Détermination des altitudes et problème inverse

Pour la description complète d’une contrée, il ne suffit pas d’en tracer la projection horizontale : il faut y joindre la connaissance du relief du sol.

Si l’on suppose le niveau moyen des mers prolongé sous les continents, il formera par hypothèse un ellipsoïde parfait, et lPaltitude d’un point quelconque sera la distance de ce point à cet ellipsoïde. Dans les travaux de haute précision, il ÿ aura à vérifier si le niveau moyen des mers satisfait bien à cette condition : il y

aura surtout à définir ce niveau moyen, et à le distinguer de moyenne des niveaux observés. Mais cette recherche n’a ar intérêt au point de vue qui nous occupe, et nous ne ferons que mentionner pour mémoire les méthodes précises du nivelleme topographique. Dans beaucoup de cas, nous ferons même abstrac: du mouvement de la marée, bien qu’on doive en tenir comp toutes les fois que cela est possible : en pratique, on adme que la moyenne entre une basse mer et une haute mer contie est le niveau moyen.

En Géodésie, on nivelle par distances zénithales. Le procédé plus exact, celui qui affranchit le mieux des erreurs ducs à réfraction, consiste dans l'observation des distances zénithal réciproques et simultanées.

Si du point À on a pris la distance zénithale £ de B, et au même instant, de B la distance zénithale t’ de À, la différence de niveau de ces deux points est donnée par la formule |

Ksint(?’—t) cost(t —1+C)

dans laquelle K est la longueur en mètres et Cla valeur en secondes. de l’arc de grand cercle terrestre qui Joint les deux points,

PR p sin1”

e étant le rayon terrestre, Cette formule suppose que les réfracuons sont les mêmes aux deux points, ce qui aurait besoin d’être vérifié. En général, on se contente d'observer en un des points la distance zénithale de l’autre. Si de A on a pris la distance zénithale € de B, l'élévation 3 de B au-dessus de À est donnée par

FRE ERRRSERE +14 Si € est plus grand que 90°, cot É est négatif, et,” abstractior faite du deuxième terme, B est plus bas que A. 1 Le coefficient 0,42 —1— 0,08 se compose de deux parties, la première provenant de la courbure de la Terre, la deuxième introduite par la considération de Ja réfraction géodésique. Dans le pays tropicaux, il vaut mieux prendre 0,44.

On peut aussi résoudre cette équation par rapport à K, connaissant 3, et trouver la distance à laquelle on est d’un point d'altitude connue. Mais les incertitudes qui affectent les alutudes ne permettent pas d'attribuer à ces mesures une grande précision. Pourtant, quand il s’agit de relever rapidement le contour d’une côte, au moyen d’une seule station faite en un point élevé, on peut recourir à la méthode des dépressions, recommandée par M. Mouchez. Sans présenter généralement le degré de précision qu'on obuent par un cheminement, elle peut être utile quand les dépressions mesurées sont de plusieurs degrés. Avec un bon théodolite, donnant les angles à 10" près, si l’on a soin de déterminer exactement la correction de niveau, l'erreur sur la distance, résullant du pointé, et pour des dépressions de 3° à 4°, ne déplacera les points

que de —— de leur distance absolue. L'erreur sur laltitude 3 se

multiplie au contraire par la cotangente de la dépression, c’està-dire par un facteur qui est ici voisin de 15. Mais on peut encore obtenir de bonnes positions relatives, si l’on fait dépendre l'altitude employée de la distance d’un point voisin de ceux qu’on relève, car alors ce sont en réalité les différences de dépression qui interviennent. On peut encore mesurer les dépressions audessous de l'horizon de la mer, au moyen du micromètre, et connaissant la dépression apparente, en déduire les dépressions des

points visés.

Pour calculer K, on résoudra l'équation par approximations suc-

cessives, en négligeant d’abord le terme o,42—; puis y remplaçant Ê

K par ztang£, d’où

À 3} : z?tang*C K — z tangé — 0,42 —.

Voici la formule pour évaluer la distance d’un point, par sa dépression angulaire au-dessous de l'horizon de la mer, prise d’un point d'altitude connue. Soient K la distance cherchée exprimée en mètres, à la dépression apparente de lPhorizon, z la hauteur de l'œil, + la distance angulaire de la ligne d'horizon au point à déterminer, et mesurée au micromètre ou au sextant; K sera donné par l'équation

, LA K° r 5