AU

une constante, d’où, avec la constante d'intégration au,

x = au(À — À,) (1)

rate au COS @

do ;

d’où encore [ y — an log tang e A “ (2)

où il s’agit d’un logarithme népérien. Telles sont, en (1) et @), les équations de correspondance, desquelles on tire

eu, = 0," g9 = au 008? peg— RUES et cette correspondance exclut la représentation des pôles.

Les images des méridiens sont des droites parallèles à l’axe des y, et cet axe correspond au méridien X, ; à des méridiens équidistants correspondent des droites équidistantes.

Les images des parallèles sont des droites parallèles à lPaxe des +, et cet axe correspond à l’équateur ; à des parallèles équidistants correspondent des droites d'autant plus distantes que la latitude est plus grande en valeur absolue. Lorsqu'un point terrestre se rapproche d’un pôle, son image s'éloigne indéfiniment. Le canevas est symétrique par rapport à ses axes.

Le rayon de la scalaire, circulaire en tout point, est

indépendant de la longitude. Le long de l’équateur, l’échelle se réduit à son minimum, Lu ; elle augmente indéfiniment quand la latitude tend vers (+ t : Ÿ).

La carte de Mercator, ou carte marine, étant conforme, et les méridiens y étant figurés par des droites parallèles, représente

NOTIONS DE CARTOGRAPHIE 195

par des droites les loxodromies ; celles-ci sont les courbes du géoïde coupant les méridiens sous un angle constant : ce sont à peu près des arcs de loxodromie que décrivent les navires se déplaçant de manière à maintenir invariable la lecture du compas. Sur la carte, l’équation d’une loxodromie est

WU ML ER, et, par suite, en coordonnées curvilignes,

ki log tang Ë + ner 2e

Carte équivalente de Flamsteed. — On convient d'appeler échelle d’une carte équivalente la racine carrée u = V,{, de son

échelle des aires. Ainsi, dire qu’une carte équivalente est construite à l’échelle de 1 : 20 000, c’est dire que son échelle des aires est égale à (4 : 20 000).

La condition d'équivalence, suivant une échelle des aires ,À,,

d’une correspondance de la sphère et du plan est

dx \’ y (a F (a AdGdTREdUAU En rene | a) +(2 È i a) . Ta dop| ÉpNIEeRs te Des fonctions qui satisfont d’une manière simple à cette équation sont

Z —= AUÀ COS P, y = aup, d’où DRE = CON ER Où

La carte équivalente, définie par ces équations, porte le nom de carte de Flamsteed ou carte sinusoidale : les images des pôles y sont des points singuliers.

À des parallèles équidistants correspondent des droites équidistantes, parallèles à l’axe des x, qui représente l'équateur.

Le méridien de longitude X a pour image la sinusoïde

& —= AUX COS — U au ?

la portion de plan occupée par la carte du géoïde entier est limitée par les deux ares de la sinusoïde x = + nau cos au qui se rejoignent aux points (0, + mau : 2). — Le canevas est symétrique par rapport aux axes coordonnées.

L'’échelle des longueurs au poiñt (À, p), dans la direction

d quelconque r — se tire de

(éch.} cos” p — 2X sin @ cos sr + (1 + \ sin? p) ra ONE cos? o + 7°

En particulier, le long de tout parallèle, elle est égale à u, et à H 1/1 Æ À sin? o le long du méridien À.

Carte équivalente de Bonne. — Ce n’est pas par un hasard heureux qu’on a trouvé, pour satisfaire à l’équation aux dérivées partielles de équivalence, les fonctions qui définissent la carte de Flamsteed. Dans un enseignement détaillé de la Cartographie, on verrait comment ces fonctions résultent de conditions supplémentaires imposées à la carte équivalente, de celle, en particulier, de donner des droites pour images des parallèles du géoïde.

De même, imposons nous la condition que les parallèles du géoïde soient représentés par des circonférences concentriques : nous réaliserons la carte de Bonne. L’équation d'équivalence est satisfaite, avec cette condition, par les fonctions suivantes, dans lesquelles p représente le rayon de la circonférence qui doit figurer l’équateur :

.. AUX COS p

T0 0 SIL ; p up) ere

AUX COS p

— (p —% COS

y = (P up) Ne he

d’où

eg — f* = afu* cos? ®,

et les pôles sont des points singuliers de la représentation.

