TRANSFORMATION DES COORDONNÉES RECTILIGNES VE

: On reconnait alors aisément que le déterminant À est identique à son déterminant adjoint, élément par élément, de manière que

L =; Cr — 4%) +, {y — 45) + 0 (2 — 20), y —=4@ ra ao em CS 20):

— > (& — NU CUS ERA EE En):

Cas particulier. — [ans le cas particulier où deux axes de même nom, par exemple Z et Z’, sont parallèles,

D) Di Craie

Supposons que les axes nouveaux sont rectangulaires, et soit œ la valeur commune aux angles XX" et YV’. Les formules générales se réduisent à

%—= L) + &' COS A — y Sin à, y = Y, + £' Sin à + y cos à,

2=Z% +2, el m— (æ—#x,) cos à + (y — y) sin 0, y —=—(x—#,) sin à + (y — y,) cos a, D NZ — 73 Problème pratique. — Dans la pratique, les directions des

axes rectangulaires nouveaux (X’, Y’, 2") sont connues non par leurs cosinus directeurs, mais par les coordonnées polaires de deux d’entre eux, par exemple X' (a, à,) et Z' (a, d,), tandis que le troisième, Ÿ’, est déterminé par la condition d’être perpendiculaire au plan des deux autres et de compléter un système nouveau de même sens que le système primitif, ou de sens contraire.

Nous savons que

G, —=COS 4, COSÙ,, x —= COS À, COS Ô;, ASIN EC OS 0 DSin Co D 6—= SIN 0), RES e

De plus, les conditions de perpendicularité de Y’ à X'et Z’ sont

ad, + b,b, + 0,0, = 0, Ally À 0,03 + Cocz = 0,

d’où, pour déterminer &,, Do, Ce,

(Lo ver b, Ar Co + 12

et le système O'\'V'Z" aura ou n'aura pas le sens du système OXYZ suivant que, dans le dernier membre, on adopte le signe supérieur ou le signe inférieur.

Remarque. — Les deux directions X’, Y’ devant être rectangulares, les quatre données, à,, d,, &,, d,, du problème précédent sont liées par la condition

sin Ô, Sin à, + cos à, cos à, cos (a, — a) —=0,.

Le problème le plus général de la transformation de coordonnées rectangulaires n’exige donc que la connaissance de six données : les trois coordonnées de la nouvelle origine et trois paramètres dont les neuf cosinus directeurs des axes nouveaux soient des fonctions vérifiant les six égalités

a 2 2 MES a +b +c =1, A3 + bob3 + CC = 0, 2 2 2 Line D el ls ad, + bib, + cc, = 0, 2 2 2 a, +6, Eee —"?, ads + bb, + cc, = 0.

I y a donc une infinité de pareils systèmes de paramètres admissibles. La mécanique adopte ordinairement les quantités connues sous le nom d’angles d'Euler. La géométrie emploie fréquemment les paramètres dits d'Olinde Rodrigue. Nous ferons

usage de préférence, en vue des applications, des quantités À, B, G, introduites par M. Goedseels, et qui vont être définies.

Rotations successives. — Le déplacement des axes parallèlement à eux-mêmes de l’origine O à l’origine 0° n'offre aucune