REPRÉSENTATION DE LA SURFACE TERRESTRE
Les modes de représentation plane de la surface terrestre (et de la sphère étoilée) seront enseignés dans des Leçons sur la Correspondance des surfaces et la Cartographie. Nous ne donnons ici que les NOTIONS DE CARTOGRAPHIE les plus indispensables.
Surfaces correspondantes. — (Considérons trois fonctions de deux variables indépendantes, w et v :
Et UE y = fi (u, v), D à Qu, v),
et supposons que, pour toutes les valeurs qu’on peut être amené à donner à ces variables : 4° ces fonctions soient continues ainsi que leurs dérivées ; 2° la somme des carrés des trois déterminants fonctionnels
dy dy dz d. | dt dx h=\ du du ei = ui GNU
de de de dy dy
du dv | du dv. du dv |
ne puisse devenir nulle ni infinie.
On sait que lorsque les paramètres et vw varient de façon que, dans le plan des wv, le point de coordonnées (w, v) se déplace à l’intérieur d’un domaine D, dont chacun des points vérifie les conditions ci-dessus, le point (x, y, 2) décrit une surface dont l’équation se retrouve sous forme ordinaire par élimination de « et de v entre les trois équations proposées : w et v sont les coordonnées curvilignes du point correspondant de la surface.
Appelons s cette première surface, et écrivons, sous les mêmes conditions, les équations paramétriques d’une deuxième surface S :
NOTIONS DE CARTOGRAPHIE 119
OAI VAE NOTA Dr Qu, v),
dont les trois déterminants fonctionnels sont H, 1, J tels que H + + JF fimet > 0
À chaque point (uw, v) du plan des wv correspondent un point M (X, Y, Z) de la surface S et un point m (x, y, 2) de la surface s. Il y à ainsi correspondance uniforme point par point entre ces deux surfaces.
Échelle des longueurs, — Toute relation entre « et v définit uné courbe du plan des ww, et établit une correspondance entre une courbe C de la surface S et une courbe c de la surface 5. Écrivons une pareille relation,
AL (u),
et donnons nous une valeur 4, de w. Cette valeur fait correspondre un point M, de la courbe G à un point », de la courbe c. Prenons encore une valeur quelconque « de ce paramètre, et soient M etm les deux points correspondants.
Appelons L et / les ares de GC et de c limités par les points M, et M, m, et m, mesurés positivement dans le sens correspondant aux & croissants. La courbe étant donnée, L et L sont fonctions de « seul, et sont ainsi fonctions l’un de lautre.
On appelle échelle des longueurs de la surface S au point m (u, v), de long de la courbe c, la dérivée de { par rapport à L :
RP Vds +dÿ +de GS NN ER VE 77:
Le calcul de chaque terme de cette expression est sans difficulté.
En posant HS ne ne (dx dy az \ he 7m Us (#) “ (a
NOUS UOTE en de ap du dv Le do Rp du dv
4116 LA TERRE En dx \? 2} | se) JS qe) Dr é L dv /
MÉPOET)
Le () qe ee a (E
dx. dx, dY.dY , dl dl du dv ‘ du dv du dv
A ci # \ dv qu dv a dv p — À Dh
nous trcuverons :
IVe D/TE Ur VE <9P + Gr
Ainsi, l’échelle des longueurs n’est fonction que des coordonnées (u, v) du point où on la prend, et du coefficient angulaire r de la tangente à la courbe v — y (u), c’est-à-dire de la direction de la tangente à la courbe le long de laquelle on la prend. — Il en résulte que, en un point, léchelle est la même le long de toutes les courbes ayant même tangente en ce point.
Dans chacun des trinômes du second degré que renferme l'expression de &, le coefficient du terme du second degré est
positif. Pour toutes les valeurs de r, chacun d’eux passe donc par un minimum qui est (eg —- f*) ou (EG — F?). Or
g—P=R+P TS, EG — F7 = H + PF + J?, quantités toujours positives par hypothèse. L’échelle des lon-
gueurs est donc une quantité toujours réelle, et qui ne peut devenir nulle ni infinie.
