Distances zénithales doubles

En réalité, quand on opère avec le théodolite, la seule donnée qui résulte directement de l'observation, c’est la somme des distances zénithales. La moitié de cette somme ne serait, en toute rigueur, la distance zénithale correspondante à l'instant moven, que si le mouvement de lastre en distance zénithale était exactement proportionnel au temps, Cette condition n’est remplie complètement que par une étoile équatoriale observée à l'équateur.

Quand les deux observations sont faites loin du méridien et que l'intervalle de temps entre les deux ne dépasse pas 1" où 2" de temps, l’erreur résultant de cette hypothèse est négligeable: mais il n’en est plus de même quand on veut utiliser pour le calcul de l’heure la somme de deux distances zénithales séparées par un intervalle de temps plus long. On peut, où évaluer l’erreur, où

employer une méthode de caleul de langle horaire qui la fasse disparaître.

Pour évaluer l'erreur, soient {” et {” les distances zénithales correspondant aux angles horaires P' et P’ : on a calculé un angle horaire correspondant à + (£ + {”) eton l’a supposé égal à L{P'+ P") quand, en réalité, il est égal à À (P'+ P") +2, ou retro

qu'il s’agit de trouver.

On a donc (18) cosC! — cosà cos À + sin sin À cos P”, (19) cosC" — cos Ô cos À + sin è sin À cos P”, cos (& + €") — cosd cos À + sin sin cos[L(P'+ P')+e]. On ajoute entre elles les deux premières équations et lon

retranche la somme de la troisième, il vient, en négligeant les termes du deuxième ordre en 2,

(20) sine — 2cot1(P'+P')sin?:(P'—P")

À COS EL) sin (tt) sin ÿ sin À sin (P'+ P’)

Pour le calcul de cette expression, on peut prendre pour £(P'+ P" la valeur trouvée par le premier calcul, pour P'— P’ la différence des heures d’observalion évaluée en temps sidéral et convertie en arc : ({ — {” peut se calculer avec une approximation suffisante par BMformule (3) où l’on fait dP = P'— P'ett—+(C+E).

Mais cette formule, bonne pour évaluer lerreur et la réduire au besoin en Tables, est d’un calcul trop compliqué.

Il est beaucoup plus élégant de chercher directement les angles horaires. Nous voyons déjà par ce qui précède que l’erreur : est du deuxième ordre par rapport ai Plet art d'ouilsuit qu il sullira de connaître une valeur approchée de ces deux différences pour le calcul de la correction.

Additionnons les formules (18) et (19), 1l vient

(21) cost (C'+e\cost(t — €") — cosè cos À + sin sinÀ cos 1 (P' + P”) cos; (P'— P”)

nous connaissons + ({/+t") et, d’ après ce qui précède, +(P'— P"). 1 (€ — 1) est un petit angle qui intervient dans la RTE par son

64 LIVRE II. — DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS GÉOGRAPHIQUES. cosinus ; il n'a donc pas besoin d’être connu avec une grande pré= cision. Si par exemple { —{"— 2°, il faut une erreur de 30" sur. sa valeur pour produire une erreur d’une unité sur la sixième déei-

male du logarithme de ce cosinus. l On peut donc calculer £ — €, soit par la formule (3), soit en. déduisant des observations elles-mêmes la valeur de la vitesse du: mouvement en distance zénithale, quand, comme cela arrive ordi= nairement, on à observé plusieurs paires de distances zénithales. Posons en conséquence :

cost(&'+7')cosi(C'— EL") = coss,

cost (P' + P') cost (P'— P’) = cosY.

Tirons de la première équation la valeur de Pangle inconnu &, la formule déduite de (21)

; > S REA COS 3 — COSO COS À + SIN O SIN À cos Ÿ

nous montre que ÿ est l'angle horaire correspondant à la distance zénithale 3. Nous calculerons donc 4 par une quelconque des for= mules (13), (14), (15) où (16) et nous trouvcrons 1 (P'—+ P”) par la relation k cosy