LE PROBLÈME DE LA PARALLAXE

® Les coordonnées polaires (p, a, d) d'un point M par rapport aux axes OXYZ.

On demande les coordonnées polaires (p,, à, d,) du point M par rapport aux axes O,X,Y,Z,.

En projetant successivement sur les directions de chacun des trois axes le segment rectiligne O,M et le contour O,0M, qui ont même origine et même extrémité, on obtient les trois équations

P; COS 4, COS Ÿ, — Æ + p COS à cos d, p, Sin @, COs à, = n + p sin à cos à, p, Sin à, — L + p sin à.

Leur résolution par rapport à (p, — p), (a, — a), (d, — à) fournit les solutions rigoureuses du problème :

— £ sin à + n cos à

et eo

A, —0 a, + . a + £ COS d — sin d séc - 3" (Ecos “rare + n sin ne)

Lg (D, — 5) — . Fa pæEsinb-+cosbeée "(€ cos A7 +nsin J"

Cas particulier. — Ce problème se rencontre le plus souvent dans le cas particulier où les rapports £ : p, n : p, £:p,et par conséquent les différences

SD Os ko 0, 20 — | p p sont des quantités petites, c’est-à-dire telles que leurs mesures (en radians pour lesangles) ont pour carrés et produits deux à deux des quantités négligeables.

Au moyen des accroissements h, k, L subis par les coordonnées polaires, les équations du problème s’écrivent

(p + h) cos (a + Æ) cos (d + 1) = £ + p cos a cos à, (p + h) sin (a + k) cos (d +!) = n + p sin a cos à, (p + À) sin (o +1) — & + p sin d.

Par hypothèse, nous pouvons développer les premiers membres en séries suivant les puissances croissantes de k, k, l, et arrêter ces développements aux termes du premier degré. Geci constitue un système de trois équations linéaires en k, k, L ; leur résolution fournit les expressions des inconnues à l’approximation actuelle :

h —= (£ cos à + n sin à) cos d + L sin à,

SE VE n k —=|—" sin à + — cos a ) séc b, AD P 74 : A É Re TS Sin À + — COS à.

Mais ces formules ne sont utilisables que si les quantités négliweables par hypothèse ne sont pas, dans les termes négligés des développements en séries, multipliées par des quantités très grandes : ce dont on devra s'assurer en calculant les termes du second degré de ces développements. On constate alors que les dérivées secondes

Re OP UP

dE?’ 3n? dEln dE” dn” EM prennent pour £ = 0, n —= 0, € — 0, des valeurs renfermant en facteur soit séc à, soit tg à. Ainsi les expressions approchées de k et { ne restent applicables à lapproximation actuelle que si à n’approche pas de + rt : 2.

Définition. — On appelle parallaxe d’un élément géométrique quelconque mesuré par rapport à des axes OXYZ la quantité qu’il faut ajouter à cette mesure pour avoir la mesure du même élément par rapport à des axes O,X,Y,Z, parallèles aux premiers, et, habi-