o,233o9 20iiS

On construira les deux courbes sur papier quadrillé en prenant le millimètre pour représenter la minute ou le mille. L'origine étant mise au premier point, on retranchera i27»io',8 de toutes les longitudes et i44"4^'>9 de toutes les colatitudes.

MÉTHODE GEIAPBIQUE.

Voici le Tableau des coordonnées des deux courbes :

fie- 71.

On portera les longitudes et les colatitudes en vraie grandeur à l'échelle de l'épure ('). La première courbe est presque une ligne droite; la seconde a une courbure plus prononcée, dont ii faut tenir compte en la traçant par les trois points calculés. Il ne reste plus qu'à relever sur l'épure les coordonnées du point de rencontre, — ï3',9 en longitude et 33', 5 en colatitude. La position du navire était donc :

(') Si, pour plus d'eiBctitude, on opérait sur une projection de Mercator, il faudrait ramener lea dilTéronces de colatitude k l'échelle variable de ces Cartea.

^94 CHAPITRE XXXII. — PROBLÂME DE DOUWES.

En prenant une échelle double» on répondra du dixième de minute. Si Ton considère la simplicité de ces calculs, d*un seul et même type familier à tous les marins, et celle de la construction graphique, on conviendra que ce procédé pour la résolution des équations du problème de Douwes est tout à fait pratique. Le calcul peut être réduit d'un tiers si Ton se contente de deux points pour chaque courbe.

La première courbe est, sur la sphère, un cercle de rayons; son équation (i) exprime en effet que le troisième côté d'un triangle PZS, c'est-à-dire la distance de Z à un point fixe S, est z. Si Ton fait varier les coordonnées de Z, c'est-à-dire }. et L, on aura, sur le cercle susdit, tous les points de la sphère qui satisfont à cette condition-là.

La seconde courbe, équation (2), est un cercle dont od augmenterait les coordonnées X de la constante AX. Ce n*esi donc pas un cercle à proprement parler, mais cela ne gène en rien la construction graphique, puisque nous n'avons à dessiner qu'une portion très petite et presque rectiligne de ces courbes.

Approximation successive par simple interpolation.

On évite le tracé de ces courbes au moyen d'une interpolation familière aux calculateurs. Les deux premières hypothèse? sur X nous ont donné, par de simples calculs d'angles horaires:

Première équation : L 127.10,8 126.57,8

Seconde équation: L 125.59,1 126.27,0

Diflf. . . -+- 1.11,7 ■*■ o.3o,8

La vraie valeur de X est celle qui fera disparaître ces différences. Or une augmentation de -20' dans Xla réduit dei**ii',7 à 3o',8, c'est-à-dire de 4<^',9. En posant une proportion, on trouvera

'^'^ x3o',8=x^, d'où x = i5',i

APPROXIMATION SUCCESSIVE PAR SIMPLE INTERPOLATION. agS

pour l'augmentation qu'il faut faire subir au dernier. X. Sa valeur est donc i45°i8',o. Si l'on s'en tient à celte première approximation, on aura la longitude correspondante par le même procédé. Pour 20' d'augmentation dans X, L a diminué de i3',o. Pour i5',i, elle devra diminuer de

-— ^xi5',i=9',8.

La longitude cherchée, à l'instant de la première observation, était donc de i26°^S',o. A titre de vérification, on fera A3 = i45°i8',o et l'on aura :

Première équation.

Seconde

équation.

Oj220I2

o,i43oo

Une deuxième approximation étant nécessaire, on aura immédiatement, pour la correction de la dernière colatitude,

'^'' xH4',i) = -ï',8.

Le résultat final est ainsi, pour la première station,

Cette interpolation par parties proportionnelles suppose que les variations de la longitude, qui est une fonction de X, sont proportionnelles à celles de la variable X. Cela n'est vrai rigoureusement que'pour les variations infiniment petites; mais par des approximations successives on se rapproche de plus en plus de cette condition, et l'on arrive au but avec le degré

agG CHAPITRE XXXII. — PROBLÈME DE DOUWES.

d'exactitude que Ton voudra atteindre. Au point de vue géométrique, cette méthode revient à substituer, aux deux courbes, deux sécantes déterminées par des points d'intersection très rapprochés. Le point de rencontre de ces sécantes différera peu du point de rencontre des courbes elles-mêmes. A la seconde approximation, on opère sur deux nouvelles sécantes encore plus rapprochées du point cherché, et ainsi de suite. Le mérite de cette méthode, au point de vue nautique, consiste en ce que les calculs se rapportent tous à une seule et même formule familière; ils n'exigent point de contention d'esprit; aucune erreur ne se glissera dans cette répétition continuelle d'un même type. D'ailleurs, les courbes dont il s'agit se confondent de si près avec leurs sécantes, sauf le cas de très petites distances zénithales, que la première opération suffit le plus souvent (<).

Approximation snccessive par la méthode de Newton.

Il s'agit de résoudre numériquement deux équations de forme quelconque

connaissant des valeurs approchées a et ft des inconnues x et j. Désignons par h et i les petites corrections qu'il faut ajouter à ces valeurs.

On a en général, par la série de Taylor étendue à deux variables,

d¥ (IF

Si l'on remplacer et j par leurs valeurs approchées a et 6 dans F(,r, j) et ses dérivées, on aura, en négligeant les puissances supérieures et les produits des petites corrections h et/,

(*) Le cas d'une très petite distance zénithale ne constitue d'ailleurs nullement un embarras pour ces méthodes, car il rentre dans celui des observatioDS circum méridien nés.