Scalaire. — PROBLÈME. — On donne, par leurs équations paramétlriques, deux surfaces correspondantes S et s, et un couple de coordonnées (u, v). On demande le lieu géométrique des points
NOTIONS DE CARTOGRAPHIE 1 4 y
Siluës sur les langentes menées à la surface s par le point m (u, v) de celle surface, de part et d'autre de ce point, à des distances de celui-ci égales à l'échelle & correspondante.
Appelons (£, n, ©) les coordonnées d’un point quelconque de la courbe demandée, et tx, ly, t: les cosinus directeurs de la tangente à laquelle il appartient :
ie. dx e ri dx Si du du Ex + Gi, Lx = + ’ = 2 du ae ; Of. 2 Vda* + dy + dz Ve + 2fr + g1 dy, ,.dy . PA EAN TOR dy qe Re M Viper Votre dz dz dz du si du
Lt Gt, =
EL — Her Var + dé +de Ve+ÿr+ gr
d’où, en fonction de la variable r :
dx |, dx du dv
de ne mou
D on ca
dz .dz
TE VE + 9Fr + Gr°
Ge sont les équations paramétriques de la courbe demandée. Cette courbe est plane par hypothèse. De plus, elle est du second ordre ; car l’élimination de » entre les trois équations paramétriques laisse deux équations entières et rationnelles du second degré. Enfin, ce ne peut être qu’une ellipse réelle, car léchelle, dans aucune direction, n’est imaginaire, ni nulle, ni infinie.
Cette ellipse a pour centre le point m# (x, y, 2) : les points (£, n, ©) correspondant aux signes supérieurs et aux signes inférieurs appartiennent à la même ellipse.
On donne à cette courbe le nom de scalaire ou d’indicatrice des échelles. I résulte de sa nature :
4° que le maximum et le minimum de léchelle en tout point se réalisent dans des directions perpendiculaires, celles des axes de la scalaire en ce point ;
®% qu'il y a, autour de chaque point, quatre directions, opposées deux à deux, ayant une échelle de telle valeur numérique comprise entre l’échelle maximum et l’échelle minimum, et symétriques par rapport aux directions de ces échelles extrêmes ;
3° qu’il suffit que l'échelle soit la même dans trois directions, dont aucune ne soit opposée à l’une des deux autres, pour qu’elle soit la même dans toutes les directions, et que la scalaire soit circulaire.
Amorçons le calcul des directions et des grandeurs des axes de la scalaire, directions et grandeurs des échelles extrêmes. Les valeurs de » qui les déterminent, sont les deux racines de l'équation
(eF — Ef) + (eG — Eg) r + (fG — Fg) =,
dr réelles et distinctes. Les valeurs du maximum et du minimum correspondants s’obtiennent en remplaçant, dans l’expression de
D 0 L Là » Là r “ 6°, r successivement par chacune des racines de l’équation précé-
obtenue en égalant à zéro le numérateur de . Ces racines sont
dente. On obtient ainsi, pour ces valeurs extrêmes, les racines positives de l’équation
(EG) 6 (EgebeG 0) SEE (TO
Applicabilité, — Quelles sont les conditions pour que l’échelle soit indépendante de «, de v et de », — c’est-à-dire pour que l’échelle soit la même en tous points et dans toutes les directions, — ou, encore, pour que la scalaire soit une circonférence de
NOTIONS DE CARTOGRAPHIE 119
rayon constant ?
Ces conditions sont e f g
= = — Constante PRREMEC et cette constante est égale au carré de lPéchelle. On dit, dans ce
cas, que la surface S est applicable sur la surface s, à l'échelle e . U % LL »
ve ou que la surface s est, à cette échelle, un développement
de la surface S.
