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+ “cite oo de Ch et dm ét ns ls de RE)

Coordonnées du Soleil à un instant donné. — PROBLÈME. — On donne le moyen mouvement n, les éléments (a, e) de l'orbite solaire, la longitude Go du périgée, l'instant t, du passage en ce point, et un instant quelconque t.

On demande la longitude G et le rayon vecteur p du Soleil à l'instant t.

En principe, la relation obtenue au problème de entre Get,

n (t— to) = 2 arc tg (UT | 1e Ge 3”) PEN pr 27) + Pr

et l’équation polaire de l’ellipse solaire, a (1 — 6e?) mA eco Ce) résolvent le problème actuel. Mais la première de ces équations est transcendante en G, et cette inconnue ne pourra s’en tirer que par approximations successives.

Nous sommes en présence d’une équation de la forme

où e est une quantité petite, et d’où il faut tirer x en fonction de y. Admettons que la racine (simple) x soit susceptible d’un développement procédant suivant les puissances de e. Soient x (p = 0,1,2... à) les valeurs approchées successives déjà obtenues pour x, et dont chacune est un polynôme en e de degré p. L’approximation suivante consiste dans la recherche d’un polynôme en e de degré (4 + 1) :

Li+1 = Gt A, de sorte que Aix est le terme cherché ‘en ef + !. Le développement en série du second membre de

NE [ (di ct A:æ, e) suivant les puissances croissantes de A;x et de e est, sous la forme His habituelle, un polynôme tel que

FAICUEAr (ae Etes f Gi, 0), TERRES EEE

L’approximation actuelle permet d’arrêter ce développement au

terme p = à + 1, et d’y supprimer tous les termes en A;x sauf

celui dans lequel A;x est au premier degré et qui ne renferme pas e en facteur ; le polynôme se réduit ainsi à

AMIE Ü | è y fon, 0 + DE + ae TER 0)

DS 2 ONG) L’approximation actuelle autorise encore à remplacer, dans chaque terme de rang p de la somme E, x; par son développement limité au terme de e—?+!, et à remplacer, dans le terme en A:x,

æi par la valeur x, indépendante dé e ; ceci permet d’écrire, aussi bien,

y = f(x, 0) ou d? PH nee 20 A;x SRE Di ADS MG EM

C’est de cette équation qu’on tirera la valeur de Ax. Dans le cas actuel où x = G — Go, y —=n(t—t), les premières valeurs successives de (G — G;) sont ainsi :

By G—Go—=n(t—t) æ, …. G— Go = n(t — bo) + 2e sin n (ft — to) Lo G— Go —=n(t— 5) + Le sin n ({— tb) pos sin 2n (£ -— to).

D'autre part, si nous suivons les astronomes dans l'emploi de anomalie excentrique, les équations

n(t— to) = u —e Sin v,

(7/ 5 re Le.

LP CY om Va

p—a(i —e cos u)

résolvent, en principe, le problème actuel, car la première donne « en fonction de {, les deux autres G et p en fonction de «.

Pa

Mais la première équation est transcendante en w, et sa racine, qui est unique pour

(0) < n (t — to) < 27, doit se chercher par approximations successives. On pourra, dans ce but, appliquer les formules établies ci-dessus pour la résolution

d’une équation de la forme y = f(x, e). L’équation à traiter ici est, plus particulièrement, de la forme

EME CP (x), et, dans ce cas, Aix = y — ti + ep (x).

IEpoup&)—sMmr ru y—=n (tt),

u—nñn(t— t) + e sin n(t—t)

bite — g Sin 2n (Lt — 1)

. [2 sin Sn (t — to) — sin n(t— t0)] + ….

On pourra aussi, sans utiliser la petitesse de e, passer d’une valeur approchée w; à une valeur plus approchée w;41 par un commencement de développement en (wi+1 — wi) :

NE lo) — Ui + e Sin 1 — e cos wi

Wii = Ui +

Pour amorcer ce calcul, on pourrait admettre Uo —N(t— lo),

comme il serait vrai dans une orbite circulaire. Mais il est préférable d’obtenir d’emblée une première valeur beaucoup meilleure par une résolution graphique de l’équation, ou par l’emploi d’un nomogramme à points alignés.

Pour préparer la solution graphique, mettons l’équation sous la forme

NA IRELIEe x ae

dans un plan rapporté à des axes (w, y) dessinons les lignes qui ont pour équations y = SIN 4, Lun tb) e )

à savoir une sinusoïide et la droite coupant l'axe des # au point

Ca

[n (t — tb), 0], et sous l’angle dont là tangente est 4 La racine

cherchée est l’abscisse du point d’intersection (qui est unique) de ces deux lignes. — Dans l’équation, sin « a été isolé dans un

Fire 417:

membre pour que la même sinusoïde puisse servir à l’étude d’astres pour lesquels la valeur de e serait différente de celle qui est propre à l’orbite solaire. C’est pour la même raison que le nomogramme de l’équation en « renferme utilement une échelle des e. Voici une disposition avantageuse de ce nomogramme :

Équations de l'échelle des n ({ — &), rectiligne et régulière,

x=0, y—mn(t— to); équations de l'échelle des e, rectiligne et régulière, parallèle à la précédente, à une distance a, TE=ILNUy EU er par conséquent, équations de l’échelle des w,

__asinu REUEAUrt (1) X y —= | .

H, Sin u + M

ni H, Sin % + ue

(1) Un artifice facile à retrouver permet le repli sur elles-mêmes des échelles des n (t — to) et des uw à partir de la valeur x de leurs paramètres, pour laquelle elles ont un point commun.