Construction du canevas stéréographique
On peut appliquer la projection stéréographique soit à la représentation d’un hémisphère complet, soit à celle d’une portion plus limitée de la surface. Nous ne nous occuperons que du premier cas. Prenons d’abord pour plan de perspective un méridien : le point de vue sera le pôle de ce méridien, et sera situé sur l'équateur. Le méridien perpendiculaire au tableau sera projeté suivant le diamètre vertical NS, l'équateur suivant le diamètre horizontal EO. Prenons comme méridien initial de longitude o° le méridien cen- DANS. :
Les centres des circonférences qui représentent les perspectives
Fig. 63.
Lo]
des autres méridiens sont tous situés sur ÉO. En vertu du principe de la conservation des angles, la tangente en N à la perspective d’un méridien de longitude G doit faire un angle G avec NSErIe rayon de la perspective fait done un angle 90° — G avec cette même droite NS: et si l’on trace NF tel que CNF — 90° — G;
EF sera le centre et NF le rayon de la perspective, qui se construit
aisément.
Les centres des perspectives des parallèles sont sur NS. P tracer le parallèle de colatitude ?, on porte ND =? sur la circon
tracé est le seul qui satisfasse à la condition de couper à angles droits les méridiens de o° et de + 90° et d’avoir pour colatitude à. On peut encore faire la projection sur l'horizon d’un lieu
centre L. En rabattant sur la figure autour de sa perspeclive le grand cercle qui a NS pour trace, le point de vue vient en Vet l'o4 voit sans peine que si NP est la latitude du lieu donné, p sera la perspective du pôle nord. ‘US
Les parallèles seront des cercles ayant leur centre sur NS. Celui
dont la colatitude est x se construira en prenant PA — PB —%4es
parallèle (dont le centre n'est pas en p).
Les méridiens doivent passer en perspective par les perspectives P et p' des pôles nord et sud: leurs centres sont donc sur OCE perpendiculaire au milieu de pp'. On obtiendra la langente en p à un
méridien donné, en faisant avec pp' un angle égal à la longitude de ce méridien comptée de L et menant une perpendiculaire à cette tangente : ou plus simplement en menant directement une droite faisant avec pp'un angle égal au complément de la longitude: lintersection de cette droite avec OE donne le centre cherché D, et le rayon est D».
Si les angles sont conservés dans cette projection, il n’en est pas de même des rapports de longueur et par conséquent de surface.
Soit M un point de la surface, situé à une distance angulaire À du point central P. Par le point de vue menons le grand cercle
on
passant par M et prenons-le pour plan de la figure. Un petit cercle infinitésimal de rayon dA, et ayant pour centre M, se projettera suivant un autre petit cercle, et puisque nous le supposons infiniment petit, le sommet du cône circonscrit sera sur la sphère, en M, à un infiniment petit du deuxième ordre près : le petit cercle a donc pour centre la perspective »m de M et pour rayon la perspective mm' de MM’ = 4}, le rayon du grand cercle étant égal à 1.
Comme PVM = 1%, Om —tang?x, d'où en différentiant par rapport à À,
dÀ RIM 2 cos? +À et > MM ; — 2 cos}:
mm
Ce rapport est égal à 2 pour À— 0 et à 1 pour À — go°. Les distances sont donc conservées sur le bord de la carte, et réduites
de moitié au centre’ ce qui correspond au rapport + des surfaces.