En particulier, une surface est développable, par définition, lorsqu'elle est applicable sur un plan, et la condition pour qu’il en soit ainsi est indépendante de Péchelle. — La sphère, Pellipsoïde ne sont pas des surfaces applicables sur un plan.
Orthomorphisme. — La correspondance des surfaces et s est dite orthomorphe ou conforme lorsque Pangle de deux directions tangentes quelconques issues d’un point quelconque d’une surface est égal à l’angle des deux directions tangentes correspondantes issues du point correspondant sur l’autre.
Cela étant, cherchons la condition pour que deux surfaces, connues par leur représentation paramétrique, soient en correspondance orthomorphe.
Autour des points m et M correspondants, les deux directions r", r du plan des ww font se correspondre les angles k et K donnés par
COS = in + FU + Et
ch e+f(+r) + grr NORD ENT INTRO Er Ti
cos K=T,T, + TT, E T,T,
+ A AS REA me CE DO VE + 987 + Gr? VE +9" E Gr
Pour que ces angles soient égaux, il faut et il suffit que les
rapports & 1,9 soient des fonctions identiques de w et de v;
EFG c’est-à-dire que l'échelle des longueurs soit, autour de chaque point, indépendante de la direction ; ou bien encore que, en tout point de la surface s, la scalaire soit une circonférence.
Échelle des aires. — Le point (w, v) du plan des ww établit la correspondance du point M de la surface S et du point » de la surface s. Lorsqu'il parcourt le rectangle infiniment petit du dv, le point M parcourt, sur la surface S, l'aire infiniment petite
dE = VEG — F° du dv, et le point m parcourt, sur la surface s, l’aire infiniment petite do = Veg — f* du dv. (1) On appelle échelle des aires de la surface s au point (w, v) le . do rapport 45 ou ANCIEN VIGER 2 nécessairement réel, fini et différent de zéro. Or, nous savons que l'échelle des longueurs maximum @ êt l'échelle des longueurs minimum b, c’est-à-dire les demi-axes de
(1) Pour retrouver cette expression, posons nous le problème suivant : Quelle est, sur la surface s, l'aire do correspondant au rectangle infiniment petit limité par les droites parallèles à l'axe des v el d’abscisses u, u + du, ef par les droites parallèles à l'axe des u et d’ordonnées v, v + dv ?
A ce rectangle correspond un parallélogramme infiniment petit. — Au côté du rectangle “parallèle à l’axe des w (r — 0) correspond, dans le parallélo-
gramme, un côté de longueur Ve : du. — Au côté du rectangle parallèle à l'axe
de o (1 :r = 0) correspond un côté de longueur Va dv. — Aux directions per UE Tre des côtés du rectangle correspond un angle # donné par
cos k = f : Veg, sin & = Veg — f?: Veg; et l'aire du parallélogramme a pour mesure Veg —f?
do — Ve: du x Vg: du x NS NT où Veg—f?: dudo.
NOTIONS DE CARTOGRAPHIE 121
la scalaire au point (w, v), sont les racines positives de équation (EG — F?) $t — (Eg + eG — 92Ff) L° + (eg — f?) + 0.
Nous voyons ainsi que l’échelle des aires en un point est égale au produit des demi-axes de la scalaire en ce point ; elle est, par suite, proportionnelle à l'aire de cette courbe.
On dit que la surface s porte une représentation équivalente de la surface S lorsque l’échelle des aires est constante ; une aire prise sur la surface s et l’aire correspondante de la surface S sont alors dans un rapport constant, égal à l'échelle des aires. — Pour qu'une représentation soit équivalente, il faut et il suffit que l'aire de la scalaire soit invariable. Une représentation à la fois conforme et équivalente constitue un développement.
