 lunaisons = 6585j,37,

242 mois draconitîques = 6585, 37.

C'est 18 ans 11 J (10» s'il y a eu 5 bissextiles). Au bout de ce temps les trois mobiles reviennent sensiblement aux mêmes positions. On compte dans cette période ^i éclipses de Soleil et 29 de Lune. Si une éclipse totale de Soleil, par exemple, a été enregistrée à une certaine époque, il suffira d'ajouter à celte date 18 ans ii^ ou un multiple de cette période, pour retomber sur une autre éclipse totale ('). C'est ainsi que Thaïes a dû procéder pour annoncer l'éclipsé totale de Tan 584 avant J.-C, éclipse dont les historiens ont fait mention parce qu'elle a mis fin à la guerre des Mèdes et des Perses.

On ne manquera pas de remarquer que cette période des éclipses est uniquement basée sur les mouvements moyens du Soleil, delà Lune et du nœud. Or nous avons vu que les inégalités de la Lune et du nœud peuvent très bien s'élever à 8° ou 9**; celles du Soleil vont à près de 3**. Il semble donc que la période chaldéenne ne peut remettre ces trois mobiles en mêmes positions relatives qu à 10° près. S'il en était réellement ainsi, la régie qu'on en a déduite pour prédire les éclipses devrait se trouver souvent en défaut, car nous allons voir qu'un pareil écart serait capable d'empêcher une éclipse de se reproduire, ou de transformer une éclipse totale en une éclipse à peine perceptible. Cependant on sait par expérience qu'elle est très exacte. Ainsi les éclipses totales, à durées exceptionnelles, de 1868 et de 1886 répondent parfaitement à Téclipse de i85o, quand on ajoute à la date de celle-ci la période ou le double de la période chaldéenne.

(') Ou du moins très considérable. Au reste, si leclipsc est totale pour quelque région de la Terre, celle de la période suivante ne le sera |>as nécessairement pour les mêmes points.

ÉCLIPSES DE LUNE ET DE SOLEIL. 33l

C'est que ce cycle tient plus qu'il ne promet. Nous avons vu déjà que la révolution anomalistique de la Lune est de 27J,5545. Eh bien, 289 de ces révolutions font encore 6585J, 5, ce qui ne diffère de la période chaldéenne que de ~ de jour. Ainsi, à 18 ans i H d'intervalle, le Soleil, la Lune, son nœud, son périgée, se retrouvent aux mêmes points; le périgée du Soleilrevient au sien aune dizaine de degrés près, ce qui est insignifiant ici. C'est ce singulier concours de quatre mobiles, presque de cinq, qui fait le mérite de cette curieuse et utile découverte des temps les plus anciens.

Limites des éclipses.

Pour savoir, indépendamment de cette période, si une éclipse se produira ou non à une syzygie, il suffit de calculer pour cette date la distance de la Lune à son nœud le plus voisin. S'il s'agit d'une éclipse de Lune, l'éclipsé n'aura lieu que si L — N<[ 12**. Pour une éclipse de Soleil, il faut que L — N soit <^iy^. Ces limites montrent même pourquoi il y a plus d'éclipsés de Soleil que de Lune dans la période précédente. Le rapport des nombres ||, qui exprime leur fréquence relative, est bien celui de ces limites la et 17, qui expriment leurs possibilités.

On arrive fort simplement à ces nombres en considérant la figure suivante, relative à une éclipse de Lune. Si l'on mène TB parai-

A Fi g. Ga.

lèle à AC, l'angle / du cône d'ombre terrestre sera donné, p' étant le rayon du Soleil et p celui de la Terre, par

sin/=i =z sm - A' — sin?: ,

d'où

La longueur A du cône d'ombre sera

TC = -^ = h; sin/

si /* est le rayon vecteur de la Lune, la section droite de ce côik, dans Tendroit où la Lune le parcourra, sera

(A — r)sin/.

Pour qu'il y ait au moins contact entre la Lune et le c6w d'ombre, il faut que la somme des demi-diamètres angulaires de cette section et de la Lune, vues du point C, soit égale à la distance des centres. Si la Lune ne fait que raser le cône d'ombre, celU somme exprimera la distance du centre de la Lune à l'écliptique. En la divisant parle rayon vecteur r, on aura le sinus de la latitude de la Lune ou de 90° — p. Et comme

sin ( L — N ) m cet i col p,

on sera en état de calculer L — N.

