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mais les axes vrais des orbites planétaires sont dans les mêmes rapports que les axes des ellipses réduites ; et il reste vrai de dire que les carrés des révolutions sidérales de deux planètes quelconques sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites. C’est la troisième loi du mouvement planétaire (1).

(1) La troisième loi du mouvement des planètes t'est pas tout à-fait exacte : le coefficient de proportionnalité devrait être multiplié par un facteur variant d'une planète à l’autre, mais toujours extrêmement proche de l’unité.

Nous aurons à faire usage de cette loi sous une autre forme, en fonction des paramètres des orbites. Appelons paramètre 2p le produit 2a(1 — e*) du grand axe par l'excès de l'unité sur le carré de Pexcentricité. L'égalité

SR qui exprime la troisième loi du mouvement, peut ‘écrire

n'a {1 — e*) 1 ARLES Ut Œ Dh me er.

Le premier facteur du premier membre est le carré du rapport

AN Tu Ne S

dont le numérateur est la surface de l'ellipse, et qui exprime Paire balavée par le rayon héliocentrique de la planète pendant l’unité de temps, ou la constante des aires.

Le second facteur est l'inverse du paramètre de l'orbite.

La troisième loi du mouvement planétaire peut donc se remplacer par la suivante : les carrés des aires balayées par le rayon vecteur dans l'unité de Lemps sont proporlionnels aux paramètres des orbites.

Éléments elliptiques. — On appelle éléments elliptiques d’une planète des quantités suffisantes à la détermination, par rapport aux étoiles, du plan de son orbite, de cette orbite dans son plan, et de la position de la planète à un instant quelconque.

1° et >. Le plan de lorbite est déterminé par la longitude et la latitude héliocentriques de sa normale. |

Les astronomes remplacent habituellement ces deux éléments par la longitude du nœud ascendant et Pinclinaison du plan de l'orbite.

(1°) Le plan de l'orbite coupe l'écliptique suivant une droite passant par le Soleil et appelée ligne des nœuds ;: le nœud ascendant est la demi-ligne des nœuds suivant laquelle la planète passe de l'hémisphère échiptique sud à lhémisphère écliptique nord : ainsi, la longitude du nœud ascendant fait connaître. une droite du plan de lorbite.

(2) De la ligne des nœuds sont issus la demi-écliptique qui renferme les directions dont les longitudes sont immédiatement plus grandes que la longitude du nœud ascendant et le demi-plan de l’orbite dans lequel se trouve la planète immédiatement après son passage au nœud ascendant : l'angle du dièdre de ces deux demi-plans, ou inclinaison de l'orbite, achève de déterminer le plan de celle-ci.

Quelles relations y a-t-il entre ces deux éléments elliptiques habituels et les coordonnées polaires écliptiques de la normale au plan de Porbite ? Pour fixer les idées, dirigeons cette normale de manière que la circulation de la planète, vue de cette direction, se fasse dans le sens direct (gaucher) : cette direction. fait, pour toutes les planètes connues, un angle aigu avec la direction nord de l'axe de l’écliptique. Alors, la longitude de la normale au plan de l'orbite est égale à la longitude du nœud ascendant diminuée de 90° ; sa latitude est le complément de linchnaison de lPorbite.

9° La forme de l’ellipse planétaire est connue par son excentricalé, et |

4° sa grandeur par son demi-grand axe.

9° La position de lorbite dans le plan est fixée par la longitude de l’une des extrémités de son grand axe, le péréhélie à la moindre distance du Soleil, laphélie à la plus grande distance ; on donne habituellement la longitude du périhélie.

6° La loi des aires, associée à la loi qui lie la révolution sidérale au grand axe de l’orbite, permet de retrouver à un instant quelconque la position de la planète, dès qu’on connait le rapport du grand axe de celle-ci au grand axe de l’orbite terrestre et Pinstant de son passage en un point déterminé, par exemple l’époque du passage au périhélie.

Détermination d’une orbite planétaire, — Soient les six éléments connus de lorbite terrestre, et

di, lo, Us, dy, As, À

les six éléments inconnus d’une autre planète.

9n9 LE SYSTÈME SOLAIRE

À un instant quelconque {, et par rapport à un système quelconque d’axes, les coordonnées x, y, z d’un point terrestre M de longitude X et de latitude @ sont des fonctions telles que

A (a, , ds, d,, , À, À, ®, A5 DAS w(,, os Ugo Ou, Os, Up À, P, L), AK ine O(o,, PRE CRETE PANDA PO CU l).

, Au même instant £, et par rapport au même système d’axes, les coordonnées X, Y, Z be centre P'de la planète étudiée sont des fonctions telles que ; X — O(a;, de, As, Us Us, Ge L), YPO OO US ue D) 11 = O(a,, d, 03, Ge b).

