PERTURBATRICE
(•) Voir le chapitre ii des Armâtes de l'Observatoire impérial, tome I"
iS6 ASTRONOMIE. — NOTIONS DE MECANIQUE CÉLESTE.
Ces variations différentielles sont, en nommant n le mouvement moytn. (2) -.=^5a*n — -j-H ^^ r + — =r -3-,
dt"^ e \u dTz I ^ Y^îir? IX * e/e '
rf' e ] |x'aV+ v^ïll^ ï*'^?'
ç^P__ on m' dR *" 2 m' fdR
df^ V^r=^sin?>'^®"" do a.n m' dR
^2 m' /dR iR\
rf' V^i— tf'sinç I* ' ^?
On peut substituer à « la nouvelle variable
/ étant la longitude moyenne à Tépoque /.
Par suite de certaines considérations analytiques Téquation (ï; peut être remplacée par la relation
dl . de
dt = '"^dr
c'est-à-dire qu on peut néglfger le terme t . -r-, à condition qu'en formant
, , . , dR . -de , . , , , , . . , j,
la dérivée -j- , qm entre dans --r-, onn ait pas égard a la variation du coef'
ficient n dans la longitude moyenne nt + t.
Ou bien en attachant à -7- ce sens restrictif, on conserve l'ensemble des da
équations X et Ton pose
c*est-à-dire p = w^; d'où, d'aprè» la relation n = a^,
dy__dn 3 '^da^ dt'^'~ dt "" 2 dt'
P est donc déterminé par l'équation
/^N d'û ^ ^ m' dK
dt* (A ae
Les équations différentielles (1) à (6) précédentes et cette dernière (7) forment un système de sept équations différentielles, relatif au mouvement de la planète m, et qui devra être considéré avec le système d'équations du même genre relatives à la planète m'. Pour cette dernière planète la fonction perturbatrice sera
R' = (r* + r'«— 2rr'.s)"» —^,s.
Les équations différentielles des variations des éléments elliptiques de la planète m\ troublée par la planète m, se déduiront de celles que nous venons d'indiquer en substituant dans ces relations
(a', e', e', it', 6' et R') à (a, s, e, w, o, 0 et R).
Si nous remplaçons^ dans les équations différentielles écrites ci-dessus, e par sin 4^^ ^ étant Tare dont le sinus est e^ on obtient
... da , 2m' , rfR ..... rf*p 3m' , rfR
,^. dt 2m' / dR\ , m' ,, ^ dR , m' ""'^"«s rfR
(2) ■j- = ttn[a-j-)-\ ancos*fang^.-^H ,
.„, de m' an dR m' , . "!' dR
(3) :r; = : -.-; on cos<ptang ^.-7-,
^ ^ dt (1 tang»}» dit |x ^ ®2 ds'
,., di: , m' an dR , m' """"^g ^j^ dt [L tang«|* rfe |A cos«|* c/ç
d<p m^ qn rfR m^^'^^"^^ /rfR dR\ d/ |A ' cos 4^ sin (p rfô fx cos»]/ \rfs"^d7c/*
. d6__m' <m rfR (// 1* cos 4^ sin ;p d^'
Avant de pouvoir effectuer l'intégration de ces sept équations différen* tielles, il faut donc avoir les dérivées partielles de la fonction perturbatrice R, relativement à a^ e, e, ir, o et 6.
Nous devons avant tout remarquer que cette fonction perturbatrice,
ASTRONOMIE. — NOTIONS DE MÉCANIQUE CiLBSTE.
contenant comme première partie l'inverse de la distance mutoelle des deux planètes, doit évidemment dépendre des éléments elliptiques de chaque planète et des positions de ces astres sur leur orbite. Pour pouvoir obtenir ces dérivées partielles de R, dont on a besoin, il faut donc mettre en évidence dans R toutes les quantités dont cette expression dépend. C'est ce que Ton nomme le développement de la fonction perturbatrice.