NOTIONS DE CARTOGRAPHIE 197

Nous connaissons l’allure des images des parallèles ; leur centre commun appartient à l’axe des y, et le canevas est symétrique par rapport à cet axe.

Le méridien de longitude À a pour image une courbe dont équation différentielle est

dy % — — {ang | 0 dx PEN D ue où on à posé

uuX COS P.

cotang 86 —= À 1 = ng sin @ rt

L’échelle des longueurs au point (X, œ), dans la direction », se déduit de

PR NS COS De 2005 Dsin 0 COS OT Tr.

FÉDE

elle est, en particulier, égale à u le long de tout parallèle, et à u coséc 0 dans la direction du méridien, au point (À, ®).

En calculant lPéchelle des aires, nous trouvons, comme il était nécessaire, une constante, u°.

C’est ce système cartographique qui a été adopté pour la construction de la Carte de Belgique, minutée à l'échelle u = 1 : 10 000, et publiée aux échelles u = 1 : 20 000, 1 : 40 000, 1 : 100 000, 4 : 160 000. Mais le géoïde y a été considéré comme ellipsoïdal de révolulion, avec les dimensions renseignées plus haut.

Perspectives. — Plusieurs systèmes cartographiques usuels consistent à considérer la carte comme une perspective du géoïde sphérique : cette perspective est définie par la position du point de vue et la position du plan qui porte la carte, par rapport au géoïde. L'image d’un point du géoïde est l’intersection de ce plan avec la droite déterminée par le point considéré et le point de vue.

Soient(XÀ, p) les coordonnées géographiques d’un point terrestre quelconque, (Xc, Yo, Zo) les coordonnées rectilignes du point de vue, et (ls, Po) les coordonnées géographiques du rayon terrestre

auquel est perpendiculaire le plan qui porte la carte. En coordonnées courantes (£, n, ©), l'équation de ce plan est

Z cOs Ào COS Po + n sin À cos po + C sin p, — dû,

avec aG pour mesure de sa distance au centre du géoïde, positive ou négative suivant que ce plan se trouve ou non, par rapport au. centre, du même côté que le point terrestre (k, po). La droite déterminée par le point de vue et le point terrestre (À, @) à pour équations

EC RN n — Ÿ, | CL — Lo

a Cos À cos pi 2XS 0 ASIN À COS DEN NDS

et, par conséquent, les coordonnées (£, n, &) du point cartographique (À, @) sont

a cos À cos ® — Xo (a cos À cos @ — Xo) cos Ào Cos po.”

ë— Xo + [aC —(Xo cos Ào cos po + ::)]

a sin À Cos ®— Yo … (a cos À cos p—Xo) cos Ào cos po+--”

n = Yo + [aC—(Xo cos Ào cos po + --)]

x 4 à a sin ® — Lo = Lo + [aG — (Ko cos ko cos po + :-)] (a cos À cos D cos Ào COS po+-..

Passons de ces coordonnées de l’espace aux coordonnées (æ, y}

du plan de la carte. Soient (a, 8, y) les coordonnées (£, n, ©) du point du plan adopté pour origine :

a COS Ào COS Po + B sin À, COS po + y sin p;, — al.

En représentant par (X, x) le cosinus de l’angle des axes des X et des +, les équations de transformalion sont

E—a+ax(X, &) + y, y), 1 = 8 + 0, 2) + y, p T—=Y+c(Z, x) + y, y), où (X, 2) H (X, y} + cos ko COS po — , (Y, æ&) + (NN, y} + sin? À, sin po— |, (Z, x} + (2, y} + sin* po = 1,

NOTIONS DE CARTOGRAPHIE 199

(Y, æ) (Z, &) + (Y, y) (Z, y) + sin À, sin p, cos po — Ù, (Z, æ)(X, æ) + (Z, y) (X, y) + cos À, sin ps cos po — 0, (X, æ) (Ÿ, æ) + (X, y) (Ÿ, y) + sin À, cos Ào COS po = Ù ;

et, inversement,

d=(E — à) (, À) + n — 8) (x, Y) + — 1), 2), DES) GP) ERA ER) (CE pr) y).