Si à et à sont les coordonnées polaires de la direction MP, les M cosinus directeurs de cette direction sont cos à cos à, sin à COS à, M sin à, et les équations de la droite MP sont

X —x d'Ére D NN re COS GCOSd sin a cos — ETES

auxquelles satisfont les coordonnées de la planète : D — WP — O — 0 z

COS. à COS d sin à COS d sin d

Cela étant, supposons qu'à un instant { un observateur en MX, @) mesure les coordonnées polaires de la direction MP de la planète, et trouve, après correction de la réfraction et de lPaberration, «et à’; 1l pourra écrire les deux équations

DE) DE) NE) (HET OS COS à COS d' sin & COS d' sin d'

S'il recommence les mêmes observations et les mêmes réductions à un instant {”, pour obtenir «et à”, puis à un instant {M pour obtenir a" et »". il pourra écrire encore :

(4) ‘he. (4) Eh ns w(4") LEO 8(4") cos a" cos à” sin æ” cos Ô" sin à” (k Que JE M PE Le W(L) : O(T) SRE Ÿ cos &'! cos d”’ sin &" cos d'” sin d ” Si

On aura ainsi obtenu un système de six équations à six inconnues 4, de, ds, y, s, @. L orbite planétaire sera donc, en principe, déterminée.

Mais les équations ci-dessus sont transcendantes et extrêmement compliquées ; on ne peut donc les résoudre que par approximations successives ou par des artifices équivalents. Les diverses méthodes de détermination des orbites planétaires se distinguent , par la mise en œuvre, plus ou moins avantageuse, de ces artifices. L'essentiel, ici, est d’avoir constaté que trois observations (convenablement espacées) d’une planète suffisent au caleul de ses éléments.

Il reste à expliquer comment on tient compte d’observations

dont le nombre est supérieur à 4. Soient »n le nombre des obser-

valions, is As, Ass An, ss do

les éléments de l'orbite déterminés au moyen de trois d’entre elles, et

a, + Aa,, a, + Aa,, a; + Aa, a, + Aa,, a; + Aa, a; + Aa,

des valeurs meilleures des éléments cherchés.

Chaque observation permettant d’écrire deux équations entre ces éléments, à l’ensemble actuel d'observations correspond un système de 2n équations de la forme

Fa; + Aa,, a, + Aa,, … a; + Aa.) =0, 3 — 1,9, .….. 9n.

Le développement en série de chacune d’elles, suivant les puissances croissantes des corrections Aa,, Aa,, … Aa,, et limité aux termes du premier degré, les transforme dans - dF; dk r dFi\ TROIS Aa - Aa -— |} +...+ Aa, ——

i( LE) DE A 1 da, Eur 2 da, je ae 6\ 4 système de 2n équations linéaires en Aa,, Aa,, .… Aa,, que l’on traitera par l’une des méthodes de la théorie des erreurs.

Ty

de (0)

Résultats. — Les tableaux ci-dessous donnent, pour chaque planète, les cinq éléments géométriques de son orbite et la durée de sa révolution sidérale (au 1* janvier 1900). \

Longitude du nœud ascendant

Mercure 470 SA" Jupiter 99° 12086 00R Vénus ÉD ENT Gould Saturne 112 20040m808

Terre (] 0 0 Uranus 19 UM EZS RES

Mars 48 L' TPM 2 Neptune 130 20005

Inclinaison sur l’écliptique

Mercure AC Jupiter 19194808 Vénus sa DST Saturne 2 y 120 rte

Terre (Ù DU Uranus 0.0 rt

Mars (AS l Neptune 1 22400

Excentricilé

Mercure 02050101 R AT) Jupiter 0,04833 (1 : 20) Vénus 0,00682 (1 : 440) Saturne 0,05589. (1 : 18) Terre 0,0167%5 (1: 60) Uranus 0,04634 (1: 22) Mars 0,098814 (16048) Neptune,

Rapport du grand axe uu grand axe de l'orbite terrestre

Mercure 0.387 Jupiter b,203 Vénus 0,723 Saturne 9,555 Terre . 4,000 Uranus 19,218 Murs 1,524 Neptune À 30,110 Longitude du périhélie Mercure 13% 53 50 Jupiter 1% 43 146" Vénus 130 SI 20 Saturne 9 5,54 Terre 101 13 7 Uranus 171 SES Mars ME LE 6 Neptune 46: "1800501 Révolution sidérale (en jours moyens) Mercure 81,969 Jupiter 4 332,589 Vénus 224,701 Saturne 10 759,23 Terre 360,256 Uranus 90 688,45 Mars 676,980 Neptune 60 181,3

Distances à la Terre. — Abstraction faite de l’excentricité et de linclinaison des orbites, les distances extrêmes d’une planète à la Terre sont (p + R) et la valeur absolue de (p — R), où pet R sont les distances moyennes de la Terre et de la planète au Soleil.

Voici le tableau de ces distances extrêmes, avec p — 1, et les rapports de ces distances :

Dist. max. Dist. min. Rapport | Mercure 1:59 1061 2,26 Vénus 1512 0,28 6,22 Mars 202 (1Rs» 4,02 Jupiter 6,20 4,20 1,48 Saturne 10,54 5,94 1025 Uranus 20,18 18,18 114 Neptune 91,06 29,06 1,07 Remarque. — Après avoir établi le mouvement elliptique du

Soleil autour de la Terre, nous avons résolu sur ce mouvement un certain nombre de problèmes (n° 52) : vitesse linéaire de l’astre, instant défini par l’une de ses coordonnées polaires, coordonnées de l’astre à un instant donné ; nous avons introduit l’anomalie vraie, l’anomalie moyenne, lanomalie excentrique, liées par une équation connue. Ges problèmes et ces définitions s'appliquent aussi bien au mouvement d’une planète autour du Soleil, lorsque le plan de Porbite est déterminé. L’excentricité de chacune des orbites planétaires est assez petite pour assurer la convergence du développement en série qui exprime l’anomalie excentrique en fonction de anomalie moyenne.