399. Nous allons essayer de faire comprendre^ brièvement» comment s'effectue ce développement Nous remarquerons d'abord que l'expression
R==(r«+r'* — 4rr'«) '-^^
se compose de deux parties, dont l'une
R,=:{r« + r'*— 2rr'5) *
est symétrique par rapport à r et à r', et, par conséquent, resterait la même si l'on considérait la fonction perturbatrice relative à l'action de m sur ni; c'est le développement de cette première partie que l'on obtient d'abord.
Celui de Rj — R = -^ se déduit ensuite de celui de R^, et l'on a finalement celui de R par la somme des deux développements
R, + (R-Ri) = R.
Soient rt (flg. 217), l'écliptique à une époque donnée, Nm l'orbite de m et N'm' l'orbite de m\
Fig. tl7.
Posons
yn:+ng=t
yN';+N'g=t'
Connaissant la situation des orbites approchées des deux planètes m et m' relativement à l'écliptique, on peut facilement calculer, par la trigo-
Qométrîe, r inclinaison mutuelle y des orbites, la longitude t du nœud ascendant de m sur m' et la longitude t' du nœud descendant de m' sur m. La longitude héliocentrique de m, à un moment donné, est
celle de m', au même instant, est
yN' + NW ==«;'.
Pour simplifier récriture, à la place de v qui détermine la position de m sur son orbite, on prend
rN' + N'G + Gm = tt, c'est-à-dire que Ton fait
u:=sv + t' — x;
et l'on substitue aussi aux trois quantités
/ longitude moyenne,
e longitude moyenne de V époque,
Tt longitude du périhélie,
que Ton considère habituellement, les trois autres variables
w = ir -J-*c' — T.
Le triangle mGw! (fîg. 217) donne, en remarquant que mm! = to, s = cos («' — t') cos (t? — t) -{- cos Y sîn (v' — x) sin [v — x).
Posons sin ^ = i|, on aura
cos Y = 1 — 2 sin' | = i — ^\ ei, par suite,
5 = cos(i/ — V — x'-f-x) — 2ïj'sin{t/ — x')sin(y — x); ou, en introduisant la variable u,
< = cos (v* ^ tt) — 2V sin (v' — x') sin (u — x'). Si Ton pose maintenant
490 ASTRONOMB. — NOTIONS DB MÉCÂMIQDE CÉLESTE.
on remarquera que x ei sf sont généralement ^ du moins pour les [danèles principales, des quantités très-petitesj et qu'il en est de même des équations du centre y et y\
En substituant ces valeurs de r, r\ th v* dans l'expression de R,, oo obtient
(9) R.= j û«(l+x)'+a'«(i+50»— 2ûû'(l+x)(l+x^)[cos(f-X+y'-y)- Vsin (/'+y'-T^sin (X + y-T')] j "î
On commence d'abord par négliger x^ x\ y et y. En désignant par R, cette valeur approchée de R,, on a
(lOj R. = [û« + a'*— iaa'cos(/'— X) + 4Vûû'sin(r— c^sinCX — T')^^
En considérant
a* + a'*— 2ffflC0s(r— X) comme un terme et
W oa' sin (/'— t*) sin (X— •:')
comme un antre terme, on développe l'expression R, en série d'après le binôme de Newton.
En s'arrétant au terme en r/, ce qui suffit généralement quand les orbites ont une faible inclinaison mutuelle ^ on obtient ainsi un développement dont chaque terme peut être représenté par
Nr.VûV + û'« — îrta' cos (/'— X)] "" ^' sin '(/'— t*) sin '(X - V; en donnant successivement à t les valeurs
En développant les fonctions radicales
o'a'y -fa*» — ^a' cos {l — X)] *"
en séries procédant suivant les cosinus des multiples de l'angle (f — X), et en changeant en sotnmes de cosinus les produits
sin \r — t) sin "(X — ï),
on irrive enfin, après avoir effectué tous les produits, à une expressioD de Ro qu'on obtient aussi simple que possible en ramenant tons les termes à pouvoir être représentés par le symbole
K'* ^^ cos {ir—kk—{i—h) t*).
c'est-à-dire que l'on a
(ii) Ro = 2:K<^' '^> cos (iT- k\— (i - A) xO.
