Heure par les distances zénithales circomméridiennes

Quand, aux environs du passage au méridien, le mouvement en hauteur est rapide, on peut obtenir de très bons résultats par l'observation de distances zénithales circomméridiennes. Le calcul pourrait se faire par les formules ordinaires, mais il est préférable d'appliquer une formule spéciale à ce cas particulier, qui est une sorte de combinaison de la méthode des hauteurs correspondantes avec celle des hauteurs absolues, en ce sens que les différences des heures et des distances zénithales y jouent le rôle le plus important comme précision.

M. de Littrow retranche l’une de l’autre les équations (18)et(19) et en déduit la formule

(25) sin?( —{')sini(t +") | — sin sin À sin£(P'+ P/)sint(P'— P’),

dans laquelle £’ et {”’ sont observés ; le chronomètre donne P'— P' et sing (P'+ P')se calcule ainsi par une formule logarithmique. P'et Phétant petits, l'angle donné par son sinus est déterminé avec beaucoup de précision, pourvu que {/—£" soit bien exact. On remarquera que ce problème est au fond exactement le même que celui que nous venons de résoudre, et les deux formules doivent donner les mêmes résultats. En réalité, on trouve avantage à employer la marche du calcul des formules (21) et (22) quand r (P'+ P') est plus grand que 3", c'est-à-dire pour les hauteurs horaires; la formule (23) convient plus particulièrement aux haueurs circomméridiennes, soit aux angles horaires inférieurs à 3°, buisque la demi-somme est donnée par son sinus. | Nous avons supposé dans le premier problème la distance polaire mvariable; on prend pour à la moyenne des distances qui corresbondent aux observations. Pour évaluer l'erreur commise il faut lifférentier équation fondamentale en P et 3; on en tire

124) dP sin à cos À — cos à sin À cos P cost sint 24 = = — - = = = — ———— .

| di sin Ô sin À sin P sin à sin À sin P |

| cos w

| sin À sin À

| CaspaArr. — Astronomie, II. ÿ

Si w et À sont voisins d’un droit, l’erreur est petite. C’est le cas des hauteurs horaires. Mais pour les circomméridiennes cos g* est grand et sin À petit en valeur absolue. Il faut donc, pour ce cas, tenir compte de la variation en déclinaison. 1

De plus, la méthode étant recommandée principalement pour faire le point en mer, il y a lieu aussi de tenir compte du déplace® ment du navire, en vertu duquel P'— Pet} varient.

Ce dernier point se résout en ramenant une des hauteurs obser= vées à l’horizon auquel on à observé la deuxième et en corrigeant P'- P’ du changement en longitude. Nous traiterons ce problème à propos du point en mer ($ 153). |

Pour tenir compte de la variation en distance polaire qui es toujours une petite quantité, on calculera le changement dE de distance zénithale produit par un changement d3 de la distance polaire. Il suffit d'appliquer la formule différentielle

dt = cosx dû (!)

Si d3 est l'accroissement de la distance polaire en passant de la première observation à la deuxième, on ajoutera — d£ à la deus xième distance zénithale, et l’on prendra pour le calcul la distane polaire qui correspond à la première. On peut aussi ajouter +dé à la première distance et le retrancher de la deuxième, en prenanb pour à la distance polaire qui correspond à l'intervalle moyen : {/ —#@h et {+ garderont les mêmes valeurs. k

On peut encore se dispenser d'effectuer cette correction en s& rappelant que pour calculer les circomméridiennes dans les mêmés circonstances de déclinaison variable, il suffit de compter les el horaires à partir de l’instant du maximum de hauteur, au lieu de les compter du méridien. Cela revient à dire que dans ces conditions les distances zénithales de l’astre sont symétriques de part et d'autre de ce point. Si donc on calcule les angles horaires en supposant la déclinaison constante, cela reviendra à trouver pour le midi l'instant où la hauteur est la plus grande. L'opération conduite de cette manière donne alors pour le calcul ultérieur de la colatitude ‘lé

(“) M. Faye remarque que s est toujours petit, et qu'on peut prendre sensibles ment dt = dû. |

point de départ des angles horaires : quant à l'heure vraie, elle s'obtient en appliquant aux angles horaires déduits de la formule la correction de l’angle horaire du maximum de hauteur, correction qu'on a appris à chercher ($ 94).

