Projection polaire orthomorphe

La projection de Mercator ne peut pas servir à représenter les régions polaires : pour À — 0, cot?à devient infini.

Pour ces régions, on adopte de préférence une projection dont le pôle occupe le centre; les méridiens sont figurés par des rayons issus du pôle, et les parallèles par des cercles concentriques. On trouve facilement les conditions pour qu’une pareille projection soit orthomorphe, c’est-à-dire pour que les angles ÿ soient conservés.

Pour réaliser la similitude des trapèzes infinitésimaux sur la sphère et sur la projection, représentons par p et w les coordonnées polaires de cette dernière, nous aurons

CAN dÀ o dw ‘dGsin2

On exprimera la convergence des méridiens et leur espacement égal en écrivant dw = ndG,

n étant une constante. L’équation devient alors

OU dÀ n p Sn) et l’intégrale est I À : Logo = Log tang =

ou encore

= ÉNEEc p Pros Pour que les angles soient conservés au pôle même, il faut 5 I ) faire 2 = 1.

La loxodromie n’est plus une droite puisque les méridiens con- Ï | I vergent : elle a pour équation

o de de

tang V —

d’où,en posant tang V — » et représentant par A une constante arbitraire,

0) o — AE

C’est une spirale logarithmique. La loxodromie est d’ailleurs une spirale sur la sphère. «

Cette projection n’a plus les avantages de simplicité qui car térisent celle de Mercator : cette dernière suffit largement dans toutes les mers navigables.

147. — Projection stéréographique. Ses propriétés géométriques. /

Parmi les projections orthomorphes, la projection stéréogra phique étant une vraie perspective, est celle qui se prête le mieux aux constructions géométriques.

Pour projeter un hémisphère, on choisit pour plan du tableau le plan diamétral qui lfmite cet hémisphère, et pour position de Pœil, celui des pôles de ce grand cercle qui est situé dans l’hémi= sphère opposé. Le cercle de base étant représenté en vraie grandeur sur le tableau, les perspectives de tous les points de l’hémisphère qui contient le point de vue sont extérieures à ce cercle, et celles des points de l'hémisphère opposé sont contenues dans son intérieur. | Nous allons faire voir que ce mode de projection est effectivement orthomorphe, c'est-à-dire que si lon construit la perspective de deux courbes de la sphère passant par un point donné, l'angle des tangentes aux perspectives à leur point d'intersection est même que celui que font entre elles les tangentes aux courbes elles-mêmes. Prenons pour plan de la figure le plan diamétral passant par le point de vue V et le point donné M de la sphère, Le plan du tableau sur lequel se fait la perspective Est perpendiculaire au plan de la figure et s’y projette suivant un diamètre TTA Le plan tangent à la sphère en M se projette aussi suivant une droite MA, et son intersection par le plan du tableau, en un seul point A.Si l’on rabat le plan du tableau autour de TT’ sur celui de la figure, cette intersection prendra la position AB, tandis que la perspective m» de M restera en mn.

Soient MA et MB les tangentes à deux courbes tracées en M, les tangentes à leurs perspectives seront les perspectives mC et mB des tangentes.

Or il est aisé de voir que les triangles MBC de l’espace et » BC de la perspective, qui ont même base et dont les hauteurs ont le même pied À, sont égaux comme ayant même hauteur.

En effet, le triangle MA m est isoscèle, puisque les angles Met m ont chacun pour mesure 5(g0° + MT). Il en résulte que l'angle BMC de l’espace est égal à BmC. CO END:

On déduit de là que la perspective d’un cercle tracé sur la sphère

Fig. 50.

est elle-même un cercle. Considérons, en effet, le cône circonserit à la sphère et ayant pour base le cercle donné : ses génératrices sont normales à ce cercle, leurs perspectives doivent donc être

normales à la perspective du cercle; ces perspectives passent toutes

par la perspective du sommet et forment un faisceau de droites convergentes, dont la trajectoire orthogonale doit être elle-même un cercle.

Les méridiens et les parallèles ont donc pour perspectives des cercles.

Tout grand cercle passant par le point de vue a pour perspective un diamètre du tableau. Les autres grands cercles coupent le tableau suivant un diamètre, et leur perspective passe nécessairement par les extrémités de ce diamètre.

