Méthode de Lieussou

M. Lieussou a relevé les marches d’une centaine de chronomètres suivis aux Observatoires de Paris et de Greenwich pendant plus d’un an chacun. Partant de ces données expérimentales, 1l est arrivé, comme on l’a vu, à représenter les marches par la formule

Hat b(O 0)?

Le terme en £ exprime l'accélération : @ est une constante instrumentale. L'expérience a donc prouvé à M. Lieussou, contrairement à l’opinion de M. de Cornulier, que cette accélération est sensiblement constante pendant la période de plus d’une année qu'embrassent ses observations. Elle a aussi prouvé l’inexactitude de la loi de proportionnalité aux variations de température. M. Lieussou revient ainsi aux idées de Fleurieu et Borda : ceux-ci, « au lieu d’un coefficient constant, faisaient usage d’une Table d’équation appropriée aux différents degrés de l'échelle thermo- Métrique. Ils ne pensaient pas que les variations de marche

«si

fussent proportionnelles aux variations de la température. » (Recherches Chronométriques, p. 129-130). | La formule de Lieussou, établie comme résultat d’un grand nombre d'expériences, peut être considérée comme donnant bien la loi empirique des marches d’un chronomètre. Mais il convient d’avoir égard aux conditions dans lesquelles elle a été vérifiée par son auteur :

° Les chronomètres observés sont restés en place aux obserz vatoires : ils n'étaient pas soumis aux mouvements du navire. 2° La température du milieu ambiant variait graduellement d’une

façon très régulière; c'était la température naturelle de la salle des

l'observatoire où les montres étaient suivies : et ses variations

étaient assez continues pour que M. Lieussou ait pu essayer d’ens

donner une formule empirique très simple. Nous avons établi que

lorsque les variations de température se produisent brusquement comme cela arrive parfois dans le cours d’une traversée, il en résulte généralement une certaine perturbation dans les marches qui se traduit par une altération de la marche constante figurant dans la formule, et quelquefois du coefficient à d'accélération: Aussi les concours du Dépôt de la Marine, dans lesquels on trans: porte sans transition les chronomètres d’une température à une

autre qui en diffère d’au moins 15° et quelquefois 20°, sont-ils très

propres à faire apprécier le plus ou moins de sensibilité des

montres à cette cause de variation, d'autant plus pernicieuse qu’on

ne peut pas en prévoir les effets. Les montres deviennent moins sensibles avec le temps, mais l’effet n’est jamais entièrement nul:

3° Les chronomètres avaient des huiles dont l’âge ne dépassait guère dix-huit mois. Avec des huiles plus vieilles, M. Lieussou à reconnu qu'il peut y avoir lieu d'introduire un terme de la forme «t?, ce qui revient à dire que le coefficient d’accélération dépends du Es et qu'il est de la forme a + at.

° Les chronomètres expérimentés étaient tous munis du balan= cier te ordinaire associé au spiral en acier trempé, sans compensation additionnelle, La formule exprime donc la propriété bien connue de ce régulateur, de donner de l'avance aux tempé= ratures intermédiaires entre celles pour lesquelles on a obtenu l'égalité de marche. Elle ne serait plus aussi généralement vraie si l’on avait affaire à une compensation supplémentaire.

La plupart des chronomètres de notre Marine ont des balanciers circulaires et des spiraux en acier, et l'expérience des concours prouve avec la plus entière évidence que la plupart retardent au chaud et au froid : par conséquent ils se prêteront à peu près tous à l'application de la formule Lieussou. Les inconnues, quand on a observé un certain nombre de marches à des températures diverses, sont #0, &, b et @ : cette dernière entre au second degré, car si le terme en b O2 disparaît par un mode d’élimination conenable, il n’en est pas de même du terme 2 b@0 qui contient le produit des inconnues b et @. M. Lieussou a indiqué une méthode très élégante de détermination des coefficients pour le cas où les époques des quatre observalions de marche sont en progression arithmétique : mais on aura rarement l’occasion de procéder ainsi en mer. Dans l’application de sa méthode aux chronomètres de la Coquille, M. Lieussou détermine d’abord le coefficient & à l’aide de deux marches isothermes; soient m,, m> deux marches observées à la même température 0 aux époques #4 et é2, on a

Me — M; lo 2 in /

A l’aide de ce coefficient on réduit toutes les marches à la même époque, et les résultats ne diffèrent plus entre eux que des effets dûs à la température. M. Yvon Villarceau a critiqué cette formule : il lui reproche de présenter les faits sous un faux jour quand la marche varie proportionnellement à la température. Dans ce cas, en effet, @ devient infini. Cette hypothèse ne sera probablement Jamais tout à fait vraie; mais, pour un chronomètre très imparfaitement compensé, @ pourrait acquérir une valeur démesurée, ce Qui serait incommode pour les calculs. Il vaut donc mieux, dans la pratique, développer la formule; en posant