Telles sont les équations de correspondance, où il faut considérer &, n, & comme les fonctions, calculées ci-dessus, de À, ®.

Pour préciser, prenons comme origine, sur la carte, le point de percée du rayon terrestre (\o, @), pied de la perpendiculaire abaissée du centre du géoïde sur la carte ; conduisons l’axe des y le long de l’image du méridien de ce point, vers l’image du pôle nord ; et complétons un système (x, y) gaucher. Dans ces conditions, nous obtenons :

Or) Sin a (X, y) —= — cos À sin po, à — aGû cos À, Cos p,, (V,æ)=—cosks, (Ÿ, y) — — sin, sin po, B — «aG sin À, COS Ps, (Z, æ) # 0, (Z, y) — COS Po, ES aC sin Po,

et, par substitution, les expressions de x, y.

Les perspectives les plus intéressantes sont celles dans lesquelles le point de vue appartient au diamètre (X,, @), auquel le plan de la carte est perpendiculaire. Appelons alors ap la distance de ce point de vue au centre du géoïde, positive ou négative suivant que le point de vue n’est pas ou est, par rapport au centre, du même côté que le point terrestre (0, Po) :

Xo — — ap cos À, COS Po, Yo, —— ap sin Ào COS Po, Lo = — p SIN Po.

Il en résulte que

cos À cos —- p cos Ào Cos po $ sin @ sin @o + Cos p cos po COs (À — Ào) + p”

= — — p cos \o cos po + (C + p)

sin À Cos @ + p sin Ào COS Po sin sin o + cos p cos po cos (À — Ào) + p

== — p sin Ào cos po + (C + p)

sin @ + sin po sin @ sin pv + cos p cos po cos (À — Ào) + p

= — p Sin Po de (Up)

et cos sin (À — do) k sin @ sin Po + cos p cos pu cos (À — Ào) + p

sin @ COS Po — COS p sin Po COs (À — Ào) sin sin Po + Cos p Cos po Cos (À — Ào) + p

Ce mode de perspeclive n’est appliqué que dans les trois cas particuliers suivants : +

4) Lip — 0, ce qui équivaut à un point de vue infiniment éloigné : c’est la projection horizontale ;

®) p —0, c’est-à-dire que le point de vue est au centre du géoide : c’est la projection centrale ; |

9°) p—1, c’est-à-dire que le point de vue appartient au géoïde, et est diamétralement opposé au point terrestre (, Po) : c’est la projection stéréographique.

Projection horizontale, — En introduisant l’hypothèse 4 :p —0 dans les formules générales, celles-ci deviennent :

Z = — 4 COS p Sin (À — Lo), y —= af[Sin p cos p, — cos p cosps cos (À — Ào)],

et ces coordonnées sont indépendantes de la distance du plan de projection au centre du géoïde. Aux points de ce plan faisons correspondre les points (x, y’) de la carte définitive au moyen des relations

Ai = 70 / ! —— DV UT , (71 FFE UY,

où u est une constante positive quelconque. Les images des méridiens et des parallèles appartiennent à des ellipses dont on étudiera utilement les diverses particularités. La carte n’est ni conforme, ni équivalente ; à Porigine (, @,) de la carte, la scalaire est circulaire et de rayon u.

