Constructions graphiques

La construction graphique exécutée avec soin remplace généraralement le calcul dans le tracé du détail des cartes géographiques. Mais son usage ne se borne pas là. Elle trouve son emploi toutes les fois qu'il est permis de se contenter d’un degré inférieur d’approximatuon. Nous donnerons un exemple de ce genre pour la prédiction des occultations.

Quand il s’agit de directions à porter sur une carte, au lieu de calculer l’azimut d’un astre, on peut recourir à une construction qui aura la même précision que le résultat final que l’on cherche. D’autres fois on cherche un élément au moyen de formules de correction dans lesquelles figurent d’autres éléments, dont on n'a besoin que pour le calcul de termes très petits. La résolution graphique des triangles sphériques est donnée dans les traités de Géométrie descriptive sous le nom de résolution de l'angle trièdre. Nous allons rappeler la solution des principaux cas qui peuvent nous intéresser.

1% Cas. — Etant donnés trois côtés d’un triangle sphérique,

trouver un angle. — Soient 4, b, « les côtés donnés (fig. 3), A l'angle cherché. |

On prend pour plan de la figure le plan d’un des côtés adjacents à l'angle cherché, soit c. On trace un cercle de rayon arbitraire, dont les dimensions sont déterminées par le degré de précision qu'on se propose d'atteindre.

À partir d’un point À de la circonférence on porte l’are AB = c et on trace les diamètres AA/, BB’. On prend ensuite AC—=bet BE — «, on mène par C une perpendiculaire CC’ à AA’, par E une

perpendiculaire EE’ à BB’. L'intersection m de ces perpendicu- : Jaires est évidemment la projection sur le plan du tableau du troisième sommet C du triangle, B et A étant celles des deux premiers. En rabattant autour de CC’ le plan qui contient ce sommet, et qui coupe la sphère suivant un petit cercle de diamètre CC, le troisième sommet se rabat en M sur là perpendiculaire »mM à CC, et MDC' sera l'angle À cherché. On trouverait l’angle B en opérant sur EE’ comme on a opéré sur CC’. C’est l’angle EFM' de la figure. Pour trouver l'angle C il faudrait changer de plan de projection.

9° Cas. — Connaissant deux côtés et l'angle compris, trouver un des autres angles et le troisième côté. — Soient donnés B,a,c et soit proposé de chercher À et b. Prenons pour plan du tableau le plan du côté c (si on cherchait B, on prendrait le plan de a).

Traçons encore les deux diamètres AA' BB faisant entre eux l'angle c. Puis prenons BE — a, et traçons de même la droite EE’ perpendiculaire à BB’. Rabattons le petit cercle qui contient le

troisième sommet autour de son diamètre EE/, et faisons à son centre EFM' — B : le point M’ projeté perpendiculairement sur EE! nous donne la projection du troisième sommet en m. Si l’on cherche l’angle A, la construction s'achève comme précédemment. Le côté b est égal à AC, CC’ étant une perpendiculaire à AA menée par mn.

Ces deux cas sont les seuls utiles à considérer dans la pratique astronomique : il est donc superflu de rappeler les deux autres.

L'avantage des opérations graphiques est d’être très rapides, surtout quand, une des données restant constante, on a plusieurs tracés semblables à faire. Elles peignent à l'œil le degré de précision du résultat obtenu, par l’angle sous lequel se coupent les lignes de construction, et par la distance des points qui déterminent les droites. Elles se font avec facilité et exactitude sur du papier quadrillé millimétrique. En procédantavec soin, avec un cercle d’un décimètre de rayon, on trouve les angles à peu de minutes près. Cela suffit pour certaines déterminations d’azimuts destinés à être portés sur les cartes, et pour chercher la hauteur d’un astre ou encore son angle de position, dont on se trouve avoir besoin pour calculer certaines corrections.

On a aussi construit des instruments pour résoudre ces problèmes sans calcul. Nous nous contenterons de les signaler ici.

Le plus simple de tous est le quartier de réduction, destiné à la résolution des triangles recülignes rectangles, et à l’aide duquel on peut aussi résoudre rapidement les problèmes ci-dessus.

Le Planisphère Keller résout les triangles sphériques en se basant sur les propriétés de la projection stéréographique. Il se compose de deux projections stéréographiques de grand diamètre, dont l’une est transparente et peut tourner concentriquement sur l’autre. Le Triedromètre de Zescevich, le Planisphère Hue sont également des projections toutes faites. M. le commandant de Magnac recommande l'usage du Vavisphère et du Métrosphère : on opère alors directement sur la sphère au lieu d’opérer en projection sur le plan. Tous ces instruments sont accompagnés d’instructions spéciales relatives à leur usage : c'est ce qui nous dispense d’en parler plus longuement.