DD' > SS
Donc, aux environs de Véquinoxe^ la projection de l'arc SS' de Viclip^ tique est plus petite que cet arc, et cette projection est plus grande, au contraire, aux environs du solstice.
Par suite, si les arcs parcourus chaque jour par le Soleil sur l'écliptique sont égaux, les mouvements en ascension droite correspondants sont inégaux.
Mais nous avons vu que le mouvement du Soleil sur récliptique n^est pas uniforme; il peut donc se faire que^ par suite de cette iRRÉcuuRrré^ le moU' vement en ascension droite soit uniforme.
Or puisque nous venons de voir quaux environs des équinoxes^ la projection d'un arc de Técliplique est plus petite que cet arc, et qu'aux environs des solstices, cette projection est plus grande, il faudrait au moins, pour que le mouvement en ascension droite du Soleil pût être uniforme, que son mouvement sur Técliptique fut accéléré vers les équinoxes et retardé vers les solstices; il est bien retardé vers le solstice d'été environ, mais il est au contraire actuellement à son accélération maximum vers le solstice d'hiver; donc le mouvement en ascension droite du Soleil n'est pas uni» forme: donc, les jours solaires vrais ne sont pas égaux.
Eu égard au mouvement annuel du périgée, les jours vrais poun^ont-ils m jour être égaux?
La démonstration que nous venons de donner de l'inégalité des jours
vrais s'appuie sur la presque coïncidence de la ligne des apsides et de la
ligne des solstices. Or, en raison du mouvement annuel du périgée, ces
deux lignes s'écartent de plus en plus chaque année, tellement que dans
79* 29' 42" 2 un nombre d'années marqué par — ^ ^ , c'est-à-dire dans A624 ans
Ol ,0«7
environ, la ligne des apsides coïncidera à peu près avec la ligne des équinoxes et le périgée avec l'équinoxe du printemps.
A cette époque, les jours vrais ne seront pas encore égaux, car le mouvement du Soleil sera bien accéléré vers Véquinoxe du printemps, mais il aura, au contraire, son retard maximum à Véquinoxe de la Balance.
194 ASTEOlfOMIE. — GiOMÉTRIE CÉLESTE.
En ooDsidérant ie mouvement de la ligne des apsides par rapport aux lignes solsiiciales et équinoxiales dans les quatre positions principales qu'elle prendra dans la suite des temps, on voit facilement que les Jours vrais ne seront jamais égaux.
161. Soleil moyen, — Puisque les jours vrais ne sont pas égaux, ils ne peuvent servir à la mesure exacte du temps.
D'après ce que nous venons de voir, le Soleil fictif (foi décrit Véeliptique d'une manière uniforme^ ne peut pas non plus servir à cette mesure, puisque son mouvement en ascension droite n'est pas uniforme.
Imaginons alors un troisième Soleily que nous nommerons Soleil moyen, assujetti aux conditions suivantes :
1* A décrire Véquateur d'un mouvement unifof*me:
V Ase trouver en même temps que le Soleil fictif aux équinozes;
3* A décrire Véquateur dans le même temps que le Soleil fictif décrit Véeliptique.
Il est clair que le mouvement en ascension droite de ce Soleil imagi' naire sera uniforme.
163. Équation du temps. — Établissons, graphiquenient et algébrique* ment y la relation de ses positions avec celles du Soleil vrai et du Soleil fictif.
Supposons le Soleil vrai en V (fig. 102), et le Soleil fictif en M.
Si du point v comme pôle, nous décrivons l'arc Mm, nous aurons en m sur Véquateur^ la position correspondante du Soleil moyen; on peut alors écrire la relation
Tm = ascension droite moyenne= yM= longitude moyenne.
Si nous projetons maintenant le Soleil vrai V sur Téquateur en w, yv «ra Vascension droite vraie.
La différence entre l'ascension dmte vraie w = JR,^ et Vascension moyenne vm = Jf^^ se nomme équation du temps; en la représentant par c> on aura donc
OU
e = iî\. — longitude moyenne, puisque rm = yM.
163. Nous pouvons obtenir Véquation du temps s en fonction de h longitude vraie du Soleil.
Noos venons^ en effets de poser :
Équation du temps = t = jRv — longitude moyenne,
ou, d'après ce que nous avons trouvé (138),
(I) « = iîV. — L+E,
L étant la longitude vraie et E Téquation da centre. Du triangle vVr^ nous déduisons
(ï) tang ^, = cos » tang L.
Nous pouvons exprimer /R« en fonction des puissances croissantes
tù
de tang -^ ; car on prouve en analyse que l'expression
tang X = m tang a donne lieu au développement •
x = û— I— — )sm2a+-(r-; — ) sm4a— - | -- — ) sm 6â
\i+m/ ^ 2 \l+wi/ 3 \l+m/
Par analogie, nous aurons donc^ en remarquant que
1 + COSCi)
«ang« J
iR, = L — tang* -sin2L+ r tang* ^ sin4L — - tang* ^ sin6L
z z z os
La quantité iR, — L = — fang' - sin 2L + - tang* ^ sin *L — - tang* ^ sin 6L
reçoit le nom de réduction à Véquateur. On a donc
«=éq.dutemps=E— tang* ^sinîL-f 5 tang*— sin4L— ^tang*- sinôL,
relation qui nous permettra de calculer e, connaissant la longitude vraie du Soleil et f équation du centre.