La Cartographie — Considérons le géoïde, sphérique ou ellipsoïdal, portant les méridiens, les parallèles, et les projections horizontales des points de la surface terrestre. La Cartographie est l’étude de la correspondance de cette surface (ou d’une portion de cette surface) et d’un plan. La figure plane obtenue est une carte du géoïde (ou d’une portion du géoïde). A chaque mode de correspondance répond donc un mode de construction de la carte.
La surface représentée n’est pas développable, et l'échelle ne peut pas être constante : la carte ne peut être à la fois conforme et équivalente.
Le canevas de la carte est la figure formée, sur celle-ci, par l’ensemble des courbes correspondant à un réseau de méridiens et de parallèles du géoïde. On comprend que le tracé d’un canevas suffisamment serré permet de marquer sur la carte, avee telle approximation désirée, l’image de tout point du géoïde défini par sa longitude et sa latitude.
Il suffira 1c1 d'étudier quelques représentations cartographiques du géoïde considéré comme sphérique: pour un géoïde ellipsoïdal, les calculs s’allongeraient, sans que rien d’essentiel, dans les méthodes, doive être modifié.
Soit a le rayon du géoïde sphérique. Comme coordonnées curvilignes de ses points, adoptons la longitude À et la latitude æ. Les équations paramétriques de la sphère sont
X — «à cos À COS ®, "4 Si À COS @, FEAT d'où H= a C6 \ cos op, 0 EST NCOS CD SITES
HSE E cos o
et les pôles lo — + 3) sont, dans ce mode de représentation, des K A
points singuliers qui ne peuvent être considérés ou doivent faire l’objet d’un examen spécial.
D’autre part LESC 072 Nous prendrons le plan z = 0 pour surface de la carte, et les équations paramétriques de cette surface se réduiront à deux fonc-
tions quelconques de X et ® :
dx dx
RL telles que dx de y = fUX, P); dy dy) 0.
dk dy
. L’équation en (x, y) de l’image d’un méridien de longitude À résulte de l’élimination de @ entre ces équations ; de même lélimination de À laisse l'équation en (x, y) du parallèle de latitude ®. D'une façon générale, l'équation en (x, y) d’une courbe y, p)=0 s'obtient par élimination de X et de @ entre cette équation et les équations de correspondance.
Projection plate. — Voici une première application : elle doit tout son intérêt à son extrême simplicité. Le projection plate, qui exclut la représentation des pôles,
TT TT afpour équations paramétriques
LIAUCOS PNEU, ), VE au(œp A + P.),
NOTIONS DE CARTOGRAPHIE 125
Ne au? cos? Ps. LE 0, g = au? :
mg ne ent ASE
u est une constante quelconque ; le point dont les coordonnées sont (À,, @,), soit sur le géoïde, soit sur la carte, est le centre de la projection.
et
d Les échelles des longueurs et des aires sont, avec r — Te 6 Vcos? p, + r° A > COS D, CS 5 DEEMES Vcos? p + 7° COS
invariables le long d’un même parallèle ; la carte n’est ni conforme ni équivalente ; u est l'échelle des longueurs au centre, dans toute direction.
Le canevas se compose de deux faisceaux perpendiculaires de droites parallèles : la distance de deux méridiens, de deux parallèles, est proportionnelle à la différence des longitudes, des latitudes correspondantes.
Carte conforme de Mercator. — La carte dite de Mercator est une carte conforme à canevas rectiligne.
Pour que la carte soit conforme :
1° F étant nul, f doit l'être aussi,
LL 'ORERECL UE OL ER dx dœp LorT Tom
%eet g doivent être proportionnels à E et G,
Ur dy \? dx \? dy \° a) + Ca) — es» |Q) + (8) | Cherchons à satisfaire à ces équations aux dérivées partielles en supposant que x est une fonction de À seul, et y une fonction de @ seul. La première équation est alors identiquement satisfaite, et la deuxième se réduit à dy HAE
dp d\cos p
es étant fonction de seul, il faut que