t devant prendre toutes les valeurs entières positives et négatives, zéro compris, mais (i — A) de\2iï\i successivement être égal à
Dans ces quatre cas, le symbole
devient alors
ces quatre nouveaux symboles sont des fonctions do y)' et des coefficients de
cos t (/' — X)
dans le développement des fonctions radicales indiquées plus haut, coe/jîcients que Ton désigne respectivement par
AW, BW, G^o, D<S
suivant que Yindice du radical est
Le calcul des coeflScients
A«, BW, C^S Df'^ se ramène à celui des eœ/Jîcients du développement du radical
(l+a«— 2«cose)-,
suivant les cosinus des multiples de 0, s devant recevoir successivement les valeurs
Pour avoir le développement de R,^ quand on a obtenu celui de Rq, on remplace dans le développement (il)
a par a + x,
492 ASTRONOllIE. — ROTIONS DE MÉCANIQUE CÉLEâTI.
En se servant de la série de Tayior^ on arrive à un développeinent de R^ qui/ en s'arrétant aux puissances du 7* ordre de x, y et des produits de ces quantités, contient 15 termes dont les 14 premiers renferment alternativement
cos(t7' — AX-(t— A)tO, ou
sin{tr — AX— (t— A)t'),
ayant tous deux pour coeflScients K/''*> d'abord, puis Kj<*«*^K,<*« *>.... K <*• *>
Chacun de ces quatorte premiers termes renferme aussi comme facteur une tomme de termes qui sont les produits des expressions
«'"«cosAy, «'"«sînAy
par les deux autres expressions
ac^ cos ty g'^simy
le 15* terme est de la forme
+ K/'» *> F(a:, x') cos (tT — AX — (t - h) t'),
V[x, X*) est une fonction déterminée de x et de s!. Remarquons maintenant que
et les équations du centre y et y' dépendent des excentricités e, e' et des anomalies moyennes
Ç ^/ — ic =X— >tt)
Le développement de R^ s'obtient donc eu fonction de
K,<'.*), (,T-AX-(i-A)x'), e, e', (X«), (f- lO-
En effectuant les produits des lignes trigonométriques^ on obtient des produits de cosinus et des produits de sinus que l'on peut transformer en sommes ou en différences de cosinus.
Pour former le développement de R — R^ , il suflBt de changer dans le développement obtenu pour R^
A<') en —4.
et
BW en —2^,
et de négliger tous les termes qui dépendent des autres coefficients.
En faisant la somme des deux développements de Rj et R — Rp on obtient enfla pour la fonction perturbatrice une série dont les termes ont deux formes particulières. Nous pouvons représenter d'une manière générale ce développement de la manière suivante :
(12) R = 2] ^ Me^e'VcoslJfit' + tu> + ux)
+ 2] -' NeWcos(i7' + A + *'ic'+Au> + t«').
Dans cette expression, t et f doivent prendre toutes les valeurs entières positives et négatives, mais ne peuvent être simultanément nuls; t est habituellement compris entre — iO et -f- ^0; A, A', Kj Ar, ti, f sont des nom- ' bres entiers déterminés.
M et N sont des expressions des quantités A^'^ B^, C<'\ D«'\ Ces derniers cœflScients s'expriment facilement au moyen des coeflScients
ft^*), cw, e^o, ^0,
qni sont ceux du développement de Texpression
[l + a« — 2acOS(r — X)]-,
quand on fait respectivement
Les quantités r:', w et x' qui se trouvent dans R ne contiennent pas le temps implicitement; il n*y a que les longitudes moyennes
et
X = t J^nt + x^-^x.