Rappelons encore que la formule (24) est identique à celle qui donne l'équation des hauteurs correspondantes: si l’on suppose dans

cette dernière P assez petit pour que son cosinus soit sensiblement égal à l’unité, on trouve

> ys Sin(à—5) dl GA) sin Ô sin À sin P

LUS 2 I : US et l’on reconnait ici le coeflicient = des circomméridiennes.

Si l’on opère à terre avec un théodolite, et qu’au lieu de distances Zénithales simples on observe des sommes de deux distances, on peut encore prendre les instants moyens comme Correspondant à la moitié de l’arc mesuré, à la condition toutefois de faire subir à cette moitié d'arc une correction facile à calculer. Soient pour le premier groupe, aux heures £, et £, du chronomètre, t,ett, les distances zénithales : on a mesuré 2 z — 6, +&,. Soit maintenant ë! la

; re : ENS ly + 4 distance zénithale inconnue à l'instant T — “‘ = =, soient enfin ps

et P, les angles horaires. On peut développer £; et Ep de Taylor, et comme 4P — dt,

ar la formule

: Ali TNRERT AD moe Cl :

CHR D pe en Cl t)° L es ; j SA IGRE ir EI ‘ Mr DM) Te) +

Ajoutons et remarquons que T — 4, + T — lo = 0, il vient

| Pour déterminer Jp: °n a, en vertu de l’équation (3) de ce Cha-

pitre,

| dt! É e Cac ER d'A | Tb = Sn À sin À ; TP — sin À COSA TS

et comme sint'dA — — sinô cosw dP, on aura:

(26) dt! sin À sin à cos A Cost à 2 LE — —— ——— ; dP? sin d

on calculera À et & par les analogies des sinus, en prenant pour fl

la valeur 3,

sinP . ; ES 150 LE sin à, Sins ——— Sin); sin z sins

des valeurs approchées de P suffisent.

La — tiN2 F

On peut remplacer (+) par sin?+(#: — {,) et l’on aura par

suite pour le calcul numérique

pi 1 sinô sin À Cos A cos 2 sin} (fs — Li) a n sin 3 sin 1”

C’est ce &' qui devra être introduit dans la formule (23); le t” de la même formule se calculera de même.

Les angles À et & étant calculés par leurs sinus, les signes de leurs cosinus ne sont pas déterminés. Pour les trouver, considérons d'abord le triangle de position dans le cas où l'observateur se trouve dans l'hémisphère nord. L’angle 5 est plus grand qu'un droit pour les circompolaires, définies comme culminant entre le pôle et le zénith, moindre qu'un droit pour les astres qui culminent au sud du zénith. Pour les circompolaires, l’azimut est toujours un angle obtus : il est aigu pour les étoiles dont la distance polaire surpass 90°. Pour celles qui culminent entre l'équateur et le zénith, il faut

se reporter à l'équation

cost — cos cos À — sind sin À cos À, , x d’où ;

cosà cos À — cosë cos À = ,

Sin à Sin À

Si cosé < cos) cos}, cos À est positif; il est négatif si cosf > cos COS À.

Pour l'observateur placé dans l'hémisphère sud et qui continue à compter les colatitudes et les distances polaires du pôle nord, ains:

que cela doit se faire afin de rester dans la généralité des convenions, on verra que l’angle & est obtus quand l'étoile culmine au nord du zénith, et aigu pour les circompolaires culminant au sud du zénith. L’azimut compté du Sud vers l'Ouest a un cosinus positif pour les étoiles culminant au sud du zénith, négatif pour celles qui culminent au nord de l’équateur : pour celles qui culminent entre l'équateur et le zénith, le signe est encore donné par la formule cidessus d’où l’on aurait d’ailleurs pu tirer toute la discussion en y joignant celle-ci :

cos À — cosù cost.