Calcul de la Longitude par les occultations
On a proposé pour ce calcul un grand nombre de méthodes; toutes généralement assez longues. Les anciennes formules étaient basées sur l'emploi des coordonnées écliptiques : elles sont aban= données aujourd’hui, et l’on ne se sert plus que des coordonnée équatoriales. En principe, on part toujours d’une valeur appro= chée de la longitude pour faire un calcul dont le résultat fournit la correction de cette longitude. Ce calcul peut se réduire à la traduction en chiffres des constructions graphiques, mais en faisant
intervenir alors des données plus précises : on tient compte de l’aplatissement, on ne substitue plus les ares à leurs sinus.
La Connaissance des Temps donne la méthode de Bessel avec quelques modifications de détail; le principe en est celui-ci : les rayons lumineux issus de l’étoile et tangents à la Lune sont les génératrices d’un cylindre de révolution, dont on cherche lintersection par la surface de la Terre : pour qu’un point de la surface soit celui où l’occultation a été observée, il suffit évidemment que ses coordonnées satisfassent à l'équation du cylindre.
Afin de ne pas faire de confusion, et puisqu'il s’agit d’expliquer la Connaissance des Temps, nous adopterons ses notations : et, au lieu des distances polaires et des colatitudes, nous considérerons les déclinaisons et les latitudes. Il suffira, pour revenir à nos coordonnées ordinaires, de permuter les sinus et les cosinus de ces quantités.
L'axe du cylindre considéré est la droite qui joint le centre de la Lune à l'étoile. L'étoile ayant une parallaxe nulle, une parallèle à cet axe menée par le centre de la Terre a pour coordonnées sphériques l’ascension droite et la déclinaison de l’étoile.
Soient donc A l'ascension droite, } dr
A étoile.
D la déclinaison |
x l’ascension droite
k MEURT » | de la Lune.
5 la déclinaison
IT la parallaxe horizontale équatoriale de la Lune,
h l'angle horaire S — À de l’astre au lieu d'observation à l’instant de l’occultation.
Soit pris pour unité le rayon équatorial de la Terre, et soit Æ le
Mon de la Lune (X — 0,2726); soit À — — ü la distance des
sin centres de la Terre et de la Lune.
Prenons pour origine le centre de la Terre, et dirigeons l’axe des y vers le pôle nord : l'axe des z et l'axe des x sont dans l’équateur : le premier, dans le cercle de déclinaison de l'étoile, a pour
(‘) Consulter la Théorie complète des occultations, par M. C. Berry ( Gauthier- Villars, 1880). — Ce livre renferme des Tables pour faciliter les calculs, quand loccultation n’est pas de celles qui se trouvent dans la Connaissance des Temps.
astension-drodé À; le second a pour ascension droite À + 90°. Les ae de la Lune sont
Z1 = À cosô cos(a — A), Yi = À sin, æ, = À cosÿ sin(a —
Faisons maintenant lourner le système d’axes autour de l’axe des:
à À sa valeur sin [I
pour la Lune, 8 sin D + cos cos D cos(x — A) sin LI sin à cos D — cos5sin D cos(x — A)
S sin Il É
cos sin(x — A)
CE ———————————— sin]
et pour un point de la surface de la Terre,
= r{sinD sinz + cosD cosg' cos(S — A);, n = 7[cosD sing’ — sinD cose' cos(S — À) |, é—rcosesin(S — A),
S étant l'heure sidérale du lieu, +’ sa latitude géocentrique.
manière à placer l’origine au centre de la Lune, l'axe des 4 sera l’axe du cylindre que nous avons considéré, et les coordonnées centre de la Terre seront — x, — y et — 3.
Celles du point de la surface seront £, 5 —7 et£ — x. Pour que ce point soit sur le cylindre X?+ Y?=— #?, il faut donc qu'on ait
Les quantités y, æ, r, £ sont désignées respectivement dans 5 Re 2 . :
Connaissance des Temps par q, p, ?, u, d’où l'équation
Em A Le et om 2 | En désignant par p', qg', p', q" les premières el secondes dérivées de p et q, et par Ps, go les valeurs initiales à l’époque T,, on a pour l’époque T, += - BE=Prt pr por g=d+gr+g"re.
Ces quantités sont calculées d'avance dans la Connaïssance des Temps.
Si l’on voulait les calculer soi-même, on n'aurait qu’à se servir des valeurs de x et y données ci-dessus en attribuant aux coordonnées z et à de la Lune les valeurs tabulaires correspondant aux époques T, — 1", To et Ts +1": les p'et g'sont respectivement les différences premières de x et y, et les p' et g" leurs demidifférences secondes.