Mo + bO? = m!, —9bO— b!, elle devient

Mimet DIE DO

et les nouveaux coefficients à déterminer sont m', a, b, b'. Ayant observé les marches qui correspondent respectivement aux époques li, lo, ls, li et aux températures 6,, 02, 03, 04, on aura

Casparl. — Asironomie, I. 18

résoudre le système des quatre équations

m=m'+ at; + b'6, + b6?, m: = mm + al; + b'0, + b03, ms = mm + at; + b'0, + b02, m,=m + al, + b'0, + bo3.

La solution générale est connue, mais la formule est longue. Si l’on a deux marches isothermes, on fera bien d’en déduire a avant de commencer les calculs. Si l’on n’a pas de marches rigoureusement isothermes, on peut, dans des limites qui ne dépassent pas 3° ou 4°, interpoler proportionnellement en employant un. coefficient de température approché. On déduira ensuite des équations précédentes, en les retranchant deux à deux, les équations

Mi — Mi Q (ti — 2) + D! (061 — 6,) + b (9? — 0Ë),

Ms — My = A (lt; —t,, + D (93 —0,) + b (0 — 6),

qui ne contiennent plus que les inconnues b et b' lesquelles se trouvent ainsi déterminées fort simplement. Pour la facilité et l'exactitude des calculs, on combinera les équations de telle sorte que le dénominateur commun des inconnues soit le plus grand possible : ce dénominateur est

IL faut donc éviter que 6, + 0, ne soit égal à 63 +0,, ce que lon obtiendra en groupant ensemble les deux températures les plus élevées et les deux températures les plus basses.

On voit par ce qui précède comment, selon les circonstances, on peut simplifier les calculs. En tout état de cause, on peut éliminer » par soustractions et réduire le nombre des inconnues et des équations à trois.

Une fois b et b' calculés, on aura facilement la température de

réglage

On devra déterminer cette constante, qui paraît le mieux caractériser le chronomètre, et qui donne la meilleure idée de son allure aux diverses températures. D'après les expériences faites, c'est la donnée sur la constance de laquelle on peut le plus sûrement compter.

Lorsqu'on à déterminé les coefficients de la formule, on vérifie, par comparaison avec les observations, le degré d’exactitude de ces nombres. Des marches obtenues ultérieurement pourront conduire à modifier légèrement les résultats primitifs : c’est surtout dans des retouches de cette espèce qu'on peut procéder par approximations successives. On arrivera par là à tenir sa formule pour ainsi dire constamment à jour.

88. — Méthode de M. Yvon Villarceau. Application du théorème de Taylor.

Nous avons eu à diverses reprises occasion de parler des travaux de M. Yvon Villarceau sur les chronomètres. Ce savant pensait qu'en suivant ses indications on pourrait faire des chronomètres exactement compensés : mais en prévision de l'usage d’instruments moins parfaits, 1l a donné à la fin de son Mémoire une formule pour exprimer la marche d’une montre mal compensée. Admettant que cette marche est une fonction continue de la température et du temps seuls, il la développe par la série de Taylor, en bornant ce développement aux première et deuxième puissances des variables.

On arrive ainsi à l’expression suivante :

ae. dm ; Nan mL) M — M + PT (E — €) - PT) (9"— 6) - de = POS EN ; dm (0'—0) nn ne nr. d? :

Les dérivées Den Tr sont les constantes du chronomètre. Il

est facile de voir que cette formule revient à celle de M. Lieussou développée, avec addition du terme en 46 proposé par M. Pagel, et avec cette différence que les arbitraires # et 6 sont nulles dans la

formule de M. Lieussou. La convenance d'attribuer à ces quantités des valeurs différentes de zéro peut résulter de ce que, pour éviter d'opérer sur des nombres trop grands, on choisirait pour origines des temps el des températures des valeurs moyennes, sil se peut, entre celles qui figureront dans les calculs.

La formule revient en définitive à celle-ci

mm + at + a'£ + b'0 + b6° + ct0,

et, sous cette forme, on voit qu'il y a six constantes à déterminer. Si le nombre des équations est supérieur à celui des inconnues, on y appliquera les méthodes de résolution qui seront exposées plus tard. M. de Magnac a calculé, d’après les indications de M. Yvon Villarceau, les constantes d’un certain nombre de chronomètres en se servant de la méthode d’interpolation de Cauchy.