On sait que e et e' sont les excentricités des deux planètes, et que t) =; sin y*
Ce développement (12) de la fonction perturbatrice une fois obtenu , il est facile d'avoir, à cause des équations X'» les dérivées partielles de R
rfR /rfR\ dR dR dR dR dt' \da)' de' do' dit' d6 *
Comme X=e -fn/+x'—t, il est clair que "^ ='^- ** et N oontienDent
a, donc, pour avoir (^), il n'y a qu'à prendre les dérivées ^, -j^,
puisqu'on ne doit pas avoir égard à la variation de n. Comme e est en évidence dans le développement de R ^ on obtient tout
de suite •^; il en sera de même de —, puisque, d'après la rebtioa
Tf =r (i> + x' — T,
on a
Enfin, d'après les relations trigonométriques qui existent entre
T, '^y ^\ ^> ^, ? et (p'.
on trouve facilement en fonction de
dR dR
d^ de '
dK dR dR dR
dt' c/x" de' d«'
que Ton déduit facilement du développement R; on comprend donc comment on peut obtenir les dérivées partielles de la fonction perturbatrice.
Comme sincp entre dans le dénominateur des équations (5) et (6) de T, on obtiendrait, si tp était très-petit, des expressions très-grandes pour ks termes qui contiennent sincp; on substitue alors à <p et à 0 deux autres variables p et ; établies par les deux relations
p = tang^sintt q = tang<pcosO.
De ces deux relations, on obtient Cacilement
^ et ''^ dt ""^ dt'
en fonction de
dî «» 57'
c'est-à-dire, d*après les équations X', en fonction des différentielles partielles
dR dR dR dR dR
d0' dt' dit' d-r' dt"
donl on détermine les valeurs d'après le développement (12). On obtient donc finalement pour
da de de dit dp dq di' Tr Jt' Tt' It' dî'
des expressions qui ne contiennent le temps explicitement que dans les facteurs
cos(iV.+ a + A' i:' 4- Jtu) + uxO et
sin(t7'+ ik + A' ,c' -f. Aco + ttV),
qui^ relativement au temps^ ont la forme
cos (gt + c) sm(gt + c).
L'intégration des expressions telle que
cos (gt + c)di = - sin (gt + c) sin igt + c) A = cos(jr^ + c)
se fera donc très-&cilement.
L'intégration des équations différentielles des éléments elliptiques
a, c, e, ir, p, q
étant effecti^ée» avec cette condition qu'à Torigine du temps ces éléments aient une valeur déterminée^ on aura
aj= a -j- m'x par une série de termes de la forme S cos(tT+ iX + A V + Aw -f. irf)
IScos(tY+iX-f AV+Aw+ttx') S sin (i7'+ 1 X 4- ki:* + Au> + !#c') T r cos (AV + Aw -}- wt) T^sin(AV+iw4-«*'c') e, = € +m'X par une série de termesde la forme 1 J^^!?^+/^,+f'''t ***"*" ^^'^
18 cos(tY+ tX + kv+ Aa)+ uz') T./cos(AV+Aci) + t<x^ T.tsinlk'K'+kui^uz')
Il en sera de même de p^ et q^.
Les coefficients S et T sont des fonctions des éléments, supposés constants, des orbites des planètes. Les coefficients tels que S contiennent en outre au dénominateur t^v -f- > qui est au carré dans certains termes.
V égal —, rapport des mouvements moyens.
D'après les expressions que nous venons d'indiquer, nous voyons que les variations des éléments elliptiques de la planète troublée dépendent de deux sortes de termes : les uns tels que
ne contiennent le temps que dans /' et X; et les autres tels que
contiennent le temps t explicitement.
Les premiers qui reprennent périodiquement la même valeur donnent lieu aux inégalités périodiques;
Les seconds qui augmentent avec le temps t donnent lieu aux inégalités séculaires.
La variation annuelle se calculera au moyen d'expressions telles que
On voit que le grand axe a^ ne contient aucune inégalité séculaire^ du moins quand on s'arrête à la première puissance de la masse perturbatrice. Ainsi, Taction de la planète m' sur la planète m fait seulement varier périodiquement le demi grand axe de cette dernière planète entre des limites que le calcul montre être très-étroites; à condition, toutefois, que les moyens mouvements des deux planètes ne soient pas entre eux dans des rapports simples , afin que Tv-l-t qui entre au dénominateur dans les coefficients S ne devienne pas nul.
Les éléments /,, e^, iC|, p et q^ contiennent, dans leurs variations, des termes périodiques et des termes séculaires qui changent progressivement la forme et la position des orbites.