Il est évident que la valeur de Véquation.du temps ne devra osciller qo*eotre des limites assez rapprochées.
Nma allons faire voir qu*elle est nulle à quatre époques de l'année.
i96 ASTRONOmi» -^ GiOMÉTftlS CELESTE.
Véquation du temps est nulle à quatre époques.
164. DétermiDons en n (fig. 103), la projection du Soleil fictif sur l'équaieur, et cherchons le maximum de nr, différence entre Pascension droite du Soleil vrai et celle du Soleil fictif j et le maximum de nm, différence entre l'ascension droite du Soleil moyen et celle du Soleil fictif.
Détermination du maximum de nv , différence d'ascension droite des Soleils vrai et fictif.
Nous avons vu (157) que le maximum de l'équation du centre MV était environ de 1* 55' 30".
Or Tare MV aura sa plus grande projection lorsqu'il sera partagé en deux par le colure des solstices.
En considérant le tiiangle rMn fig. iOS), à ce moment, on a
tang (9O' — ^) = tang ^90* — ^\ cos u,,
ou
MV
nv "^ 2
^ ^ cos Cl)
En remplaçant, dans cette expression, MV par 1*55' 30", et » par 23* 27' 30" , elle devient
wi; tang 0*57 45" *"^ 2 "'cos23<'27'30"'
En faisant le calcul, on trouve
wî; = 2'5' environ.
Mais le maximum de Inéquation du centre n'a pas lieu actuellement aiix environs des solstices.
Donc, le maximum de nv ne peut pas atteindre 2* 5'.
Détermination du maximum de nm, différence d^asccnsion droite des Soleils fictif et moyen.
Le même triangle sphérique rectangle rMn donne
tang vn = tang tM cos w,
ou une relation analogue, pour une position quelconque du Soleil fictif sur l'un des quadrants de Vécliptique.
iTUDB DU 80LBIL. — DE LA MBSUEE DU TEMPS. 197
Cette relation^ en raison de yM = Tm, peut s'écrire
tang Yn = tang Ym cos « ;
mais
Yn = Ym — mn,
d'où
tang (Ym — mn) = tang Ym cos o),
00 Lien
tang Ym — tang mn
—--4 —-2 = tang Ym cos «.
1 + tang Ym tang mn
En résolvant cette équation par rapport à tang mn, on trouve
io«« •«« ^ tang Ym(<— cos (o)
tang mn = -—p-- — ^ .
1 + ^^8 "^^^ cos CD
Cherchons la valeur de Ym^ c'est-à-dire de la longitude du Soleil fictif qui rend mn maximum.
11 est clair que cette valeur maximum aura lieu quand la valeur correspondante de Ym rendra maximum l'expression
tang Ym
I + cos o> tang' Ym*
Représentons cette expression par Y, et posons tangYm = x« La question est de trouver la valeur x qui*rend Y maximum dans la relation
1 4-^' cos CD*
En différentiant cette expression on trouve pour premier coeflScient différentiel
dY (1-(-x*coscd) — ic*coscD ^ i — a?* cos CD
dx (i-|-x*coscD)» (* + J?' cos cd)*'
Le second coefficient dififérentiel.est
<PY — (l-t-a?*coscD)*£jcoscD — S(i+x*coscD)8gcos<D(i— jr'costo) dx* (1 4- a:' cos CD)* '
d'Y lgcoscD[(l+g*coscD)*-t-2(l — g*cos*cD)) dx* (1 + ^* cos cd)*
Le premier coefficient différentiel devient zéro pour la valeur de x qui annule son numérateur; cette valeur est donnée par la relation
I — X^COSiùssiO,
/côsw
Si l'on substitue cette valeur de x dans le second ooeffident différentiel on obtient
âcoso>
cosa>
dx*'^^ r COScoy Î^COSCD \ "* COSW/
Doncx=+
^COSCi>
de mn est donnée par la relation
tangmn =
donne le maximum^ et par suite, la valeur
(i — cosco)
SVcosci)
En remplaçant o) par 23* 27' 30" et en eflfectuant le calcul, on trouve
iwn=2*28'.
Ainsi, dans chaque quadrant de Vécliptiquey le maximum de mn, gui est de ¥ 28', surpasse le maximum de rw, qui ne peut atteindre 2* 5'.
Considérons actuellement le mouvement en ascension droite du Soleil vrai y du Soleil fictif et du Soleil moyen.
Soient Qff Téquateur (fig. 103), CC l'écliptique, T la Terre réduite à son centre, v^ la ligne des équinoxes et PA la ligne des apsides.
Soient aussi p et a les projections <fv périgée et de l'apogée sur Téquatcur.'
Les considérations sur lesquelles nous allons nous appuyer pour démontrer que Yéquation du temps est nulle à quatre époques sont les suivantes i
Fig. 103.
1* Dans chaque quadrant le maximi»
de nm surpasse le maximum de nv;
%" n et V sont ensemble aux peints p et a;
3*" De p en a^ v est en avance sv «, et de a en Pf n est en avance sur v; V net m sont ensemble aux points équinoxiaux et aux points solstidnx*
Partons du point vemal, au moment où le Soleil moyen s'y trouve, m e n sont ensemble et v est en avant.
ÉTDDB DU SOLEIL. — DB LA 11E8URK DU TEMPS. i99
