Hauteurs correspondantes ou égales

Le principe de cette méthode consiste, comme pour la précé® dente, à déterminer l'heure que marque le chronomètre lors du passage méridien d’un astre : mais, au lieu de l’observer dans le méridien, on l’observe dans deux positions symétriques par rapport à ce plan.

Supposons que la distance de lastre au pôle ne varie pas. À deux hauteurs égales de l’astre observé des deux côtés du méridien, correspondent des angles horaires égaux et de signes contrairesf dont la moyenne est zéro. L'observation peut se faire avec le théo® dolite, avec un instrument à réflexion, avec une lunette même dépourvue de tout cercle gradué, pourvu qu’elle puisse être fixée invariablement à un axe vertical, et qu’on puisse assurer la vers ticalité de cet axe ou mesurer ses écarts de cette position.

Soient L et L' les heures observées au chronomètre aux instants où les hauteurs de l’astre étaient égales, (4 + h') est l’heure qu'il marquail à Pinstant du passage méridien. On a donc, avec les not tions ci-dessus où + (4 + L') remplace //,

a—}(h+}X) pour le temps sidéral, :

C—=E—1(2+ A") pour le temps moyen (Obs. du ©). \

Si la déclinaison de l’astre varie, les angles horaires corress pondant à une même hauteur ne sont plus égaux en valeur absolue. $

Soient À l'heure au chronomètre lors de la première observation: h! lors de la seconde; 3 la distance polaire lors de la première observation, à + d lors de la seconde; — P l'angle horaire lors delà première observation, P + p lors de la IE

Soit m le retard diurne de la montre, exprimé en secondes de

nt 864oc 100 passage méridien est, d'après la première observation,

temps et nm — + L'heure qu’elle doit marquer à l'instant dt

CHAP. VII, — DÉTERMINATION DE L'HEURE. 51 et, d’après la deuxième, R'—(P+p)(i1— mn).

Ces deux valeurs doivent être égales, donc Ru h=(2P + p}(1 = 7m)

et

h+ h' One PRES 2 2

Soit maintenant x la correction à ajouter à L(A + h") pour avoir Pheure du passage méridien,

aR+h)+xz—=h+P(r—- mm).

Éliminant P entre cette équation et la précédente, il vient

) æ—= Lim).

Comme p et d sont toujours des petites quantités, on peut les calculer en les assimilant aux différentielles 4P et 43; différentions la formule

CosË — cosù cos À + sinô sin À cosP, en y faisant varier à et P, 1l viendra

cos à sin À cos P — sin cos À

(1) DE d.

sin à sin À sin P

cot5 à Le facteur de d peut se mettre sous la forme — —© qui montre S11 0

que lorsqu'on observe un astre circompolaire à sa digression, la | correction x est nulle. C’est d’ailleurs une circonstance favorable à la précision de l'observation d'heure, puisqu’à cet instant le mouvement en hauteur est le plus rapide.

Comme on ne connaît généralement pas l’angle de position 5, on met de préférence la correction sous la forme

sin P

(2) p == d ( co cotP — en):

que lon calcule avec une précision suffisante avec des logarithmes

temps. Si la marche est faible, on peut négliger le produit À 7»! eb © 2 :

prendre

signe, en ayant soin de prendre toujours pour P l’angle hora occidental, qu'il soit observé avant ou après.

La correction est appelée équation des hauteurs corresponë dantes ; celle qu'on applique au passage inférieur du Soleil porte le nom de correction du minuit.

Le niveau dé l'instrument peut varier entre les deux observa tions, et la réfraction peut avoir subi une altération par un chan gement de température et de pression : la distance zénithale n'est donc pas toujours constante pour les deux observations. |

Dans ce cas encore, les variations sont assez petites pour qu'on puisse les traiter comme des différentielles.

Pour évaluer la variation de niveau, il est inuule d’effectuer We nivellement complet avec retournement du théodolite : il suffit d'observer le niveau dans la même position de linstrument. Su posons, pour fixer les idées, que la graduation du cerele verticalu celle du niveau soient de même sens; soit L la lecture restée même, soient » et»! les lectures du niveau, € et & les distances zénithales, on voit facilement que, pour la position directe,

et pour la position inverse, 5(n'— n). - En différentiant la formule qui donne cos £ et remplaçant dé

(— &, on aura

Con ae

(3) db —

sinôsinÀsinP sinAsinA

Le calcul de la correction exige que lon connaisse la hauteur

absolue, mais une approximation grossière suffit. La connaissance de l’azimut dispense d'ailleurs d’avoir la distance zénithale. Cette correction s'ajoute algébriquement à la précédente. La

e : d EN EU seconde forme de 1 expression de 4P montre que La — sin À sin À (4

est maximum pour À — 00°, c’est-à-dire pour l’observation au pre- -mier vertical, ou d’une facon générale, quand la distance de Pastre au méridien est aussi voisine que possible d’un angle droit. C’est à ce moment qu'une petite erreur sur € a la moindre influence sur Pangle horaire et que le mouvement en hauteur dans un temps donné est le plus rapide, que par conséquent l'instant du passage par la hauteur donnée est déterminé avec le plus de précision. Cette remarque est générale; elle s'applique aux observations de distances zénithales simples aussi bien qu'aux hauteurs correspondantes. Les circonstances favorables à la détermination de l’heure par l'observation de distances zénithales se trouvent en calculant soit la hauteur, soit l'angle horaire correspondant à ce maximum de l’azimut.

Pour une circompolaire, l'angle parallactique 5 est droit, et l’on a

= le) © (0 > \

cos P — cotÀ tangô.

our les autres étoiles, c’est lazimut qui est égal à oo° et Pour | Us toiles, g

(à) COS —…. cos P — cotô tang À.

On peut ainsi calculer pour linstant favorable la distance zénithaleet l'angle horaire. Si A go° et 5 => 90°, ou si À > gu° et d< 90°, le passage au premier vertical a lieu sous l’horizon. On doit alors observer les hauteurs les plus faibles, en évitant pourtant en général celles qui sont inférieures à 10°, à cause des anomalies de la réfraction.

L'application de la méthode des hauteurs correspondantes est sujette à des difficultés provenant de ce qu'un espace de temps assez long s'écoule entre les deux passages; le ciel peut se couvrir pendant l'intervalle, le chronomètre peut varier; enfin, il y a tout avantage à diminuer l'intervalle des deux observations, afin de gagner du temps. On réalise cette condition en observant des

étoiles qui culminent près du zénith, c’est-à-dire dont la distance polaire diffère peu de la colatitude du lieu, On peut aussi observer deux étoiles différentes. Mais alors la différence des distances. polaires n’est plus en général une très petite quantité; on perd, donc les avantages de simplicité du calcul. Malgré cela, il arrive souvent qu'on dispose d'instruments dont les pointés sont plus exacts que les lectures, les petits théodolites, par exemple, dont le limbe donne la minute, tandis que la lunette grossissant dix à quinze fois permet une approximation des pointés à 4" ou 6”, et dont le niveau permet aussi d'apprécier les 10”. Dans ce cas, on a avantage à employer la méthode que nous allons donner, mais qui exige la connaissance de la colautude.