FORMULES DE PRÉCESSION ET DE NUTATIOX
306. D'après ce que nous avons dit dans notre introduction, on sait que Torbite terrestre, c'est-à-dire récliptique, ne conserve pas dans l'espace une même position et que Faction perturbatrice des planètes de notre système solaire fait varier cette position ; on sait aussi que Vaxe de la Terre et par suite son équateur ne se transportent pas parallèlement à eux-mêmes dans le mouvement de translation de la Terre autour du Soleil, mais que notre axe éprouve un mouvement conique connu sous le nom de précession et qui est modifié par de petites oscillations de cet axe autour d'une position moyenne, oscillations que l'on désigne sous le nom de nutation.
Comme l'équaieur et Vécliptique sont les plans auxquels on rapporte les positions des étoiles, ces positions sont donc modifiées par suite du déplacement de ces deux plaris. Pour pouvoir connaître les changements qui sont ainsi apportés dans les coordonnées équatoriales et écliptiques d'une étoile, il faut d'abord connaître comment s'etTectuent, avec letemps^ les variations de position des deux plans, écliptiquc et équatevr.
FORMULES DE PRÉCBSSION ET DE NCTATIOK. 381
Soient (fig. 179):
Y' E récliplîque en 1850;
Y la position de Téquinoxe moyen ;
r" E' Vécliptique, en 1850 + 1 ;
y' y' 6 Véqmteur^ en 1850 + t.
Appelons :
(i>o Vinclinaison de Técliptique sur l'équaleuren 1850.
(D l'inclinaison de Téquateur de 1850 4- t sur l'éeliptique de 1850.
Désignons t'c' par 4^, et en menant Tare y" F perpendiculaire sur y' E désignons Y F par 'J'i.
Enfin, appelons w, l'angle E' y" e' que fait Téquateur de 1850 + t sur l'éeliptique de 1850 + ^
Fig. 17».
La théorie des perturbations planétaires fait connaître^ en fonction du temps tf
yN = 6" et l'angle ENE' = <p", c'est-à-dire la position de Vécliptique de 1850 + ^ P^ rapport à Vécliptique de 1850.
La théorie du mouvement de la Terre autour de son centre de gravité, lorsqu'on a égard à l'action du Soleil et de la Lune sur ïïoXiq protubérance équatoriale, fait aussi connaître en fonction du temps t,
yy' = 4» et EyV = o),
c'est-à-dire la position de Véquateur de 1850 + t, par rapport à Vécliptique de 1850.
En considérant le triangle sphérique rectangle y' y" F (fig. 179), on a
tang y' F == tang y' y" cos w,
ou, approximativement,
4; — 4ij = y' y" cosw.
Mais du triangle y' y" N, on trouve
. , ,, sin<p''sin(4;4-0")
(m) sm y' y" = ^ , ^ — ,
^ ' sm CD,
382 AsrmoifOMiE. — géohétbie céleste.
ffiy cos fa^ = cos tù cùs f^" — 5în » sin ç" cos (4* + 0*^.
A l'aide de ces relations on peut obtenir «Oj et ^^ en fonction de 4^, «, ç" 6"; ces quatre quantités étant elles-mêmes obtenues, en fonction du temps, d'après les théories de la mécanique céleste, on peut aussi avoir &», et à^ en fonction du temps.
Si nous laissons de côté l'incertitude qui peut exister sur la râleur attribuée aux masses planétaires, et aussi l'erreur que Ton a pu commettre sur la valeur de la précession générale annuelle, 50',Î3572, et sur celle de la constante de la nutatiou, ^\U en déduisant ces constantes de l'observation, on trouve pour valeurs de ^y <■>, 4^,, et Wj^ en fonction du temps,
(I) 4;= 5(r,37i40 / —0,00010881 r« + V (fonction périodique),
(î) « = »^ + 0",00000719 ^* + û (fonction périodique),
(4) w,== to, — 0",47566 t — a',00000149 t* + û,
et aussi
(3) V=i— 17",264sinQ+0\«06sin2 Q~0%204sin2 C— l",264sin20, (6) û=+r,23cosQ-0',090cos2Q + 0^089cos2C +O",548cos20,
dans lesquelles,
Q désigne la longitude du nœud ascendant de l'orbite lunaire, C la longitude de la Lune, et O l<^l<»^Si^d^ <lu^^^'''
307. Ces formules font bien voir la part qui revient dans les phénomènes de précession et de nutation^ au Soleil^ à la Lune et à la longitude du nœud de la Lune.
Les parties périodiques V et û prennent le nom de nutation lumsolairCy et les parties séculaires de 4* et to celui de précession»
W est la nutation en longitude, et û la nutation en obliquité.
En laissant de côté c^s deux quantités, 4^, et w, représentent Tun le mouvement moyen de précession, l'autre l'obliquité moyenne de l'écliptique.