Toutefois, le calcul numérique fait voir que pour les planètes principales de notre système planétaire les inclitiaisons 7^ et les excentricités e, ne dépassent pas certaines limites peu différentes du reste de e et de cp.
En ce qui concerne Z^, on voit qu'en laissant de côté les termes périodiques qui n'ont pour effet que de faire osciller la valeur des perturtmtions, le mouvement moyen de la planète troublée est égal à
n + [m'Tcos(*V + JU» + t«')...+mTsin(*V+*w + iit')...].
OU, en désignant cette série de termes constants par a , le mouvement moyen troublé est égal à
n^ est évidemment le mouvement moyen que doit donner Vobservation.
Lorsqu'on déduit le demi-grand axe ûo du moyen mouvement observé n^, on n'a pas évidemment le demi-grand axe a qui est la constante de a^.
a se rapporte au cas où il n'y aurait pas de planète troublante ,* et entre a et n on a la relation
aW = |i.
Or c'est à l'aide d'une relation analogue qu'on détermine a^ connaissant fi^; on doit donc avoir
û V = a\n\ ou
d'où
et eu s'arrétant à la première puissance de la masse perturbatrice
o n^ Ainsi, en négligeant les tommes périodiques de a^ et de /,, on a
n^ étant le mouvement moyen déduit de l'observation et a^ le demi grand axe quijs'en déduit par la relation
Comme nous n'avons voulu donner qu'un aperçu de la marche du calcul des perturbations, nous croyons inutile d'indiquer comment on peut obtenir les expressions générales des inégalités séculaires , qui résultent de l'intégration complète des équations différentielles.
400. Troisième approxhiation. — Lorsque l'on vent avoir égard aux perturbations du deuxième ordre par rapport aux masses, on doit d'abord déterminer le mouvement de la planète m' troublé par la planète m, c'estr-à-dire déterminer par une marche complètement analogue à celle que nous venons d'indiquer, les perturbations de la planète m'
produites par Fâctioa de la planète m. Aiosi, dans ce cas, le calcul des perturbations est d abord réciproque.
Pour obtenir ensuite les perturbations du second ordre, par rapport aux masses, des éléments elliptiques de la planète m, voici comment on agit:
Nous ne prendrons comme exemple que la variation du demi grand axe a,.
En remplaçant n par -^, nous avons dit qu'on trouvait pour dérivée -r,
^ = 2 — ^ -^ tNeV^VsintiT + A + ifcV + *o> + ut') 1 .
Dans la première approximation nous avons supposé constants les éléments variables des deux orbites, qui se trouvent dans le second membre de cette expression ; pour obtenir une seconde approximation on ajoute à ces éléments les valeurs de leurs perturbations déduites de la première approximation.
En désignant par la caractéristique \ les expressions analytiques des
da
perturbations obtenues, on remplacera dans l'expression de -r-, donnée
ci-dessus,
a par a -{- \ a
e » e^ + ôj e
et ainsi de suite.
On développera le second membre par rapport aux puissances de Sja, Sj a'..,... etc dont on ne conservera que les premières, et l'expression de -^j ainsi modifiée, permettra d^obtenir les perturbations de a qui sont du second ordre par rapport aux masses.
401. M. Encke a donné, il y a quelques années, une méthode nouvelle pour le calcul des perturbations planétaires {*).
Dans ce mémoire, le savant astronome de Berlin fait voir comment en dehors de toute considération restrictive sur la nature de Torbite de la
(*} Voir la tradaction française de MM. 0. Terquem et LafoD.
planète troublante et sur celle de la planète troublée^ on peut arriver, sans de très-longs calculs, à déterminer les perturbations éprouvées par une planète m soumise à Tinfluence perturbatrice d'une autre planète m'y depuis une époque 6 jusqu'à une autre époque 6 -j- T. Sa méthode consiste à déterminer pour des époques ô -j- /, 6 -f 2/,
0 + 3/ 6 -J- T, les différences qui existent entre les coordonnées
rectangulaires
de la planète troublée m et les coordonnées
d'une planète idéale qui, après s'être trouvée à l'époque 6 au point de l'espace où se trouvait la planète m, et avoir aussi été animée en ce point d'une vitesse en tout égale à celle de cette dernière planète, aurait décrit Vellipse de Kepler autour du Soleil sans ressentir Tinfluence attractive de la planète perturbatrice.
