Calculs numériques

Dans les formules qui précèdent, les arcs sont évalués en parties du rayon pris pour unité. Dans la pratique, on les exprime en degrés, minutes et secondes (sexagésimales ou décimales). Un are étant donné en secondes, pour trouver sa valeur en unités abstraites, il faut se rappeler que la grandeur de arc est le rapport du nombre de secondes qui le représente au nombre de secondes contenu dans

, I l’arc de longueur égale au rayon : cenombre est —— — ——, un y = arc 1/

arc de a secondes a donc pour valeur à : —asin 1.

sin 1/ Réciproquement, si un arc est exprimé en unités abstraites, on e] 1 le convertit en secondes en le divisant par sin 1".

D'après cela, le calcul numérique de la formule (29) se fera, en

remarquant qu’on a sensiblement 2 sin 1"=— sin 2", 3 sin 1" = sin 3. ; 2 de d le 1e sSinC+——;sin2 C + -—>sin3C+ ....

sin I Sin 2° no

On emploie rarement les fonctions trigonométriques exprimées en nombres, c’est-à-dire les sinus, cosinus,... naturels : on ne se sert communément que de leurs logarithmes. Les principales Tables de logarithmes sont à cinq ou à sept décimales : ces dernières sont plus que suffisantes ; dans tous les cas que nous aurons à examiner, nous nous contenterons de six décimales au plus. Cinq décimales suffisent habituellement; on ne doit jamais en prendre plus de trois ou quatre pour calculer des termes de correction. Il est en effet très important de ne pas écrire plus de chiffres qu'il n’est nécessaire, les calculs en sont abrégés, et chose très importante, les chances d’erreur diminuées d’autant.

L’interpolation dans les Tables usuelles se fait toujours au moyen des différences premières.

Le rayon est supposé égal à l’unité. Les logarithmes des lignes trigonométriques moindres que l’unité sont, ou donnés avec des

caractéristiques négatives (Dupuis) ou augmentés de 10 (Lalande, Callet, Hoüel, Schrôn). Nous préférons cette dernière manière qui a l’avantage de ne pas faire intervenir de questions de signes. L'usage des Tables est expliqué dans les recueils mêmes, avec exemples à l'appui. Nous n’avons pas à en parler. Bornons-nous à rappeler que, lorsqu'on veut avoir avec le plus de précision possible le logarithme du sinus ou de la tangente d’un petit angle inférieur à 2° 46! 40", (10 000”), on a tout avantage à chercher le logarithme du nombre de secondes et à y ajouter, pour le sinus le nombre S, pour la tangente le nombre T, donnés sur les mêmes pages que les logarithmes des nombres.

La considération des différences des logarithmes donne immédiatement la mesure de la précision avec laquelle un angle est calculé. Supposons qu’on se serve de Tables à sept décimales. Quand on calcule l’angle par sa tangente, le cas le plus défavorable qui puisse se présenter est celui d’angles voisins de 45°. La différence pour 10” étant 421, une erreur d’une unité du dernier rang sur

le logarithme correspond à une erreur de — 0”,024,surl’angle.

Elle est d'environ 0”,05 si l’angle est déterminé par son sinus ou son cosinus. Elle augmente avec la grandeur de l’angle, s'il est déterminé par son sinus, et arrive à 1” pour des angles de 85°. Elle est au contraire très faible pour de petits angles : un logarithme sinus à sept décimales détermine à 0",oo1 près un arc de 1°. Quand on peut déterminer un angle par sa tangente, il y a toujours avantage au point de vue de la précision ; mais il ne faut pas pour cela s’interdire l’usage du sinus ou du cosinus quand on y trouve des facilités pour la simplicité des calculs. [limporte seulement de se rendre compte d'avance de la précision des données et du résultat, et par suite du nombre de décimales qu'il faut conserver. Ainsi un angle de 1° est déterminé à 1" près par son sinus ou sa tangente en ne conservant que quatre décimales. Avec cinq décimales, en calculant par la tangente, l’erreur ne dépasse pas 3" sur un angle quelconque si le logarithme est obtenu exactement. Quand un logarithme résulte de l'addition de plusieurs autres, il faut remarquer que chacune des parties de la somme peu être en erreur d’une quantité voisine d’une unité de la dernière décimale. Le logarithme tabulaire comporte une erreur d’une demi-unité,

l'interpolation peut en introduire une égale. Si, par cas fortuit, tous les logarithmes d’une somme se trouvaient erronés dans le même sens, l'erreur pour une somme ou différence où interviennent quatre logarithmes, approcherait d’être huit fois celle que nous avons dite, soit environ 20” pour un angle de 45° calculé par sa tangente, avec des logarithmes à cinq décimales.

Nous avons vu qu’il fallait attacher une grande importance à ne pas introduire dans les calculs des décimales inutiles. Le simple bon sens, à défaut des considérations mathématiques, suffit le plus souvent pour guider le calculateur. Supposons, pour fixer les idées, qu'on veuille calculer un angle À par la formule

sin (S— b}sin(S—c)

sin bsinc

sin? L LE

Si l'observation a donné l’angle a, qui entre par S dans cette formule, avec une approximation de 10”, il en résulte que S, et parsuite S —bet S — c sont approchés à 5”, Il ne faudra donc pas compter obtenir À à mieux que 10" près, et on sera dans les limites les plus larges si l’on conduit les calculs en vue de lPapproximation de 1° ou 2” sur l'angle + A, c'est-à-dire avec cinq décimales; on aura du reste soin de varier la méthode selon la circonstance. Si par exemple À est plus grand que 90°, on trouve avantage à substituer

à la formule précédente celle qui lui est équivalente :

__sinSsin(S — a)

cos? ! A - : = sin à sin €

Rappelons encore que les lignes trigonométriques sont Loutes