On voit que le calcul de & et v se fait rigoureusement, car on connaît la latitude et l'heure sidérale du lieu d'observation. Mais p et g dépendent des coordonnées de la Lune, et par conséquent de l’hypothèse faite sur la longitude, d’où l’on a déduit l'heure du premier méridien. On calcule leurs valeurs P et Q avec une longitude approchée £, : soit £, + d£, — £ la vraie valeur (Les longitudes comptées positivement vers l'Est): on aura alors pour déterminer d£, l'équation de la Connaissance des Temps
Re piou=u) EE (Q—g'AE PP ER
Ce qui suit n’est plus qu'une question d’angles auxiliaires des-
tinés à faciliter les calculs : on pose
P—u—msinM, = rrenN,
Q — p — cos M, TI COSN:
Op L cost — — sin(M—N).
i k L'équation du deuxième degré, après ces substitutions, devient
(msinM— nsinN d£,) +(mcosM — n cosN d£,)} = #?,
et ses racines sont
LR
m = — N)cosb +sin(M—N)sint] »
I COs L
ce qui donne
m Cos(M — N — 4) ES ol n cosy = | mcos(M—N +1)
n cos
pour l'immersion,
pour l’émersion.
Si la longitude n’est pas connue avec assez de précision, il faudra refaire le calcul avec la première valeur approchée £ ; + d£.
Nota. Le calcul de 7 sins et r coso se déduit immédiatement de l’équation de l’ellipse (1 —e?) x? + y? = 1 — e?. tango est le coefficient angulaire de la normale, donc
". ee (1—e?)tange.
De ces équations on tre les valeurs d’x et d'y
cos 9 (fr EE ——— ; =
V1 —e?sin'e V1 — e*sin?o
e)sine
et en posant
e siny — sin,
et remarquant que par définition de la latitude géocentrique on a
es C=rco59, Pr Sin, il vient , COSwy 2 — € T COS ® — r Smp— tang 0, . cos Ô e 1 — €?
La valeur de X adoptée dans la Connaissance des Temps est celle qui sert de base aux Tables de Hansen, £— 0,27296. Burckhardt adoptait £ = 0,2525. M. Oudemans a montré, par la discussion d’un grand nombre d’occultations, que le rayon lunaire à employer dans les calculs est plus petit que celui auquel conduirait l'observation du diamètre apparent ; il conviendrait, selon lui, de prendre À — 0,27264.
La discordance entre ces valeurs déduites d’observauons de différente nature pourrait s'expliquer en admettant l’existence d’une atmosphère lunaire : la déviation subie par un rayon -qui émane d’une étoile et qui traverse toute l'atmosphère en rasant la surface de lastre serait en effet, dans ce cas, double de celle que subit un rayon issu du bord même. Les observations spectroscopiques faites par M. Thollon pendant une éclipse totale du Soleil semblent avoir confirmé l’existence de cette atmosphère.
La Connaissance des Temps ne renferme pas toutes les occul-
tations observables:; le Vautical Almanac en donne une liste, beaucoup plus longue, sans descendre au-dessous de la sixième grandeur. Si l’on est dans le cas d'appliquer la méthode de calcul de la Connaissance des Temps à une occultation non prédite dans ce Recueil, il faut calculer les quantités p, q, p', g' à l’aide des formules qui donnent leurs valeurs, ainsi que N et n. Mais alors on trouvera tout avantage à profiter de la connaissance qu’on a de la longitude approchée de la station pour choisir la valeur la plus commode de T,. C'est la minute du premier méridien qui précède l'instant de l'observation. Au lieu de prendre l'heure pour unité de temps, on choisira 1% ou 2" : l'interpolation proportionnelle suffit toujours pour un aussi faible intervalle, et l’on est dispensé du calcul de p" et g”.
Ce mode de calcul a l'inconvénient de ne pas bien parler à l'esprit, puisqu'il n’emploie que des nombres abstraits et des angles auxiliaires dont la signification n’est pas évidente. On a donné plusieurs autres méthodes, dont quelques-unes sont la traduction de constructions graphiques, mais dont le principe est toujours le même.
Elles reviennent toutes à chercher l'heure du premier méridien à l'instant du contact par une interpolation ; on calcule à cet effet, avec les données connues, la distance des centres des deux astres à deux instants connus du premier méridien, comprenant entre eux celui de l’occultation observée : on en déduit l'instant où cette distance était égale au demi-diamètre de Ja Lune. Dans ce cas, on substitue, à la quantité k, le demi-diamètre À de la Lune, exprimé en secondes d’arc (et d’après la remarque faite plus haut, le diamètre tabulaire doit être réduit dans la proportion indiquée par M. Oudemans). Les distances en question sont données par l'équation (p—u)}?+(g—v)}?=@?, en évaluant p, qg, u, # en secondes d'arc, ce qui est toujours suffisamment exact. On trouvera ®, soit par la formule directe
HENPENENTRANE soit au moyen d’un angle auxiliaire M, tel que
p—u—=msinM, g—v—mcosM.
Soient alors H, et H, +- 2" les instants du premier méridien
190 LIVRE III. — DÉTERMINATION DES ÉLÉMENTS GÉOGRAPHIQUES. pour lesquels on a calculé les distances ®, et @2, l'heure H d premier méridien correspondant à l'occultation sera donnée } la formule
