Généralités. Classification des erreurs

L'étude des erreurs s'impose à toutes les Sciences d'observation: dans celles qui opèrent sur des nombres, elle est susceptible d’étre traitée avec une certaine précision qui lui à fait prendre rang parmi les Sciences mathématiques (!).

La théorie nous donne des relations entre certaines quantités, les unes directement mesurables, les autres devant s’en déduire par des formules exactes. Le zénith et le pôle ne sont pas directement observables, mais si l’on connaît la distance polaire d’un astre, la. mesure de sa distance zénithale méridienne permet de trouver la colatitude, Üne dimension linéaire se mesure en lui superposant une règle de longueur connue et évaluant le nombre de longueurs et de fractions de cette règle qui y sont contenues. Ces deux cas sont des plus simples, puisque l’inconnue est une somme ou une différence de résultats d'observation. Voici un exemple plus com= plexe. Pour trouver la formule des marches d’un chronomètre et en déterminer les constantes, il faut observer des états absolus, des. températures, noter des dates. La détermination de l’état absolu exige elle-même des observations diverses, telles que mesure des distances zénithales, observation du niveau, appréciation: du.

Ca

(*) Après les lumineux travaux dont M. Bertrand vient d'enrichir cette théorie, il était peut-être superflu d’insister, comme nous le faisons, sur les incertitudes qu’elle présente. Nous n'avons pourtant cru devoir rien changer à ce Chapitre ; écrit depuis déjà deux ans. Nous nous bornerons à constater, avec une profonde satisfaction, la confirmation de nos vues par la haute autorité de notre ancien maitre, qui, avec la clarté incisive dont il possède le secret, a soumis les idées courantes à une critique sévère, et replacé ainsi cette branche de la Science sur. ses véritables bases. La théorie ne vient plus contredire l'expérience et le bon sens. :

temps, détermination de la réfraction; puis il faut combiner avec ces quantités la colatitude du lieu, l'ascension droite et la distance polaire des astres, etc.

On supposera toujours qu’il existe une relation analytique entre les quantités à déterminer et celles que l'on se procure par les mesures directes ou que l’on connaît a priori. Ces relations, en ce qui concerne notre objet, ont été développées dans les Chapitres qui précèdent. À défaut de relations de ce genre, on aurait recours aux formules d’interpolation, aux divers développements en série ou à la méthode des coefficients indéterminés.

Toute quantité mesurée est nécessairement affectée d'erreurs. __ C'est là un fait d'expérience qui résulte de ce qu'on ne trouve jamais identiquement le même résultat en répétant une mesure. Ces erreurs tiennent à des causes multiples qu'il est du plus haut intérêt de reconnaître toutes. D'abord l’imperfection des instruments de mesure dont la forme et les dimensions varient par l'effet de la pesanteur, de la température, de toutes les circonstances physiques. Dans cette catégorie se rangent: les défauts de compensalion des chronomètres, les anomalies et irrégularités de leur marche, provenant de lPépaississement des huiles, des altérations moléculaires, des imperfections de construction, des chocs, des mouvements imprimés par des forces extérieures, de l'électricité, du magnétisme, des altérations chimiques; les défauts optiques des lunettes, leurs flexions ; les erreurs instrumentales de diverses sortes, erreurs de division des cercles, jeu des vis, inertie des niveaux, excentricité.

Il y à ensuite les erreurs extérieures, celles sur la température et la pression, les réfractions, normales ou non; puis celles qui sont dues à d’autres propriétés de la lumière, diffraction, irradiation, dispersion, aberration, scintillation, vision moins nelle à cause des milieux interposés.

Il y a enfin les erreurs propres à l'observateur et à l’imperfection de ses sens, les équations personnelles pour l'appréciation des temps et des pointés, la fatigue des organes, les erreurs de lecture.

On pourrait allonger indéfiniment cette longue liste; il est même permis de dire qu'à mesure que la Science progresse, le nombre des causes d'erreur connues augmente ; que l’on compare seulement les calculs que nécessitent de nos jours les opérations de Géodésie

et la prédiction des éphémérides avec les opérations que faisaient autrefois les arpenteurs et les rédacteurs de calendriers.

Parmi ces erreurs, il en est qui se produisent indifféremment dans un sens où dans un autre; on les qualifie d’accidentelles ou Jortuites; d’autres, au contraire, dont les causes sont plus ou moins connues, agissent d’une façon régulière; ceiles-là sont systématiques et parfois constantes.

