CHAPITRE II. — TRANSFORMATION DES COORDONNEES
données; celles du point C seront
angle dièdre YBC = B.
Pour passer d'un système à l'autre, prenons comme intermédiaire les coordonnées rectilignes z, j, x de C, rapportées aux axes rectangulaires OZ, OY, OX; nous aurons
z = rcos^, j'= r sin^cosA, 3 = r sin^ sinA.
Si Ton fait tourner ce dernier système d'un angle c autour de OX, nous aurons de même, en désignant par z\ j', x' les nouvelles coordonnées de C,
z* — r cosfl,
/ — r sin<'/ cosB,
x^= r sin^/ sinB.
Les formules de transformation, d'après ce qui précède, seront
z' = zcosc — y sinr, j*' = z sine -4-/ cosr,
OU bien, en revenant aux coordonnées sphériques et supprimant le facteur commun r,
cos« = cosc cos/; — sinr sin^ ces A, sinfl cosB = sinr ces 6 -+- cosc sin^ ces A, sinrt sinB = sinô sinA.
Appliquons immédiatement à nos coordonnées célestes ces
PROCÉDÉS DE CALCUL. l3
formules absolument générales, en identifiant OA avec la verticale OZ, OB avec la ligne des pôles. Il faudra remplacer
b par 3,
A par A,
a par ^,
B par M,
c par >; nous aurons ainsi
cos<y = cos^ C0S3 ~ sin). sinz cosA, sine? coSiH = sinX cos2 -+- cos^ sinz cosA, sin^ siniH = sinz sinA.
Pour les formules de transformation inverse, nous remplacerons dans les précédentes ô et ^fl par z et A, et X par — ). .
{a) cosz — cos>cos<y-h sin^sineTcosifl,
[b) sinzeosA— — sin). cose? -h cosXsin^cos-^,
[(') sinzsinA— sin^ sin^.
Ce sont celles dont nous aurons à faire un continuel usage. Elles contiennent d'ailleurs toute la Trigonométrie sphérique. Pour déterminer les deux inconnues z et A, nous avons ici trois équations; elles ne sont donc pas absolument distinctes et doivent au fond se réduire à deux. En effet, en faisant la somme des carrés de [a] et de (6), on retombe sur le carré de (c). Mais elles sont nécessaires toutes les trois pour déterminer A sans ambiguïté, z étant compris entre o° et i8o®, sin^ est positif ; par conséquent, [b] et [c] donnent les signes de cosA et de sinA. En appliquant ces formules sans autre soin que de se laisser guider par les signes, on ne sera jamais embarrassé. Nous ferons remarquer seulement que A et Al sont toujours du même côté du méridien, soit à Test, soit à Touesl. Quand l'un est nul, l'autre est o° ou i8o°.
Procédés de calcul.
Ce qu'il y a de plus simple, c'est de calculer directement les seconds membres, sans s'astreindre à les transformer en pro-
l4 CHAPITRE II. — TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.
duils. Exemple : 1 = 4^**, $ = 37®, M = 70'».
log cos> 9,8^551 log sin^ 95^7107 i**" nombre. o,53439
log cost^ 9,90235 log sine? 9j77946 2* nombre. o. 16296
9,72786 log cosifl 9,534o5 cosz 0,68785
log sin> .... 9,87107 log cos^ 9,8255 1 i" nombre. — 0,59350
logcost^ 9,90235 logsincycosiïï.. 9,3i35i 2* nombre. 0,13773
9,77342 9,13902 sinzcosA.. — 0,45677
logsin^ 9,77946
logsiniH 9,97^99
log sinz sinA. . . 9,76246
logsinzcosA. . . 9,65876//
logtangA 0,09370/1 A = 128** 62', o
log cos A 9 , 79762 n
logsinz 9,8611 3
logcosz 9,83718
logtangA 0,02396 z= 46* 34', 7
On préfère souvent rendre, comme Ton dit, les formules calculables par logarithmes en introduisant un angle auxiliaire.
Posons
cos(y = /72COSf, sine^coSifl = /w sinf ;
les équations (a), (6), [c] deviendront
C0S2 = /72COS(f — ^),
sinzcosA = /n sin('f — X),
sinz sinA = sine^sin-^,
cp étant donné par
tangcp = tangc^ cosiH,
sans ambiguïté, si l'on convient de prendre m positif.
logtangc^... 9,87711 logcosc^ 9,90235
logcosiH.... 9,53406 log cos f 9,98604
logtangy... 9,41116 log/7/ 9,9i63i
PROCÉDÉS DE CALCUL. l5
g/« 9.9i63i log/w 9î9i63i logsine? 9î7794(J
gcos(<p— >). 9,92087 logsin(y— ^). 9,74244 /? logsiiiiH 9^97^99
geosz 9,88718 logsinzcosA. 9,65875/1 logsinzsinA. 9,75245
g sinz 9,861 13 logcosA 9,79762/1 9,65875/1
gtangs.... 0,02895 logsinz 9,861 13 logtangA — 0,09870/1
Ces calculs se simplifient beaucoup lorsqu'on sait d'avance dans quel quadrant A doit être pris et qu'on dispose d'une Table de sinus verses et de leurs logarithmes. Désignant ces sinus verses par a, on a
(Ta = i— cosfl -- 2 sin* ^a, La formule (a) peut s'écrire ainsi :
C0S3 = CCS ((? — >) — 2sinX8in^sin2^ifl.
En la retranchant membre à membre de l'identité i — i , on
aura
crz= (T{â — >) -hsinXsiiKyo"^.
Dès lors, voici le calcul de l'exemple précédent, où ô — X = — 1 1 *» :
cr((^ — X) 0,01887 logsinX 9,87107
2* terme 0,29427 log sine? .... 9,77946
(Tz 0,81264 log^iH 9,81821
z 46°84',7 loganerme. 9,46874
logsiney. ... 9,77946
logsiniïï.... 9,97^99
C log sinz... 0,18887
A = 180''— 5i°8',o logsinA 9,89182
l(> CHAPITRE m. — TRIGONOMÉTRIK SPHÉRIQUE.
