DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

Fonction d'une variable. — (onsidérons d’abord une fonction connue 2 d’une seule variable réelle x :

AC Soit x, une valeur déterminée de la variable. Posons D —=%o + h.

Supposons que l’on puisse, sans inconvénient, commettre dans le calcul de

2 — [Lo 1h) une erreur ne surpassant pas en valeur absolue une quantité positive e donnée à l'avance.

Le développement de f(x h) suivant les puissances croissantes de À permet d’écrire

2= f (to + h) = f (to) + hf (to) + 5 h?f" (x + 8h),

où 8 est une quantité inconnue comprise entre 0 et f. Par hypothèse, on peut se contenter d'écrire

2 = f (%o) + hf (to) pour toute valeur de À satisfaisant aux conditions

— 9e < h?f" (%o + 8h) < Ve.

Dans les applications, les circonstances sont habituellement telles qu'on peut aussi bien imposer à À de satisfaire aux condi- Lions | — de < hf" (to) < + Ve.

h étant réel, ces deux conditions se réduisent à une seule, la première ou la seconde suivant que f(x) est négatif ou positif. Supposons, par exemple, que f(x) soit positif. L’intervalle des valeurs admissibles de L a pour limite inférieure

De