À première vue, ces définitions paraissent très claires ; il n’est Pourtant pas possible, en fait, d'établir une véritable classification: rien n’est plus délicat que de tracer la limite des deux domaines et de trouver la qualification qui convient. En réalité, il n’y a pas d'erreurs fortuites : le mot de hasard n’a été inventé que pour exprimer notre ignorance des causes, il ne devrait jamais servir à déguiser cette ignorance. Tout phénomène naturel obéit à des lois qui règlent sa manifestation; il n’y a pas de raison pour qu’il n’en soit pas de même de l'écart entre l'observation et la réalité. De même que le progrès de la Science amène à reconnaître un nombre croissant de causes perturbatrices, il a aussi pour résultat d'étendre la classe des erreurs systématiques aux dépens de celle des erreurs fortuites. Tant qu'on n’a pas égard au mouvement d'ensemble du système solaire, on peut considérer comme accidentelles certaines inégalités des coordonnées stellaires; elles deviennent systématiques le jour où l'observation réussit à dégager leur loi, qui n’est autre que celle du mouvement relatif.

Nous sommes forcés de ranger dans la catégorie des erreurs fortuites les anomalies de la dépression de l'horizon; elles dépendent pourtant de causes météorologiques connues, mais qu'on n’a pas encore réussi à mettre en équation. Il en est de même des réfractions dans le sens horizontal, qui ont une importance réelle en Géodésie : des irrégularités des niveaux à liquide, par lesquelles ! se manifestent des phénomènes capillaires et électriques ;’ce sont toujours les effets de causes naturelles dont la théorie reste à faire. Les erreurs de graduation des cercles nous en offrent un exemple très instrucuf. Elles ont été fort longtemps considérées comme fortuites. Une étude plus attentive a montré qu'elles peuvent être représentées par des séries périodiques ; une fois cette constatation faite, on en a cherché l'explication, et on l’a trouvée dans les machines à diviser, dans les vis micrométriques, dans l’inclinaison

des plans des cercles, dans les changements de température. Tant que l'étude d'un cercle divisé n’est pas faite, force est de traiter comme fortuites toutes les erreurs de graduation. Si l’on mesure plusieurs fois un même angle avec la même position du limbe, les erreurs commises se composent d'une erreur constante, l’erreur de division, et d'erreurs que l’on traitera provisoirement d’accidentelles et qui proviennent de la lecture, du pointé, des circonstances extérieures. Mais celles-ci peuvent elles-mêmes être systématiques, et dues, par exemple, à une imperfection de l'éclairage. L'habileté de l'observateur consiste à découvrir les erreurs systématiques, et, s'il ne peut parvenir à les isoler, à les éliminer du moins par une combinaison d'observations qui en fasse des erreurs fortuites ; telle est la justification de la méthode de la réitération, qui consiste, on l’a vu, à faire servir successivement les diverses parties du limbe à la mesure des mêmes angles. Telle est aussi la raison d’être des observations croisées ou symétriques ; elles sont destinées à atténuer l'effet de la collimation et de l’inclinaison des axes. Une erreur de zéro d’un instrument à réflexion mal déterminée est constante; elle deviendra accidentelle si l’on opère avec plusieurs instruments différents; elle s’éliminera en croisant les observations.

Les observateurs anciens s’efforcaient d'obtenir pour le cercle répétiteur et le théodolite un nivellement parfait; quand le niveau se dérangeait, on rectüfiait à nouveau, et l'on ne notait pas les lectures de la bulle, traitant ainsi les erreurs de niveau comme accidentelles. Or, si l’un des pieds de l'instrument, par exemple, plus exposé au Soleil que les autres, se dilate davantage, cela donne lieu à une dénivellation systématiquement progressive des axes, el l'erreur de niveau n’est plus accidentelle.

Donnons encore un exemple d’une inégalité systématique qu'on est obligé, faute de données, de traiter comme fortuite. Supposons une côte orientée à peu près dans le sens d’un méridien. La différence des conditions thermiques de la terre et de la mer fait qu’on ne peut plus admettre l’uniformité de pression et de température sur un même parallèle. Il résulte de là une irrégularité des réfractions et des dépressions moyennes. Si l’on détermine maintenant les longitudes d’une série de points, rattachés entre eux par des azimuts, en observant des hauteurs à l'horizon de la mer et opérant

tous les jours dans des conditions analogues, on trouvera, si les observations sont bien faites, des différences de longitude peu | différentes de celles que donne l’azimut, et la comparaison de ces . chiffres conduira à se faire une idée très avantageuse de la précision du résultat, et pourtant il pourra se faire que toutes ces longitudes soient en erreur de quantités très appréciables, grâce aux anomalies … systématiques de la réfraction. Nous avons pu soupçonner un effet de ce genre sur la côte d'Annam. En général, dans les pays où. régnent des vents de direction constante, rien ne dit que les réfrae-

ons soient les mêmes à tous les azimuts.

