DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES

une erreur ne surpassant pas en valeur absolue une quantité € donnée à l’avance.

Le développement de f(x, + h, ya + k) suivant les puissances croissantes de À et de À permet d'écrire

à = {to + k, yo + k) = (to, Yo) + hf'x (Go, Yo) + kf'y (Go, Yo) . Lepr, (o + 0h, Yo + 0k) + hf, (to + 8h, yo + 8h)

+ Of, Co + 6h, 1 + 68),

où 8 est une quantité inconnue comprise entre Ü et 4. Par hypothèse, on peut se contenter d'écrire 2 = f(&, Yo) + hf x (vo, yo) + kfy (Go, Yo)

pour tout groupe de valeurs de h et de Æ satisfaisant aux conditions

— Le < hf, (0 + 0h, yo + 8k) + Dhkf, (us) HR, Qu) < + 9%,

ou, dans les applications, à très peu près,

2 < Nfau (Go, yo) HQE Go, Vo) + KE 4y (Go, Vo) < 4%

En d’autres termes, on peut, dans le calcul de z en fonction de x et de y, écrire

2 = f(to, Yo) (& — Lo)f &(o, Yo) + (y — Yo)f'y (Lo, Yo),

c’est-à-dire considérer z comme une fonction linéaire de x et de y, pour tout couple (x, y) satisfaisant à

— De < (& — Lo) fo, Yo) + Ut — %0) (y — Yo)f yo, Yo)

+ (y — yo f,, K%o, Yo) < + Le.

Si, en vue d’une interprétation géométrique, nous considérons en même temps la surface qui a pour équation

nous voyons que nous pouvons, à l’approximation actuelle, substituer à cette surface son plan tangent au point (&, y), en tout point (æ, y) non extérieur au domaine limité par les deux coniques

(æ EE æo) f. (eo, Yo) + Ax AE ») (y ns Yo) (Es. Yo) + (y — Yo) f, (2, Yo) = + %E,

dont le point (%o, yo) est un centre commun. 1° Si, au point (&o, Yo), le binôme en est négalif, ces deux coniques sont des ellipses dont une seule est réelle.

% Sice binôme est nul, l’une des coniques est une parabole réduite à deux droites parallèles, et l’autre est imaginaire. ,

3° 51 ce binôme est positif, ces deux coniques sont des hyperboles conjuguées.

Ce domaine du plan xy est limité par la projection sur ce plan d’une indicatrice des courbures de la surface z = f(x, y) et relative au point (%o, Yo) de cette surface.

On ne pourra pas oublier que ce domaine a été délimité en supposant 8 — 0, et, plus particulièrement dans chacun des deux derniers cas, ce n’est que prudemment qu’on s’éloignera du centre dans une direction à peu près asymptotique.