TE
Si nous considérons le mouvement moyen de la Terre, la formule gêné' raie de l'aberration devient d'après cela
a = 20",2S sin p.
Ainsi, en envisageant le mouvement apparent du Soleil, on voit que, par suite de son mouvement et de la vitesse de la lumière, sa position apparente est déviée de sa position vraie d'une quantité égale à 20'',25, puisque, lorsque l'on considère la lumière solaire, on a sensiblement
La longitude du Soleil est donc toujours plus grande que ne le donne l'observation, parce que le Soleil s'est avancé de 20^25 pendant le temps que la lumière a mis à parcourir la distance moyenne de cet astre à la Terre; autrement dit, nous voyons toujours le Soleil au point de son orbite où il était 8"17%7 avant l'instant de Inobservation,
PHÉNOMÈNES DUS A L'aBERHATION DE LA LUMIÈRE.
298. Explication de Veffet de raherraiion sîir la position apparente des étoiles. — Nous allons voir maintenant comment V aberration de la lumière explique ce petit mouvement elliptique annuel observé par Bradley pour toutes les étoiles, et vient par suite confirmer le mouvement de translation de la Terre autour du Soleil,
Soient S le Soleil, T^, T^, T,. ... (fig. 171) les différentes positions de la Terre dans son orbite, que nous pouvons supposer circulaire,
Tous les rayons menés à Tétoile des différentes positions de la Terre peuvent être regardés comme parallèles.
Considérons d'abord la Terre en T^.
Si , sur la direction de la tangente à Torbite en ce point, nous prenons une longueur T^a représentant la vitesse de la Terre en ce point et sur le rayon T^E une longueur T^^ représentant la vitesse de la lumière^ en construisant le parallélogramme bT^ae, on aura, suivant T^e, la position de /Vioile.
L'angle ET/= a est, comme nous l'avons déjà vu, donné par la relation
o = 20",25sinEToû,
ou, en représentant 20",25 par o et l'angle ET^^a par p ainsi que nous l'avons déjà fait,
a = Ssinp.
Considérons, en particulier, cette position T^ de la Terre (fig. 172); sup-
ASTRONOMIE. — GÉOMÉTRIB CéLBSTE.
posons que T^â représente la direction du mouvement de la Terre, et T^r la ligne des équinoxes^ aT^r étant le plan de Técliptique.
p. ^,2 Soient T^E la position vraie de Tétoile,
£/ /^ T^tf sa position apparente.
Projetons T^E sur le plan de Tédiptique en T^Ej ; vT^E^ représentera la loogitude vraie /' de l'étoile et Tangie ETfi^ sa latitude vraie X\ •
Du point Tq comme centre, décrivons une sphère dont les intersections avec les droites T^^E, T^û et T^E, déterminent -^i le triangle sphérique fnac.
La ligue T^e rencontre le côté nui €Q m'; mm est Vaberratim qui correspond à la position T^ de la Terre.
Projetons m' en m" sur Tare oc et eo n sur Tare me; mn est ce que Ton appelle Vaberratton en latitude et m'e est Pûberradon en longitude,
299. Détermination de raberration en latitude et de l aberration en Ion-
gitude. — Le petit triangle mnm' que Ton peut considérer comme rectiligne
et rectangle en n, donne
mn = mm' cos m ;
mais, à cause du triangle sphérique mca^ il vient
tang me tang V
cos m = ; — = 7—^.,
tang ma tang ^
donc il vient, en remarquant que mm' =r a,
a tang X' mn = -
ou comme a = 8 sin p,
tangp '
mn = 0 tang V cos p ; maisy dans le triangle mca^ on a
cos p = cos me cos ca = cos X' cos ca;
mn=s^ tang X' cos X' cos ca = S sin V cos ca;
ca = SToû — SToEj = 90* — • ST^E, ,
ST,E, = vT,E, — vT,S = /' — 0,
donc mais et
PHÉNOMÈNES DUS A l'ABBRRATION DE LA LUMIÈRE. 369
en appelant 0 la longitude géocentriqae du Soleil ; donc
ca = 90 — (/'—©), d'où
win = 8 sin X' sin (/' — 0).
Ce qui donne la valeur de V aberration en latitude en fonction de 8 = 2(r,25, de la latitude de l'étoile et de la différence entre sa longitude et celle du Soleil.
L'aberration en longitude cm'' est donnée par la relation
mais
cm'' = nm' sec (V — nm) == nm' sec X';
nm' = mm* sin m = a sin m = 8 sin p sin m;
or^ dans le triangle sphérique cma^ on a
sin ca sin m =
donc
sin p'
nm' = 8sinca=8sin[90— (^'— 0)] =ocos{/'— 0),
et par suite,
cm" = 8 cos (/' — 0) sec X'.
Telle est la valeur de Taberration en longitude.
300. On peut mainlenant faire voir que les différentes valeurs de (/' — 0), c'est-à-dire les différentes positions de la Terre dans son orbite, font décrire à l'étoile une ellipse apparente.
Soit E (fig. 473), le lieu vrai de rétoile dans la voûte céleste, dans laquelle nous ne considérons que l'élément plan qui passe par le point E.
Soient BB' l'élément rectiligne du cercle de latitude de l'étoile et AA' l'élément rectiligne du cercle perpendiculaire.