Il est nécessaire de se pénétrer de cet ordre de considérations, afin de s’ingénier en toute circonstance à déméler le plus grand nombre possible d'erreurs systématiques, en vue de trouver Jess méthodes d'observation propres, sinon à les évaluer, du moins à les éliminer du résultat. On pourra être ainsi conduit à faire fléchir en 1 apparence les principes exacts de la théorie, pour avoir plus de. rigueur dans la pratique. Dans les cas dont nousivenons de parler, où la réfraction est fonction de l’azimut, il faudra éviter les observations dans lesquelles intervient le maximum de différence, et lors même que la théorie indique que les meilleures observations d'angle horaire se font au premier vertical, on pourra recourir à des hauteurs plus voisines du méridien et répondant à des azimuts moins écartés et à des réfractions plus faibles.

En résumé, il faut diriger l'observation de manière à ramener le" plus possible les erreurs à pouvoir être traitées comme fortuites. Cela est plus difficile, sans doute, que de traiter brutalement des nombres quelconques par une méthode de calcul uniforme, mais les résultats acquièrent une certitude qu'on poursuivrait en vain en procédant autrement. É

169. — Examen général des circonstances favorables aux observations. Calcul des erreurs. À

La détermination expérimentale d’une quantité suppose la connaissance d'une relation

HT, Via)

entre cette quantité et d’autres æ, y, z, ... dont les unes doivent

être trouvées par l'observation directe, et les autres considérées comme des données de la question, quoique résultant elles-mêmes d'autres observations. Chacune de ces variables est supposée affectée d'erreurs, que l’on est généralement en droit de supposer assez petites pour qu'il soit permis de les traiter comme des différentielles : on peut écrire dans celte hypothèse ARRET AE LÉ REE Let Dale 0x 6: 5 z À

et l'erreur finale sera la somme des erreurs isolées dues à l'intervention des diverses variables dont w est fonction. Les circonstances favorables à l'observation sont celles pour lesquelles du est un minimum. Si l’on peut annuler un ou plusieurs de ces coefficients par le choix de la méthode, cela constituera une circonstance favorable. Exemple : À est fonction de & et P, mais en observant dans le méridien, le coefficient de dP est nul.

Parmi ces quantités æ,ÿ,3,..., il en est dont on peut disposer, tandis. que d’autres sont imposées par les circonstances. Ainsi, comme on l’a vu, la colatitude d’un lieu entre dans les équations à l’aide desquelles on calcule Pazimut et l'angle horaire; il n’est pas possible de disposer de cette quantité, et Le choix des circonstances favorables en ce qui la concerne ne peut s'opérer que par le choix de l'heure, de la méthode et de l'instrument. On est au contraire maître de disposer de la distance zénithale et de la distance polaire par le choix de l’astre.

Dans cette étude, il convient encore de rechercher dans chaque cas douteux si c’est seulement la méthode qui ne s'applique pas bien ou si Le problème lui-même est mal déterminé. Les vbservations de la colatitude par le temps que le Soleil met à se coucher donnent une très faible précision dans le voisinage de l'équateur, sans qu'il en résulte que, dans ces conditions, la colatitude elle-même soit indéterminée : la méthode seule est en défaut. Par contre, le tracé de la méridienne dans le voisinage des pôles ne saurait être effectué avec précision par aucun procédé, puisqu'au pôle même il n’y a plus de méridien, ou que plutôt ils y passent tous; il ne saurait donc y être question ni d’azimut ni de longitude.

Toutes les observations astronomiques reviennent à des pointés combinés avec une évaluation de l'heure. Un pointé est d'autant

plus exact, toutes choses égales d’ailleurs, que le mouvement relatif du point visé est plus lent, puisqu’alors une mauvaise apprécialion du temps a le minimum d'influence sur le résultat. La précision avec laquelle on estime l’heure qui correspond à un pointé est, au contraire, d'autant plus grande que le mouvement de l’astre est plus rapide, car alors l'erreur sur l'heure résultant d’une erreur sur le pointé est minima, La plus grande vitesse apparente observable est celle d’une étoile équatoriale dans le plan de l'équateur; à l'instant de la culmination, la Composante verticale en est nulle, la composante horizontale égale à la vitesse même: il en résulte, comme nous le savons déjà, que l'observation du passage d’une pareille étoile derrière les fils verticaux de la lunette méridienne donne l'heure avec beaucoup d’exactitude, et que son pointé sous le fil horizontal au même instant donne la colatitude indépendamment de l'heure. De même l'observation des clrcompolaires aux digressions donne les meilleures mesures d’azimut.