Faisons ce calcul pour une éclipse de Lune dans les circonstances les moins favorables, celles où la Lune est périgée et le Soleil apogée. On prendra (p) pour unité. La valeur la plus faible de jA'esl de i5'44"î par conséquent

La plus petite valeur de /' est 5y. Le rayon de la section du cône

d'ombre que la Lune traversera sera = o,t42. El comme

le rayon x de la Lune est de o,c>j3, on aura pour leur somme

i,oi5. Par conséquent colJ3 = — ^z — ^) et l'on trouve finalemenl

L — N= 1 1°47'> en prenant pour i sa plus petite valeur. Si donc la Lune au moment de l'opposition est à 12^, ou plus, du nœud, l'éclipsé est impossible. On trouverait de môme pour les éclipses du Soleil la limite 17°.

Calcul d'une éclipse de Lune.

Les phases d'une éclipse de Lune se produisent au mémo instant pour tous les observateurs; il n'y a pas lieu de tenir corapt'de leur position géographique. On s'en servirait même fort avantageusement pour déterminer, sans calcul, les longitudes terrestres.

comme par les éclipses des satellites de Jupiter, si les phases d'une éclipse de Lune étaient susceptibles d'être observées avec précision. Nous ferons d'abord abstraction de l'atmosphère.

Fig. 63

L'éclipsé partielle ou totalecommencera etfinira(yf^. 63)lorsque la sphère L touchera extérieurement ou intérieurement le cône d'ombre qu'elle traverse. A ces deux instants, le demi-diamètre apparent^ D de L, vu du point C, sera égala LGT — /ou à/ — LGT.Il faut donc exprimer ces angles ^ D et LCT en fonction du temps. Les coordonnées de la Lune étant, à la date t^ TL= r, L et p, celles du Soleil ST=/-' et Oi celles du sommet C seront TC et Ô =0 — i8o*^. Gela posé, prenons des axes mobiles : la droite TC pour axe des Xy une perpendiculaire à TC dans le plan de l'écliptique pour les y^ et une normale à ce plan pour les z. Les coordonnées rectilignes de la Lune, auxquelles on joindra leurs variations horaires a, 6, c, seront, à la date t-\-^,

5 1= rcos p-f- a6, jc=:r sin^ ces L 4- ^6, / = rsinp sinL 4- c6.

Transportons l'origine en C et changeons le sens de Taxe des.r ; les nouvelles coordonnées 5', x'y y seront

Z:^Zy J7'=zTC — Xy y'^zzy.

Soit d la distance variable CL ou s/z''^-^ x''^-\-y'^^ nous aurons

sin-Drz:-,, cosLCT=-7> 1 a ci

d'où

sm LL 1 = ~— •

La relation susdite entre les angles LCT, ^D et/, c'est-à-dire l'équation des éclipses

LCT— /=±iD

deviendra, en prenant les sinus.

cos/— -T sin/= d: -.

ou, en élevant au carré.

On portera dans cette relation les valeurs de s! ^ ^^ >'', en fonction du temps 6, ce qui donnera, pour chaque signe, une équation du second degré en 6 dont les deux racines 6' et Ô'' résoudront la question. Avec le signe — , par exemple, l'heure du premier contacl intérieur, ou le commencement de l'éclipsé totale, sera /-hV; le deuxième aura lieu à l'heure t -1-6''.

Si on voulait calculer l'instant où un cirque de la Lune pénètre dans le cône d'ombre, il faudrait déduire, d'une carte de la Lune, le* coordonnées z"^ x"^ ^'"dece point rapportées au centre de la Lune, et résoudre l'équation

qui exprime que le point considéré se trouve sur le cône d'ombre. En réalité, la lumière du Soleil n*est pas complètement interceptée dans une éclipse totale de Lune, en sorte que cet astre ne disparaît pas tout à fait. L'interposition de notre atmosphère augmente l'angle / du double de la réfraction horizontale ou d'environ i*'. La longueur de ce cône d'ombre pure, calculée par

sin(/-+- !«)=: ^,

n'est que de 4^i tandis que la plus courte distance de la Lune à la Terre va à 57. Aussi la Lune, même quand elle se trouve entièrement plongée dans l'ombre géométrique, est-elle encore leinle d'une lueur rose, analogue aux couleurs de Taurorc. Cependant l'atmosphère, qui fait ici l'effet d'une lentille convergente, joue aussi le rôle d'un absorbant pour la lumière, dans les couches l>asses surtout. L'ombre incomplète projetée sur la Lune est mal terminée; et, grâce à celte circonstance sans doute, le cercle de l'ombre parait plus grand de ^jy environ qu'il ne l'est en réalité;

par suite, dans Je calcul toujours peu rigoureux de ces phénomènes, les astronomes se croient obligés d'ajouter iS^' ou 16" à l'angle / (^environ).

