C. rf. r. ào»» 39»i/i'27'',o

y ^ ^ ^ * log^rs- 0,3465

Diff. o» o' 7^6 d»ff-

h m 8 log7'',6 0,8808

Diverses manières de résoudre les équations (i) et (2).

Nous avons déjà fait remarquer que la difQcuUé du calcul précédent ne porte nullement sur les équations (i) et (2), ei que la meilleure manière de les résoudre est de suivre la marche adoptée par les calculateurs des éphémérides pour le calcul des dislances lunaires. Cependant les auteurs ont cherché et proposé un grand nombre de méthodes à ce sujet, espérant ainsi faciliter notablement le calcul des distances lunaires. Sans partager cette illusion, nous allons en indiquer les principales.

En premier lieu, il est bien aisé de traiter directement ces équations en passant des logarithmes aux nombres et réciproquement. De (i) on tire la valeur de logcos(A) qu'on porte dans (2), et l'on obtient ainsi logcos() et par suite d. En calculant à sept décimales, on aura d à la seconde près, à moins que d ne soit très petit, cas exclu d'avance.

En second lieu, on peut rendre (i) et (2) calculables par logarithmes en posant Zi — z'^ = j3o ^ — 2'= (3; elles prennent

DIVERSES MANIÈRES DE RÉSOUDRE LES ÉQUAT. (l) ET (2). 345

alors la forme

tT(<^i— !^i)smj(()i-hpi)=:sinzisinz'^sin« f- j,

sm^(d -p )smi{â +p ) = sinz sinz' sin» T-V Divisons membre à membre; il vient

Sïn\(d - p) sin7(a -h p) = sin^^c) - sin^p

sinzsinz' .</-. on-i/n «x T— rsini(()i-pi)sini(c)i-hp,).

sinzi sinZ|

On introduit un angle auxiliaire <p en posant

sin^iptang«^ = ^:g5^

et Ton a finalement

sin|(^ = sin^pséc<p.

C'est la formule de Borda. En voici Tapplication à l'exemple précédent :

Formule de Borda.

z, 77 «4 1-37 « 77.45.50 di 38» 42' 19"

fi^ 32.16. 8 /3 32.57.56

dt — fit 6.26.11 logsin^/S 9,4529009

c),-h/3, 70.58.27 logsin'J/S 8,9058018

i{ài — l^i) ••• • 3.i3. 5,5

logsinz 9,9900201

log8În«' 9,8479510

CMogsinz, 0,0100957

CMogsinz, . 0,1473194

logsinJ-((), — /9^ 8,7492613 logséc^ o,073i5oi

logBini((J,-H/3,) 9,7638168 log8inA/3 9,4529009

CMogsin'-J/S 1,09^1982 logsin^c^.. . . 9,526o5io

logtang';? 9,6026624 id i9<'37'ii'', 2

logtangf 9,8oi33i2 d 39«»iV22'',4

Ce procédé est moins simple que celui des sinus verses.

On a proposé, toujours pour le calcul de d au moyen des équations (i) et (2), d'autres procédés qui consistent à chercher d — ^^ au lieu de d, et cela pour éviter l'emploi des Tables à sept décimales. Déjà, en nous bornant aux termes du premier ordre en d — dt, z — Z|, z' — ^^ ou en ^, a et exf, nous avons trouvé

X = a. COSSi -h a' COsLi .

Tenons compte maintenant des termes du second ordre, c*est-idire de œ^, a^, a'^, aa'y négligeant seulement les termes du troisième ordre de petitesse. Il suffira pour cela de porter, dans réquation (2), d| -f- ^, z< ^- a, /,-+-«' à la place de à, Zy z\ et de développer les sinus et cosinus en remplaçant les cosinus des petits arcs par les deux premiers termes de leurs séries et leurs sinus par Tare; par exemple, cos(d4H-^) deviendra

cosdi ( I j — â? sin (îi . On effectuera les multiplications en

négligeant les termes du troisième ordre, et l'on trouvera

X = a COSSi H- a' COSLi -h -

2 206265' taugc>i oa' sin z\ sin z< -f- cos z^ cos z'i cos ( A )

206266" sint^i

Mais d'ordinaire a est beaucoup plus petit que a', à moins que le Soleil ne soit très bas et n'ait une réfraction considérable. Si donc on néglige a'^, on sera en droit de négliger aussi a* ei même olol' comme étant du troisième ordre de petitesse par rapport à a'. Alors la formule se réduit à

^ = a COS Si -4- a! COSLi -f- - ' ^-^TFT T" *

2 206265 tangent

Cela suppose que la dislance mesurée n'est pas très petite ei que le Soleil n'est pas très bas; autrement les termes négligés acquerraient une valeur sensible. Par ce procédé, il faut calculer avec soin, mais à cinq décimales seulement, les angles Si

DIVERSES MAT^IÉRES DE RÉSOUDRE LES ÉQUAT. (l) ET (2) 347

et Li par les formules connues

lang

s\n(s — zi) sin(A- — di)

tang

* * Y sin^sin(.v^ Zj)

iT — / ^i"(^ — ^'i) sm(^ — <^i)

* *~ Y sinjsin(^ — zi)

dans lesquelles isz^Zt-h z'^-^ di. Appliquons ce procédé au •cas précédent :

Jv . « • • • ^ V • • • • '

*— ài .

]og8in(j — dt)" ' 9182725

log8in(j — z,). . 8,75o4o

C^logsin^ 0,00549

CMog8in(j— z', ). 0,23619

]ogsin(j — di).' .

Io08in(j — z', ). .

CMogsînx

GMog8in(j — «j).

tangos, 9»4o967 tang|L,

iS, l4«24^3

ÏK

ce — •« ~~~ z, • . •

loga. . . . 2,4o3i2

10gC08S,. 9,94262

loga'.... 3,353i5« logco8Lj. 9,87537 «

a cosS, * .

«'cosL,..

:rappr...

2« terme .

a' — X... — iiQ^fO

/ jr 38.42.19,0

log

logi

logcot(),

C'Iog 206265.

log 2* ferme..

Ce résultat diffère sensiblement de celui que nous avons trouvé parles deux précédentes méthodes. Cela tient à ce que a n'est pas assez petit pour qu'on néglige a^ et surtout aa . En employant la formule plus complète, on trouverait d = 3Q^i^'ii'', résultat presque exact. Dans tous les cas, le calcul est encore