La discussion analytique et numérique des circonstances favorables se fait par le moyen des formules différentielles du Para= graphe 3. Cette discussion devient beaucoup plus claire en la raltachant à des considérations géométriques, soit qu’on résolve les problèmes graphiquement, par les méthodes du Paragraphe 44, soit que l’on considère les courbes de hauteur,

Pour se servir des formules différentielles, on choisit une de celles dans lesquelles entrent, avec la différentielle de la quantité cherchée, celle des quantités dont elle dépend. On considère d’abord le coefficient de la différentielle de la quantité inconnue. Toutes choses égales d’ailleurs, la plus grande précision correspond au maximum de ce coefficient, puisqu'il entre en diviseur dans les facteurs des autres erreurs. On examine ensuile ces facteurs qui montrent l'influence spéciale de chacune de ces erreurs, et dont, au contraire, c’est le minimum qu’il faut rechercher.

Il est ordinairement permis dans la Pratique de considérer d> comme négligeable et les Éphémérides comme exactes :" la seule cause d'incertitude proviendrait, dans le cas où l’on à observé le Soleil, la Lune ou une planète, de la connaissance imparfaite de la longitude et de l'heure, d’où résulterait une interpolation fautive ; une deuxième approximation corrigerait généralement le résultat d’une façon satisfaisante, Il faut supposer, au contraire, que À, €, A

et P sont affectés d’erreurs et en examiner l'influence sur le résultat. Au point de vue des signes algébriques, on se rappellera que les formules différentelles sont relatives aux angles et aux côtés des triangles sphériques, tandis que l’azimut A est l’angle extérieur au triangle. Nous allons résumer les résultats de cette discussion, dont quelques-uns ont déjà été traités à l’occasion des problèmes auxquels ils se rapportent, et nous ajouterons quelques apphcations numériques tirées des exemples que nous avons développés.

En mettant aux sommets du triangle général ABC, auquel se rapportent les formules différentielles du Paragraphe 3, le pôle nord en À, le zénith en B, la formule (5) deviendra, avec nos notations De des.

(5a) dé = cosw dù — cos À di + sin x sin À dP. La même substitution dans la formule (5) donnera ! 7 & — sint dAÂ — sin dè — cos sin À d) — sin cosw dP.

Eu permutant le pôle et le zénith, c’est-à-dire en mettant le zénith en À, le pôle en B, la formule (5) sera

5 dé + cos P d\ — sin sin P GA,

et la formule (7) (7b) sind dP = sin d£ — cosÿ sin P dX + sin cosw dA.

Telles sont les équations qui serviront à notre discussion.

Colatitude.— La relation (5a) montre par le facteur cos À que l'observation de distance zénithale donne le mieux à quand elle est faite dans le méridien, où cosA est égal à l’unité en valeur absolue, c’est-à-dire maximum. Elle ne peut pas le donner dans le premier vertical, conséquence à laquelle on arrive encore par la considération de la courbe de hauteur. Lorsqu'on observe dans le méridien, le centre du cercle de hauteur y est contenu, et ce cercle coupe le méridien à angle droit. À mesure que l azimut de l’astre croît, la droite de Me qui est normale à cette direction coupe le méridien sous des angles de plus en plus aigus, c’est-à- dire avec une précision décroissante : oi l'azimut est 90° ou 270°, la droite de hauteur est tangente au méridien et l'intersection indéterminée.

Pour l’observation de hauteur méridienné, une erreur sur l'heure est sans influence sur}, puisque l’angle de position étant nul, Sins, coefficient de 4P est nul. L'erreur sur 3 se reporte intégralement sur À.

Si l’on fait, au contraire, intervenir la mesure de l’azimut et de l’angle horaire pour déterminer à, on voit par la formule (ja) qu'on doit opérer loin- du méridien pour donner à cos£ sin À sa plus grande valeur, dans le premier vertical (sin À — 1), ou à la digression, où le facteur de dP, cos — 0, et où sin A est le plus grand pour l’astre donné. De là les méthodes du passage au premier verucal et des digressions.

Pour la première, sin A — 1, et alors le maximum de précision est oblenu pour cos £ — 1, c’est-à-dire au zénith et dans son voisinage. C’est ce que nous savons déjà.

Le coefficient de dA est nul pour £ — 0; en effet, une étoile zénithale, à quelque azimut qu’on observe sa hauteur, donne une distance zénithale nulle, une colatitude égale à sa distance polaire, et le cercle de hauteur se réduit à un point.

Dans tous les cas, mesures de hauteur ou d’azimut, une mesure unique ne peut pas donner la colatitude indépendamment de la distance polaire, les coefficients de dx et de 43 s’annulant ensemble.

Pour calculer les erreurs, nous substituerons aux différentielles les valeurs numériques des erreurs.

Circomméridiennes ($ 92). — Les erreurs commises dans cette observalion peuvent porter sur P,£et 3. On voit immédiatement