Éclipses totales de Soleil.

Ces beaux phénomènes sont bien autrement précis que les précédents, parce que la Lune n'a pas d'atmosphère et que tout se passe, à très peu près, comme s'il s'agissait du contact géométrique de deux cercles. En même temps que le cône d'ombre projeté par la Lune balaye la surface de la Terre, celle-ci tourne autour de son axe PF : (Jig 64) pour déterminer les instants où l'un de

Fig. 64.

ses points, Paris par exemple, entre dans le cône d'ombre ou en sort, il faut tenir compte à la fois de ces deux mouvements. Déterminons d'abord la ligne des points où l'éclipsé paraît centrale, c'est-à-dire des points où la droite SL perce l'ellipsoïde terrestre,

A une date donnée, à l'heure sidérale H^, temps de Paris, le globe est rencontre par SL en un point dont les coordonnées géocentriques seront p, ç etL. Rapportons co point à un système d'axes mobiles, celui des x étant dirigé vers le point y, celui des y (dans Téquateur) à 90° du premier dans le sens direct, et l'axe des z étant la ligne des pôles. On aura, par la Connaissance des Temps, à l'heure H^, pour le Soleil,

^' zi= r' coso', a?' =: r'sino'cosiR', /' = r'sinô'siniR',

et pour la Lune

^mrcoso, x-=zrsinùcosMy ^ = rsino siniR;

r et r devront être exprimés au moyen du rayon équatorial de la Terre pris pour unité. Les équations de la droite SL seront, avec

les coordonnées courantes X, Y, Z,

et celle de l'ellipsoïde terrestre

Ces dernières équations fourniront les coordonnées î^, ;, t, du point de rencontre. On aura les coordonnées géographiques du point par

Ç=:pcoso, $ = psin©cos(L-4- Hp), tj =i p sino sin(L -H H;,'*.

car à rheure sidérale H^, temps de Paris, le méridien de Paris fail l'angle H^ avec celui du point y, et le méridien du lieu fail l'angle L -f- H^ avec ce mêmcméridien initial. Enfin, de la colalilude géocentrique <p, on déduira la colatitude géographique \ par

langX =:(i — e')tang<p,

ou en retranchant i^ de l'angle o.

On recommencera le calcul pour d'autres heures H'^, H^,, ... : on obtiendra ainsi les coordonnées d'une série de points situés sur la courbe de centralité {voir la figure de la p. 34o).

Prédiction des contacts intérieurs en un lieu donné.

Lorsqu'on aura tracé la courbe de la centralité sur une carie, on sera en état de juger, à quelques minutes près, des instanlâ où se produiront les contacts intérieurs en un point quelconque M, assez voisin de cette trajectoire pour que l'éclipsé y soit lolalc, sinon centrale. Soit t la moyenne de ces instants; on prendra dans les éphémérides, aux instants t -^ lo™, t -h lo"*, les coordonnées M el 0 du Soleil et de la Lune et leurs demi-diamètres, en a\anl soin de rapporter les o de la Lune au pied N de la grande nor-

maie AN de robservateur (*). On calculera ensuite les azimuts et les z de ces astres aux mêmes instants t — lo"* et t-\- lo™, de manière à obtenir les variations horaires a, 6, c de leurs différences. En sorte qu'à Tinstant ^ -f- 0 on aura pour les différences d^azimut des distances zénithales et des demi-diamètres :

Il ne reste plus qu'à exprimer que la distance angulaire des deux astres est égale à la somme ou à la différence de leurs demi-diamètres apparents ^Ai, * A', -f- cO. C'est le problème dont nous avons déjà donné la solution à propos du passage de Vénus (p. 21 5). On aura donc la même équation

^^+c6y=(..'-t-fcey4-(.