Projection centrale. — La projection centrale, p = 0, est dite polaire, méridienne où horizontale suivant que le plan qui porte la carte est perpendiculaire à l’axe terrestre, à un rayon équatorlal, où à tout autre rayon terrestre déterminé. |

NOTIONS DE CARTOGRAPHIE 131

re . : ; TT Dans le cas général d’une projection horizontale,0 < |p5| < ÿ et

cos @ sin (À — À;)

DT A sin @ sin Po + COS P COS Po COS (À — À) : AC Sin @ COS Po — COS P SIN P, COS (À — À.) CAPES SIN @® Sin Po + COS P COS Ps COS (À — Ni , TT Dans le cas particulier d’une projection polaire, p = + ÿ et

æ — + aû sin (À — À,) cotg p, y = — aû cos (À — X,) cotg ® :

les méridiens sont reclilignes convergents, et les parallèles sont circulaires concentriques ; l’équateur est inaccessible. Dans le cas particulier d’une projection méridienne, p,— Ü et

2 = — aG tg (À — Lo), y = aû séc (À — À) ig 9 :

les méridiens sont rectilignes parallèles, et les parallèles sont des branches d’hyperbole dont l’axe imaginaire est l’équateur ; les pôles sont inaccessibles.

Le calcul des échelles est un exercice utile : à l’origine (ko, pi) de la carte, la scalaire est circulaire et de rayon C.

Les cartes de cette espèce représentent les axes de grand cercle par des segments rectilignes, d’où leur utilité en navigation.

Projection stéréographique. — La projection stéréographiqué, p = 1, est dite polaire, méridienne où horizontale suivant que le plan qui porte la carte est perpendiculaire à l’axe terrestre, à un rayon équatorial ou à tout autre rayon terrestre déterminé.

Poe ‘ . . TT Dans le cas général d’une projection horizontale, 0 ps! < 9

et à. cos @ sin (À — À) OT Din p sin pe + cos g cos pe cos À — ) + 1 ONE Ms y= : a(G +1 Sin @ COS Po — COS P Sin Po COS ( o)

sin @ sin Po — COS P COS Py COS (À — À,) ST AU

t = — a (6 + 1) SPC A)

NEINS EE HO Aer er co

les méridiens sont rectilignes convergents, et les parallèles sont circulaires concentriques ; l’équateur est une’ circonférence de rayon «a (GC + 1).

Dans le cas particulier d’une projection méridienne, ps — 0 et

cos p sin (À — À;) + cos p cos (À — À)

sin p p cos (À — Ào)

fees (DT ocre

De ces équations de correspondance, on tirerait l’expression de l’échelle, la description du canevas, etc. Remarquons seulement qu’à l’origine (o, Po) de la carte, la scalaire est circulaire et de rayon (G + 1) : 2; et attachons-nous plutôt à démontrer le théorème suivant : À toute circonférence du géoide correspond une circonférence de la carte.

Nous pouvons évidemment, sans nuire à la généralité, adopter les circonstances simplificatrices de la projection méridienne.

L’équation générale d’une circonférence du géoïde est de la forme

p cos (À — À) cos p + gsin (À — À) cos p +rsinp—=s,.

qu’il faut associer aux équations de correspondance pour éliminer À et p. La résolution des trois équations par rapport à

cos (À — À) cos p, sin (À — À\,)CoS P, sin p,

et la condition que la somme des carrés de ces trois quantités soit

NOTIONS DE CARTOGRAPHIE | 133 égale à l'unité, laissent, après division par (p + s), l'équation (+ s) (2° + y°) + La (CG + 1) (gr —ry) —a (CG +1) (p—s) —0,

dans laquelle on reconnait l'équation d’une circonférence. — Les coordonnées du centre de cette circonférence sont :

AS Te A RE PHS p+s

Or, la circonférence proposée sur le géoide appartient au plan sécant

(p cos À — q Sin Lo) £ + (p sin À + q cos À) n + 1 = as, qui est le plan polaire du point

a (p cos NAS q Sin Lo) a (p Sin Ào + q COS do) ar » non s $ $

La perspective de ce point sur le plan £ cos À + n sin Lo = 40,

qui est celui de la carte, a pour coordonnées (£, n, &) de l’espace

ea (0 +1) PTS ERA Là cos ho, n=a(G+ 1) PEER EEE à sin ho :

l—= [) ——, PS EAN gr et sur la carte EAN A CEE D À a(G+t)r FAN p+s

Ainsi, à toute circonférence du géoïde correspond une circonférence de la carte, et Le centre de celle-cr est la perspective du pôle

du plan auquel appartient la circonférence du géoide. /