Les formules de la mécanique céleste qui donnent les angles 4^" et 6", c'est-à-dire le déplacement de Técliptique en 1850 -fr par rapport à celui de 1850, sont les suivantes :
o" sin 0" =0",05888, t + 0%00001964 1\ f cos 6" = — 0^,47566 1 -f 0",00000568 1\
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FORMULES DE PRéCESSION ET DE NOTATION. 383
308. Voyons maintenant comment, à l'aide des quantités co^ 4;^ r^" et 6* calculées au moyen des formules 3, 4 et 7, on peut déterminer ce que deviennent les coordonnées écliptiques et équatoriales d'une étoile rapportées à réquinoxe moyen de 1850.
i* Changement des coordonnées écliptiques.
Soient (fig. 180), A la position d'une étoile Y' E récliptique de 1850 T"E'l'écIip.ique j^^^3^^^^
Soient aussi p et p' les pôles des écliptiques tE et v'^E'. En menant les cercles de latitude pAA, et p'Aa^, on a
AAi = X latitude de A ) .^^^ * « , .. j j * M^n 1850, vA , = Q^ longitude de A )
A«. = X' latitude de A ) „,g5o + ^ Y a^ = ^ longitude de A )
Le triangle p'pk^ dans lequel on connaît
p'p = fy pA:5=90— X, ;>'pA = 90 + NA,=90+r-.r' permettra d'obtenir
p'A=90— X', />/>'A = 90-Na, = 90 — (^ — VN); comme FN est sensiblement égal à y"N, on a
pp'A=90-(4:'-e"-4.,).
384 ASJRONOmE. — GÉOMÉTRIE CÉLESTE.
Nous aurons d'abord
cos p'A = cos pp' cos pk + sin pk sin pp' cos p'pk
ou
sinV = cos <p" sin X — cos X sin f sin (^— 6*),
telle est la formule qui donnera V. Comme V diflftre peu de X, on peut It
simplifier. Posons
on aura sinV=:sinXcosa? + cosXsinx = coso"sinX — cosXsinç"sin(^— ^'i;
en faisant cos xetcos <p" égaux à Tunité, etsîna5=arsin 1% sin •*=ip''sinl', on aura
sinX + cos Xx sin l"=sinX — cosX<p"sin l"sin (4^— ^")>
d'où
a: = — ç" sin (4^ — 6"),
et par suite
(8) X' = X — o" sin (4^ — 6").
Le même triangle pp*k donne
cotang pk sin pp' = cos pp' cos p'pk + sin p*pk cotang pp*k ,
d'où
, cotang pk sin pp' — cos pp' cos p'pk cotang p/>A= ^^^^j^ •
ou
tang^^ « y,;- cos(<,— 6")
Mais comme v"«, diffère p«a de
nous pouvons poser
il vient alors en mettant à la place de ^ cette valeur
,.„git-.-+.v. = '-"""°<W,'"'^-'^
Si nous développons y d'après la série de Maclaurin, suivant les puissances croissantes de ^"y nous aurons, en nous arrêtant au second terme,
FORMCLES DE PRÉCBSSION ET DE !CDTATI0!1.
de l'équation précédente on déduit
On a donc
et par suite^ (9)
y, = 0 et (J^^ = tang X cos {^- r) , y = (p''tangXcos(^— 0"), s
Les formules (8) et (9) permettent donc d'obtenir les coordonnées écliptiques pour l'époque 1850 -|-f rapportées à Téquinoxe moyen de i850+^ On ferait évidemment t négatif dans la formule (3) si Ton voulait considérer une époque antérieure à 4850.
Pour rapporter la longitude ainsi obtenue à Yéquinoxe vrai ^ il faudra augmenter cette longitude de la nutation W de Téquinoxe.
2" Changement des coordonnées équatoriales,
309. Voyons maintenant comment, connaissant les coordonnées équatoriales d'une étoile A à l'époque 1850, on peut les obtenir pour 1850+^*
Soient (fig. 181) :
yE écliptiquedc 1850, T'E' écliptique de 1850 + t , Ts éqnateur de 1850,
386 ASTRONOMIE. <- GÉOMÉTRie CÉLESTR.
vV équateur de 1850 + t,
A la position de l'astre,
P le pôle de Téquateur de I85Ô,
F le pôle de Téquateur de 1850 + t.
AD = D déclinaison de A ) .ov/x
fx . • A '. A A en 4850,
yD = ♦l, ascension droite de A)
A!y=D' déclinaison de A ) .^^^ . .
'/ D = X ascension droite de A )
Appelons 6 l'inclinaison mutuelle des deux équateurs; le triangle v'tN' donne, en employant les analogies de Néper,
sm
/rs'v' — iN'v\
sîn
tang
et enfin
. ^ sintbsinco sin4/sina>.
suiN T sinN T
A l'aide de ces trois équations, on obtiendra
NV, N'Y et e.
On aura ensuite
Dans le triangle PFA on connaît maintenant
rF = 0, PA=90*-.D et P'PA = 90* — N'D ;
on pourra donc déterminer par les formules connues
FA = 90* — D' et l'angle PFA = 90 + N'D';
on obtiendra donc la déclinaison D'; et d'après la valeur de v^'y doooée plus haut, page 381,
ascension droite en 4850 + ^ = -^ ' = ^^'D' = y'N' — •i*"y' — N'D'
y'V s'obtient au moyen des formules (m) et (n) données pages 381 et 382.
Au lieu de suivre la méthode que nous venons de donner, on sortit pa
