I-h«C0SîP ^,, ,1 — rt'cos

fWni ' ■ -+-/Mm'

Les mêmes triangles donnent

r'=: I -h 2acoso -h a',

Développons (i H-rtcos'^ + a*) ^ et (i — aa'cos'^ -j- a'^) ^ en nous bornant aux deuxièmes puissances des petites quantités a et a', puis divisons par la somme des masses m 4- m'; nous aurons, pour Taccélération en G,

7 ni — la m cos z — à^m ( ces' s |

-, m' + 2 aV/i' cos^ — a'^m'l- -cos'^ j ;

m -\- m mais, G étant le centre de gravité, on a

PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. SlQ

d'où, en désignant a H- a' par d,

dm' , dm

Par substitution, les deux termes du premier degré en d se détruisent, et il vient finalement, en rétablissant Rd'abord pris pour unité,

Force accélératrice en G •^.^rr i — rrr ; r-i \ cos* c? | •

Le second terme est insensible, car

iL — (—\ — ' H* "" \38G; "" i5oooo'

mm' i

et T r-r = iT-> comme nous le verrons tout à Theure.

On trouverait de même que la force accélératrice perpendiculaire à SG est tout à fait insensible. On voit donc que la seule force appréciable qui sollicite le système TL est dirigée vers le Soleil,

est appliquée au centre de gravité G et a pour expression *~j-«

Par conséquent c'est le point G qui décrira autour du Soleil une orbite elliptique conformément aux lois de Kepler. Seulement la masse sera m H- m', et c'est aussi celle qu'on donne ordinairement sous le nom de masse de la Terre,

La longitude du point T sera égale à celle du point G, calculée suivant les lois du mouvement elliptique et augmentée de a, angle

qui se déduit de

sin ot zz= - sin 9 = t: ; sin '>& >

à très peu près.

Or cp = T — a est sensiblement C — ©. Il résulte de là une petite inégalité dans les mouvements de T, dont la période sera le mois lunaire, c'est-à dire 29^,5. Elle aura pour expression

206265" H ^'' ; sin (C — O).

En comparant des observations du Soleil faites aux époques où C — O cst.de 90° ou de 270°, c'est-à-dire vers les quadratures, on

a trouvé 6",5o pour la valeur de ce coefBcient. On aura dooc, en

, d simr'

remplaçant TT par —. — >

-- sin Ti' m ^m f

simr m H- m

Masse de la Lune.

On en déduit

logC'.So 0,81291

C»log 206266'. 4,68557

logsioTr' 8,21995

C logsimr'... 4, 8693 1

, = ô ' d ou — = 3

L'erreur probable de ^" ^^o est au plus de iiio"',o5; celle

de — est donc inférieure à ih -rr environ, et celle du dénomÎDam 1 00

teur 80,7 à zh o,G.

Le rayon a de la petite orbite décrite mensuellement par la Terre

autour du point G est ^ > ou, comme rf = 60, 3 (p) à peu près,

ol ,7 elle ne dépasse pas les j du ra>on de notre globe. Le point G esl donc toujours dans rintéricur de la Terre. De là une inégalilé mensuelle du rayon vecteur de la Terre. Après Tavoir calculée pour le point G, par les formules du mouvement elliptique, on doit lui ajouter

Comme Torbitc lunaire est inclinée de 5** sur récliplîque, plan de Torblte décrite par le centre de gravité G, la Lune se trouvera tantôtau-dessus, tantôt au-dessous de ce plan, et laTcrro, par contre, tantôt au-dessous, tantôtau-dessus. Ces petits écarts du centre de la Terre, vus du Soleil^ sous-lcndront un angle égal à moins d'une seconde. Réciproquement, le Soleil, vu de la Terre, paraîtra s'écarter de ce petit angle-là du plan de Técliptiquev De là une

PRINCIPALES INÉGALITÉS. TABLES DE LA LUNE. 3ai

petite latitude du Soleil dont les variations dépendront de C — Q. On en tient compte dans les éphémérides et dans les calculs qui exigent une grande précision.

Rotation de la Lune.

La Lune nous présente toujours la même face. Elle tourne donc autour d'un axe à peu près perpendiculaire au plan de Técliptiquc dans un temps égal à celui de sa révolution autour de la Terre, c'està-dire en 27^,321. Le jour, sur la Lune, est égal à sa révolution sjnodique oude 29J ^. En observant les taches de la Lune, Cassini a reconnu que son équateur est incliné de 2°45'sur l'écHptique et que le nœud descendant de cet équateur coïncide constamment avec le nœud ascendant de Torbite lunaire. Newton, Lagrange et Laplacc ont fait voir que ces relations si précises, qu'on ne retrouve dans aucune planète, sont dues à une seule et même cause, l'attraction que la Terre exerce sur le renflement ellipsoïdal de la Lune. La théorie montre en effet que la Lune doit avoir la figure d'un ellipsoïde à trois axes légèrement inégaux dont le plus long est tourné vers la Terre et la suit constamment, en oscillant un peu de part et d'autre de cette direction.

Ces oscillations mêmes, nommées libration, n'existeraient pas si le mouvement de translation autour de la Terre était uniforme comme la rotation. Laplace a prouvé que, si la rotation lunaire ne peut suivre les rapides variations périodiques du mouvement de révolution, elle est forcée du moins de participer à sa variation séculaire, en sorte que la merveilleuse égalité qui existe aujourd'hui entre les deux périodes se maintiendra toujours.

Nous voyons ici un exemple frappant de l'intime solidarité de tous les membres du système solaire. L'action perturbatrice des planètes fait diminuer*peu à peu, de siècle en siècle, l'excentricité de l'orbite terrestre; cette diminution provoque une accélération séculaire dans la révolution de la Lune autour de la Terre, et la rotation de la Lune est forcée à son tour, par l'attraction de la Terre, de participer à cette accélération.

Ces effets n'iront pas en s'accumulant indéfiniment. Ce n'est que pour quelques centaines de milliers d'années que l'excentricité de notreorbite ira en diminuant; dansla suite des âges, cette diminu- IL 21

lion s'arrêtera et sera remplacée par une augmentation longtemps progressive. Les variations séculaires des éléments, que nous avoDs représentées par at -h bf^ -|- . . • , ne sont au fond que des variations périodiques à périodes immenses; Lagrange et Laplacc ont montré entre quelles limites elles seront maintenues.

Il est bien peu probable que la Lune ait été placée dès r origine dans de telles conditions. La rotation d'un astre étant, en général, absolument indépendante de son mouvement de translation. Tégalité rigoureuse actuelle de ces deux durées n'a pas pu e3âster à Forigine. La Lune a dû avoir une rotation très diflercnle de cellf qu'elle possède aujourd'hui et dont la lenteur extrême est si exceptionnelle. Tout porte à croire que la Lune a été à l'origine en pleine iusion d'incandescence, qu'elle a été recouverte ensuite par umr mince croûte solidifiée, et que les fortes marées produites dans b masse interne par l'attraction de la Terre ont ralenti progressivement sa rotation, de manière à l'amener, vers l'époque de sa consolidation définitive, à l'état actuel, qui est celui d'un équilibre lés^èrement oscillatoire et qui ne conserve plus d'autres traces de FéUl primitif que l'énorme marée lunaire qui s'est figée dans la direction de notre globe.