DES ERREURS D'OBSERVATION

Il s'agit de savoir comment l'observateur doit agencer, non pas ses calculs, mais ses observations, de manière à soustraire autant que possible le résultat chercké à l'influence de ces erreurs inévitables.

Remarquons d'abord que Terreur des montres, c'est-à-dire l'erreur commune à H^, et H'^, se confond ici avec celle de la longitude, car ce que l'on détermine réellement par le problème de Douwes, c'est l'heure du lieu H;,+ L et la colatilude >. Si dans ce qui va suivre nous mettons en évidence l'erreur de la coordonnée L, c'est que nous faisons abstraction de l'erreur des montres; nous la supposons nulle. Dès lors, en mettant de côté les données ô, ô', ^, d empruntées à la Connaissance des TempSy qui sont toujours bien connues, même dans le cas d'une erreur très sensible sur H;,, il nous reste à examiner l'influence des erreurs commises sur z et z', et de celles de l'estime qui nous fournit A> et AL. Il suffira pour cela de différentier les équations (i) et (a) par rapport à z, z', A>, AL et L, mais non par rapport à )., puisque nos hypothèses portent sur cette variable.

3o2 CHAP. XXXIII. — DISCUSSION DES ANCIENNES MÉTHODES

Il vient ainsi par Téqualion (i), pour une valeur X< donnée à >y

sinXisinA'

et par l'équation (i), en confondant sin(Xj -f- AX) avec sinÀi, ce qui est permis dans ces relations infinitésimales,

.,j, .j. dz' rfA^cosA'

^ ' sin/i sinA' smA'

La soustraction donne

,,-, T \ 1 f dz dz! rfAXcosA' ,^ . .\ ^ ' ' sinAj \ smA sinA' sinA' 7

Passant des différentielles aux erreurs probables et divisant celles de L'^ — Li par le coefficient de x dans l'équation de

Lalande, c'est-à-dire par . ^ (- r- ^^-ttp ii vient

^ sinA< \tangA langA'/

finalement, pour Terreur probable de x et par suite de la colali-

tude à la première station,

^ \/{dzs\n A^)2-h Jdz'sinA)^-^ {dM cosA^siDA)«H- (//AL sinXi sin AsinA')'

~ sin(A'— A)

D'après cela, le système d'observation le plus avantageux, au point de vue de la moindre influence des erreurs inévitables des observations sur la colalitude, serait d'avoir A très petit et A' très voisin de 90°. L'erreur sur 1 se réduirait alors sensiblement à ±dz. Mais on retomberait ainsi sur le système d'observation que tout le monde pratique chaque jour lorsque le ciel est beau, et nous sortirions du problème de Douwes, car celui-ci ne se pose que quand on n'a pu observer près du méridien, ou près d'un azimut de 90°.

En dehors de ce cas, A et A' ne pouvant être ni très petits ni voisins de 90"*, la formule précédente nous montre qu'il faut du moins s'arranger de manière que A' — A soit le plus voisin possible de 90°. C'est du reste ce que Ton voit de suite par le

coefficient de x, c'est-à-dire . ^ (- r- ^-7-7 )• Pour

sm>, \tangA tangAV

AU POINT DE VUE DES ERREURS d'oBSERVATION. 3o3

qu'il soit de grandeur notable avec des valeurs moyennes de tangAet de tangA', il faut que ces deux tangentes soient de signes contraires. On s'attachera donc autant que possible à observer de part et d'autre du méridien, ou, si Ton est forcé de se borner à un même côté de ce plan, à observer de part et d'autre d'un plan qui lui soit perpendiculaire.

Il faut ici appeler l'attention sur l'importance et le rôle des erreurs de l'estime. En laissant de côté les petits termes en dz et en dz' , la formule précédente se réduit à (p. ^35)

, V sinA

20 sin(A'-- A)

Le choix des observations, de nulle importance au point de vue mathématique, en a une au point de vue des erreurs de l'estime. Nous avons fait figurer la marche du navire, c'est-àdire AX et AL dans la seconde équation, prenant ainsi pour inconnues les coordonnées X et L de la première. De cette façon,

l'erreur de l'estime, qui peut aller à — 5 a eu pour facteur

sinA = 0,928, Dans le cas contraire, l'erreur de l'estime aurait eu pour facteur sinA'= 0,778. L'erreur de x aura donc des valeurs différentes, selon qu'on partira de la seconde ou de la première station.

En résumé, il n'y a ni exceptions ni défaillances à craindre dans l'emploi des vieilles méthodes. Deux équations numériques étant données, ces méthodes conduiront toujours à deux nombres qui y satisferont aussi exactement qu'on le voudra. L'observateur n'a à s'occuper que d'une seule chose, la même par tous les procédés imaginables : c'est d'agencer ses observations de manière à laisser le moins d'influence possible aux erreurs inévitables desdites observations.

Il nous reste à dire quelques mots de la longitude que l'on déduit de ces calculs ou de ces constructions. Au fond, le problème de Douwes ne sert à déterminer, par deux distances zénithales, que l'heure du lieu H et la colatitude. Si l'heure de Paris H;, est connue en même temps, on a la longitude L = H — H;,. Cette heure de Paris ne peut être donnée que

3o4 CHAP. XXXIV. —MÉTHODES NOUVELLES.

par les chronomètres ou par la Lune. Elle Test avec une mcerlilude qui va croissant avec le temps écoulé depuis le départ si on remprunte aux chronomètres. Il n*y a aucun moyen certain (en dehors des distances lunaires) de s'assurer que les chronomètres ont conservé à la mer la marche déterminée à lerre avant le départ. Il nous est donc impossible de faire entrer dans Tappréciation de Terreur flnale sur L cet élément inconnu quand on se fie aux chronomètres pour l'heure de Paris. Au contraire, quand on la demande aux observations de la Lune, on a toujours le moyen d'en déterminer l'erreur probable. Alors Terreur de la longitude conclue rfL a pour expression

dR étant ici Terreur probable de Theure du lieu, que nous avons conventionnellement désignée plus haut par dL. Le lieu du navire sur la Carte n'est plus un point, mais un rectangle ayant pour base 2 JL et pour hauteur idl. Il est probable que le navire se trouve quelque part dans ce rectangle, dont le centre a pour lui un certain excès de probabilité sur les autres points.