M. Encke transforme les équations différentielles connues (397) de manière à y introduire les différences
a; — X^ = Ç, y — y^ = Ti, z— 2^ =;,
et les différentielles du second ordre
dK dt*
à la place de
dt*'
d*y dt*'
dh dt'
Il effectue ensuite Tintégration de ces intégrales doubles par la méthode dès quadratures, après avoir calculé pour les époques choisies les coordonnées z^, y^, z^ de la planète idéale, celles af, y\ z' de la planète troublante, les distances r^, / de ces deux planètes au Soleil et la dis* tance p de la planète perturbatrice à la planète troublée.
402. La considération des perturbations planétaires permet de résoudre le problème inverse des trois corps, c'est-à-dire, étant donnée une planète de masse m dont on connaît le mouvement elliptique et par suite la position à un instant quelconque , trouver pour cet instant la position d'une autre planète qui produit sur la première des perturbations accusées par l'observation.
C'est ce problème que M. Le Verrier directeur, de l'Oservatoire impérial, a complètement résolu en déterminant en 4846 l'existence et la position
de la planète Neptune ; d'après les perturbations qu'elle faisait éprouTer à Uranus,
Nous allons essayer de faire conaprendre la marche suivie par M. Le Verrier dans cette question, dont l'heureuse solution est venue couronner de la manière la plus brillante le principe de Newton sur l'attracUoD universelle et les travaux d'EuLER, de Lagrange et de Laplaoi sur les perturbations planétaires.
403. La planète Uranus^ découverte par W. Herschel en 4781 y éprouvait des écarts extraordinaires dans la marche que lui assignaient dans It voûte céleste les théories astronomiques.
Le nombre considérable d'observations de cette planète avait permis de calculer avec la dernière précision son orbite elliptique. L'astronomie possédait en effets en i820, quarante années d'observations mérîdienDes d'URANus et dix-neuf observations faites de 1690 à 1771 sur cet astre, regardé comme une étoile de sixième grandeur avant la découverte d*HEas-
CHEL.
De plus^ en s'appuyant sur les expressions analytiques, données par La- PLACE, des perturbations qu^URANUs doit éprouver sous l'action attractive de Jupiter et de Saturne^ Bouvard avait construit des tables astronomiques de la planète d'HBascQEL.
Les tables de Bouvard ne purent représenter avec exactitude les positions observées de l'astre depuis 1690 jusqu'à 1845.
Ces tables qui convenaient assez bien pour les observations faites de 1781 à 1820 ne s'accordaient nullement ni avec les observations andeoses ni avec celles faites en 1845.
Les astronomes furent vivement préoccupés de ces anomalies singulières et l'opinion la plus générale fut qu'il existait une planète inconnue extra- Uranienne ayant une masse assez considérable et qui devait par son attraction produire les écarts observés sur Uranus.
Arago engagea vivement M. Le Verrier, déjà connu dans le monde savant par des travaux astronomiques importants, à s'occuper de la recherche de l'astre perturbateur.
a Dans le courant de l'été dernier, dit M. Le Verrier ( Comptes rendus a de V Académie des sciences f séance du 10 novembre 1845), M. Arago a voulut bien me représenter que l'importance de cette question imposait a à chaque astronome le devoir de concourir, autant qu'il était en lui, à en a éclairer quelque point. J'abandonnai donc momentanément, pour m'oca cuper d'Uranus, les recherches que j'avais entreprises sur les comètes, a et dont plusieurs fragments ont déjà été publiés. »
On voit donc que M. Le Verrier n'hésita pas à aborder un travail sans précédents et qui, mené à bonne fin, devait donner à son auteur la gloire la plus éclatante qu'un astronome puisse rêver.
