CAUSE DE LA RÉTROGRADATION DES VLANÈTES

maximum; pour trouver le temps t qui y correspond^ il suffit évidemment de chercher la valeur de t qui rend maximum tang « = y* De Ja relation (1) on déduit :

^(rcosut — /costtY) (i/r'costi'^— tir cosm^) + (r'sinwV — rsînw^) {rusinui — /u'sinii'/) "^ (rcosut — r'coswV)'

yéquation qui donnera t relatif au maximum sera donc

ostt/— i^'costtV) (wV cos u7 — tir cosw^) + (r'sinuV — rsinw^) (rtisinti^ — r^u'sinu'i) =0,

d'où l'on déduit facilement

2 cos m' — u)t = ^ ,

II' est plus grand que ti^ donc (u' — u)t a le signe de t, et comme à un môme cosinus correspondent deux arcs égaux et de signes contraires, les deux valeurs ^ et — t, déduites de l'équation {¥}, satisferont à la question; c'est-à-dire qu*il y a deux instants à égale distance du moment de Topposition, Tun avant, l'autre après, pendant lequel la planète paraîtra stationnaire.

L'angle (u' — u)t déterminé par l'équation (2) est égal à l'angle M'ST=y, c'est-à-dire à l'angle nommé commutation; c'est la distance angulaire kéliocentrique de la Terre et de la planète.

Pour obtenir l'angle STM'=s, appelé élmgation, menons MU perpendiculaire sur le prolongement de ST; nous aurons alors

taBgMTH= —

(3) — tange= î— „

^ ' rcosY — r

en élevant cette équation au carré, on trouve

, r*(1— cos'y)

° (rcosY— »^)'

et en substituant à cos y sa valeur (2) et réduisant, on trouve

Les formules (2) et (3) pourraient se simplifier par la considération que

( " j = -^, ainsi que nous l'avons vu plus haut.

La rormule (2) donne^ en effet.

.^ r C0SY= —

ces Y- sa

(rV)« cos Y=

et la formule (4) devient

L'arc de rétrogradation effectué depuis Topposition, est évidemment égal à l'angle XTM', en supposant que T et M' soient les positions de la Terre et de la planète au moment de station ; mais on a évidemment

XTM' = XTS— MTS = 180— w7 — e,

et par suite l'arc entier de rétrogradation étant partagé en deux par le point d'opposition, on aura pour arc total p de rétfH>gradaiion

et ^t sera la durée de la rétrogradation.

D*après la formule (5) on voit qu'en observant l'angle d'élongalion d'une planète au moment de sa station, et en supposant le rayon de l'orbitç terrestre égal à Tunité, on peut facilement obtenir une valeur approchée du rayon de l'orbite (supposée circulaire) de la planète; cette formule (5) donne en effet

r = - tang» e -j- tang ei/i + - tang' e.