Cette projection permet de résoudre un grand nombre de problèmes sur les positions relatives des points : les directions sont connues en vertu du principe de la conservation des angles; les

distances aussi s’obtiennent facilement. Étant données les perspec tives de deux points, pour trouver leur distance mesurée sur

Fig. 60.

un s" e

miner la perspective du point M’ diamétralement opposé à l n des points donnés M.

L’angle des rayons visuels VM et VM' est droit, puisqu'il est

MVM' est perpéndiculaire au tableau, sur lequel sa perspecti est TT’. Si donc on le rabat sur le tableau autour de TT, la per spective 71 reste immobile, le point de vue se rabat en V sur perpendiculaire menée à Om» par le centre, lerayon perspectif Vm se rabat donc suivant une perpendiculaire à mV, et m' est perspective du point diamétralement opposé à ». La perspective dt tout grand cercle passant par » passe aussi par m»° : et si l’on se

donne la perspective » d’un autre point, le grand cercle MN aura pour perspective un cercle passant par m, n, m', qu'il sera facile de construire, puisqu'on en connaît trois points.

Pour avoir la vraie grandeur de l’are MN, remarquons que si l’on connaissait le pôle de ce grand cercle, l’are cherché serait la mesure du dièdre formé par les plans diamétraux passant par ce pôle et par M et N. Le diamètre suivant lequel le grand cercle MN coupe le tableau est BC.

Par le point de vue menons un plan diamétral perpendiculaire

er

LR

à celui du grand cercle MN : l'intersection de ces plans a pour 8 P

- perspective DaV,. Rabattons maintenant ce plan autour de sa perspective : le point de vue vient en B, et le point qui a pour

perspective a, en À : AO est la trace du grand cercle MN sur le plan DAO, et OP perpendiculaire à OA donnera la position P du pôle rabattu. La perspective de ce pôle sera donc obtenue en Joignant P à B; elle doit se trouver sur la trace du plan perpendiculaire au grand cercle MN, ce qui la place en p.

Cela posé, soit à déterminer la longueur d’un arc de grand cercle projeté en »#n. Décomposons cet arc en deux, ma et an (fig. 02), séparés par le grand cercle qui, passant par le pôle, a pour perspective une droite pOD, et occupons-nous de la portion ma. Si l’on considère le grand cercle mn comme faisant partie d’un système

de méridiens, ayant pour pôles B et GC, et par suite pour équa

le grand cercle DO p, la distance angulaire ma aura pour mes

larc du méridien M, D compris entre cet équateur et le parallèle

du point M.

Soient O' le centre de la perspective de ce parallèle, O"le centré

- de la perspective du grand cerele donné BmanC.

sorte que chacun des rayons aboutissant en m est respectivement tangent à l’autre cercle ;

2° Que le rayon OM, est perpendiculaire à O'M,.

La construction que nous avons faite pour trouver le pôle 7 nous permet de calculer la distance pO. Si lon compte les longitudes à partür de BOC, l’angle OBO est égal au complément de la longitude de BmanC. Il en est de même de COP, donc OBP moitié de COP est égal à la moitié de OBO", er BP est la bissee trice de ce dernier angle. On à donc, en vertu de la propriété.

connue | OB x pO"

pO= BO"

Je dis maintenant qu’en joignant M, et le prolongeant jusqu'à la rencontre de DO, on tombera pareillement sur le point p. En effet, soient OM,p —7, M,OD— 9. On a dans le triangle

M,OP POIL SET OM, sin(o—7)

se [4 [Es “4 = ee SR . 2°p et dans le triangle pmO", dont l’angle en m est égal à y puisqu'il a pour mesure + M,», et mpO"=— 180°— (3 —),

pO" 4 sin = mO' sin(g —}) d’où si OM, x pO' Te ET

ce qui est identique avec l'expression précédente, tirée de la construction du pôle p, puisque OB — OM, comme rayon d’un même cercle, et mO"— BO" pour la même raison. La droite M, m passe done par le pôle du cercle nn.

De là cette construction simple :

Pour obtenir la valeur angulaire de la distance ma, joignez le pôle du grand cercle man au point m; et prolongez jusqu’à la rencontre du cercle du tableau en M, ; l’are M,D ou l’angle M,OD sera l'angle cherché. En mesurant de même l'arc an, on trouvera que l'arc man est mesuré par M,DN ou par l’angle MON.