TRANSFORMATION DES COORDONNÉES RECTILIGNES

Problème théorique. — On donne : 1° un système OUXYZ d’axes rectangulaires ; ? Les coordonnées (x,, vs, 2) d’un point 0; lescosinus directeurs (a,, Db,,c,), (a, b..c,), (a, Ds, ©) detrois droites dirigées X', Y’, L' passant par le point O'et non situées dans un même plan ; 4° Les coordonnées (x, Y, z) d’un point M.

On demande les coordonnées (x', y’, z') du point M par rapport aux axes O'X'V'Z'.

En projetant, successivement sur les directions de chacun des rois axes du système OXYZ, le segment rectiligne OM et le contour O0'M, qui ont même origine et même extrémité, on obtient les trois équations :

= 2%, + ax + a,y + 437, Y = Yo + dit Æ by Hz, D a ie Ce DE de

Problème inverse. — Inversement, soit à exprimer les coordonnées nouvelles (x', v', z') en fonction des coordonnées anciennes (x, y, Z), des coordonnées anciennes (x,, V,, z) de la nouvelle origine, et des neuf cosinus directeurs.

Posons

différent de zéro par hypothèse, les trois axes nouveaux n'étant pas dans un même plan, et écrivons

LANTA INSERT RSR RE LCR, CORRE Co

le déterminant adjoint du déterminant À.

La résolution, par rapport à x',.y', z, des trois équations linéaires qui terminent le problème précédent, donne LANCE T) EE QUES Yo) + GG — 20) y=A,(œ—at)+B(y—v)+G (EG 2) ne Get) PE Grey) (ee)

Circonstances usuelles. — Les axes nouveaux sont ordinairement rectangulaires comme les axes primitifs. Outre les conditions

++ —1, mb +1, d+b+é—1, les neuf cosinus vérifient encore, dans ce cas, les trois égalités

at + bb; + cc; = 0, d@ + bb, + cc = 0, Aide + bb, + cc — 0.

Il en résulte que Ne a + b' —- c dde bb, EC. 0 bb PCR | OO DEC TRE ee b; —+- e Aolz + 0203 + Ces

| a + bb, + cc aa, bb, Ecc, a +bi+ c, |

et À est égal à + 1 suivant que les deux systèmes d’axes sont de même sens ou de sens contraires. Nous les supposerons de même

sens :