ANALOGIES DE DELAMBRE ET DE NEPER

De même, pour le groupe (5), en posant A-4- B -+- C = aS (*),

a I — cosS

Scos(S — Aj

B)cos(S — C)

/s ] . ^ / — cosScosfS — B)

(9) i^ng-=i/ ë K^ i^ ?rr'

c I — cosScos(S — C) ^^2- VcosiS — A)cos(S — B)'

Comme les angles et les arcs n'alleignenl pas i8o® dans un triangle, leurs moitiés n'atteignent pas 90° et leurs lignes trîgonométriques sont toutes positives; on a donc supprimé le signe — devant les radicaux.

Analogies de Delambrje et de Neper.

Écrivons ici les deux premières analogies des sinus (2),

sina sinB = sin6 sinA, sin^ sinC = sine sinA,

Combinons-les par addition et soustraction en remplaçant les sommes ou les différences de sinus par des produits; nous aurons

(10) sin- cos- sm cos = sm— cos— sm cos ?

, , .a rt'.B — C B-hC .A k . b — c b -¥-c

(11) sm - cos - sin cos = sm - cos — sm cos •

(*) En posant A-*-B-*-C — 1 80* = a E = excès sphérique , on a, pour le groupe (9), la forme

, o /sinE »\n( \ — E) a /si 11 (H — l!.;sin(C — E)

sin- = 4/ . ^ . .. — » cos- = i/ u i »

'i Y sinbsiuC 'J y siubsiuL

et par conséquent

a / biiiEsiii(A — E)

^"e- = Y 5iu;B — E;8in(L —

(*) Analogie signiHait autrefois /ro/iorno/z. Ce terme n'est plus guère employé qu'en Trigonométrie.

Ces équations, décomposées en facteurs, donnent immédiatement les analogies de Delambre :

,. .a B — C .A.^H-c (12) sm- CCS = sin— sin j

, «, rt . B H-C A h — c (i3) CCS- sin = CCS— ces >

,,, .rt.B — c k . h — c (i4) sin- sin — ces— sin ?

/-, a B-hC .A b -^c ( 1 5 ) ces - ces = sm — ces •

Les analogies (12) et (i3), multipliées membre à membre, reproduisent (10); ( 1 4 ) et ( 1 5 ) reproduisent de même ( n ) . Pour montrer la légitimité de cette décomposition en facteurs de l'équation (10) ou pour vérifier l'équation (12), par exemple,

remplaçons-y les sinus et cosinus des angles— 5 ~t — par

Je J* ^

leurs expressions en fonction des côtés; si l'équation (12) est juste, elle devra se trouver par là réduite à une identité. Or elle devient, après cette substitution,

. a /sin2.ysin(.v — />)sin(.v— <?) . a /sin*(.y— «)sin(.'

>in - 4 / T—z : — 7 — ; h Sin — 4 / r-^ :

2 Y sin^^/smo smc 2 y sin^^si

sin 6 sine

/sin(.v

. b -^ c /sin(.v — ^)sin(A- — c)

= sin i / -. — -j — ; 5

sin^^smc

équation qui se réduit, par la suppression des facteurs communs aux deux membres, à

sm- ,

- — [sm^-h sin(^ — a]\ = sm ?

ou à l'identité

. b -^ c sm I .y I = sin •

;in(..-^) =

Les analogies de Delambre ne peuvent servir à la résolution des triangles, puisque chacune d'elles en contient les six éléments; mais, en les divisant deux à deux, on obtient les analo-