Admettons que e représente la position apparente de l'étoile résultant de r aberration.
Menons ep perpendiculaire à AA' et eq perpendiculaire à BB'. Si AA' représente l'axe des X et BB' Taxe des Y, on aura
Fig.
370 ASTRONOMIE. — CéOMÉTRIE CÉLESTE.
MaiSy d'après la figure 172^ on a évidemment^
y = ep= mn = 0 sin V sin (/' — ©), X = E/) = nm* = r; = 0 cos (/ — O).
La valeur maximum de y aura donc lieu quand /' — © =- 90* ou /' — 0 = 270'.
C'est-à-dire quand le Soleil sera dans le cercle perpendiculaire au cercle de latitude de Téloile ; la Terre sera alors en T, et T^ (fig. il\\ La valeur maximum de x aura lieu quand /' — © = 0, c'est-à-dire quand le Soleil sera sur le cercle de latitude de l'étoile, la Terre se trouvera alors en T, ou T,.
On a» dans ces deux cas,
y=8 sin V= B, x = Z =A;
il vient donc, pour toute autre position de la Terre,
y = B sin (/'—©), X = A cos (/' — O).
Élevant au carré ces deux équations, multipliant la première par A', U seconde par B' et faisant la somme, on a
B«jr« + Ay = A'BS
qui est bien Viquation d'une ellipse.
On voit donc que le mouvement apparent d'une étoile doit, en vertu de Taberration, s^effectuer sur une ellipse dont le demi petit axe B est dirigé dans le cercle de latitude et diminue avec la latitude de rétoile, et dont le demi grand axe, le même pour toutes les étoiles, est égal à 20\25.
La théorie s'accorde parfaitement avec les milliers d'oùservations faites sur les étoiles, et la découverte de Bradley a par suite définitivement établi le mouvement de translation de la Terre, mouvement dévoilé ^ Copernic.
301. Dans la détermination que nous venons de faire, nous n'avoos pas eu égard à la forme elliptique de Torbite terrestre, c'est-à-dire que nous avons supposé nulle son excentricité e ; on peut y avoir égard en reprenant la question d'une manière plus générale.
Laissons de côté la vitesse propre que peut posséder la source lun»neuse, vitesse qui en raison de Timmenseéloignement des étoiles ne peut produire qu'un déplacement apparent insigniBant, et nommons
PHÉNOMÈNES DUS À L'ABBRRATION OB I«A I^UMIÈRB»
V la vitesse propre de la lumière;
V " la vitesse de la Terre à un moment donné;
et V la vitesse qui résulte des deux premières en vertu du parallélogramme des vitesses.
Rapportons les directions de ces vitesses à trois axes rectangu* laires X, Y, Z (fig. 474), menés du centre de la Terre à Vèquinoxedu priu" temps f au Cancer et au pôle boréal de Técliptique.
Fig. 174.
Fig. 175.
Appelons X', Y', Z' les angles que fait la directiqnV'avec les axes; X", Y", les angles que fait la direction de la vitesse V", située évidemment dans le plan XTY, avec les axesTX et TY; cl enfin X, Y,Z, les angles que fait la direction de la vitesse V avec les axes de coordonnées. On aura d'après le théorème des projections
( V cos X= V cos X' + V cos X% [ V cos Y=: V'cos Y' + V" cos Y", (vcosZ = V'cosZ'.
Soient t la longitude géocenfrique vraie de l'astre A'; V sa latitude géocenirique vraie;
l la longitude géocentrique apparente de Tastre vu en A (fig. 474) ; X sa latitude géocentrique apparente.
Si l'on imagine une sphère ayant son centre en T (fig. 175), la ligne TA' sa projection Ta' sur récliptique et la ligne TX détermineront les sommets i, c, d d'un triangle sphérique rectangle 6, c, e/, dans lequel on aura
cos X' = cos X' cos/';
le triangle rectangle bgc donne aussi
cos Y' = cosX'sin/',
et enfin on a évidemment
cos T = sin X'.
Par analogie, on aura aussi
cos X = cos X cos /, cos Y = cos X sin /, cos.Z = sin X.
En substituant ces valeurs dans les formules (1), elles deviennent
IV cos X cos / = V cos X' cps /' + V" cos X", V cos X sin / = V cos X' sin T + V" cos Y", Vsiu'X =V'sin V;
d'où Ton déduit, en remarquant que cos Y" = sin X",
cos X' sin /' + Y? sîn X"'
(3) tang / = .
cos X' cos /' + — cos X"
(4) sin X = — sin X'.
En élevant au carré chacune des formules (2) et en faisant la somme, on a
V't =: v» j^ av'v cos X' (cos V cos X" + sin /' sin X") + V^,
ou, en extrayant la racine carrée par approximation et en s*arrétaul au terme à cause de la petite valeur relative de V,
V = V + V cos X' (cos /' cos X" + sin /' sin X"), m déduit
^' = 1 - ^' cos V (cos /' cos X" + sin /' sin X"),
a alors pour sin X, d'après l'équation (4), et en mettant V à la ) V qui en diffère peu,
V" ) sin X = sin X' — — cos X' sin X' cos (f — X*^.
lation (3) devient aussi, en effectuant la division et en s'airôtantao terme.
^ , ^ ^ , Vsin(X"-^r) tang/^tangf + YTeosVcos-r'
