PT

si nous faisons dP — 10% — 150/, on trouve

l'erreur sur à est donc ici + de celle de P.

Quand on observe le colatitude par la durée du passage du Soleil

nant à a

dans un vertical donné ($ 104), on peut, pour la discussion de Verreur, prendre comme valeur approchée de 3, celle de à, d'autant que cette quantité étant supposée connue sera traitée comme constante dans la différentiation ; en différentiant la formule (c) du Paragraphe cité par rapport à à, € et w, il vient

— sin dÀ — — cosÿ sin € dé + sinè cost cosw dé — sinô sint sinw do, et en différentiant la formule (b)

sin;D cosp 2 cosiD d(1D)

— sin v dT — = — É :

sinû sin?p sin ÿ sinp

et, après substitution et une réduction facile à apercevoir,

COSp y sin (cost sin? p sinp Les meilleures conditions sont sin — 1, c'est-à-dire le voisinage

— sin À d1 = sin À cos A dE + siniD sin Dé

de l'équateur :

L'erreur sur £ a d'autant moins d'effet qu'on est plus près du premier vertical, où cos À — 0.

Les erreurs sur p et D diminuent d'influence quand on se rapproche du zénith et quand la durée p augmente, ce qui arrive quand À croît, c’est-à-dire encore près de l’équateur.

Dans l'exemple cité on trouve, pour le coefficient de dé, 0,008, ce qui est négligeable : mais les coefficients de dp et d(FD) sont respectivement 75,4 et 119, ce qui indique a posteriori qu'on n'est pas dans des conditions favorables. Par 80° de colatitude, le coefficient de dp descendrait à 5,7, une erreur de 1° sur l'appréciation de p ferait 1/25" sur À.

Heure. — Si l’on se propose de trouver l’heure en fonction de la colatitude et de la distance zénithale, on emploiera la formule (5&). Le coefficient de dP est sin x sinA. Les meilleures conditions sont celles qui correspondent au maximum de sin À , c’est-à-dire à l’observation au premier vertical, quand elle est possible, ou aux digressions. La précision, en raison du facteur sin x, croît à mesure qu'on se rapproche de l’équateur : au pôle, on ne peut pas déterminer l'heure par € qui reste constant. On ne le peut pas davantage dans le méridien, où A — 0. L'erreur dx est sans influence pour cos — 0, c’est-à-dire encore au premier vertical, dà est sans influence aux digressions. La formule (76), où dP a pour facteur sin à, montre que

Casparr. — Astronomie, IT. 19

les astres équatoriaux sont les plus avantageux, ce qui résulte de la rapidité de leur mouvement.

Cette discussion se fait aussi par les courbes de hauteur. L'heure du premier méridien étant supposée connue, la recherche de la longitude et celle de l'angle horaire reviennent au même : or 14

première se ramène à celle de l'intersection du cercle de hauteur avec le parallèle de latitude, Le résultat est d'autant plus précis que celle intersection a lieu sous un angle plus voisin d’un droit, ce qui ramène aux environs du premier vertical, tant par les erreurs sur À que par celles sur : c’est dans ce cas, en effet, qu'un petit déplacement du cercle de hauteur (£) ou du parallèle (x) déplace le moins le point d'interseclion.

La détermination de l'heure par l’azimutse discute par (sa), qui montre que sin doit être grand (étoiles équatoriales à mouvement rapide), et cos& maximum, ce qui conduit à observer dans le méridien, où w:= 0: C'esl dans ce cas aussi que Éest le plus petit, et que dA par conséquent a le facteur minimum. Les facteurs de dÿ et dx s’annullent, et cela prouve, ce que nous savons déjà, que les observations de passages méridiens donnent l’heure indépendamment de la colatitude et de la distance polaire. Mais ici peuvent intervenir d’autres considérations. La correction due à la déviation azimutale de la lunette est nulle pour les étoiles zénithales. Là où le mouvement de celles-ci est suffisamment rapide, c’est-à-dire sous les moyennes et basses latitudes, on pourra les préférer comme étoiles horaires aux étoiles équatoriales, l'incertitude sur l’orientation de la lunette n’intervenant pas dans les résultats.

Si l’on a des doutes sur la détermination de l’inclinaison, on choisira au contraire des étoiles voisines de l’horizon.

Pour calculer les erreurs sur l'heure dans le deuxième exemple du Paragraphe 108, la formule (5a) nous donne

dt cost x cot A - - : - Ô + — sin À sin À Sin À sin À Sin À

A2. lea 4

GE

Avec les données &£ — 58°43/, 3 — 72°12", À = 60°8/, P — 629351 on trouve d’abord sinP . sin P

SIA Sn) nm =) < sin Ç sin

sinÀ,

CHAP. XI. — THÉORIE DES ERREURS D'OBSERVATION. 291 d’où AE 319001 Tes T0NS

et les coefficients sont dP = 1,08 dé — 0,261 dè + 0,163 dx.

Ainsi une erreur de 1’ sur € donne 4,32; sur à, 1,04 ; sur à, 0°,65 sur l'angle horaire.

Si nous prenons maintenant l’exemple de l’heure par les circomméridiennes du Paragraphe 110, où € — 8°46/,5 — 86°0/,x— 77°30/, 10 nous trouvons À— 1454, © —14°29/, par les formules ci-dessus, et après calcul fait

AP = 4, 19 dt — 3,80 d — 3,85 d, et les erreurs sur l'heure, pour 1° d'erreur des données, sont par dK, 16°,48; par dÿ, 15°,56; par dà, 145,40.

Mais ces deux dernières disparaissent par le fait que les hauteurs sont à peu près correspondantes. Il en est de même des erreurs systématiques sur d.

Azimut. — Dans la formule (5b), A a pour coefficient sin x sin P. Il en résulte que d’une façon ‘générale on doit éviter les angles horaires trop petits, et de plus, que l’azimut se détermine d’autant plus mal qu’on est plus voisin du pôle.

S1 l’on détermine l’azimut par la distance zénithale, l'observation de la distance zénithale méridienne répond à cos& = 1, et comme sin P — o, le coefficient de d£ est infini. On ne peut donc pas déterminer l’azimut, qui varie, par l’observation du maximum de la hauteur, qui, elle, ne varie pas à ce moment. Les meilleures observations se font dans le premier vertical.

Si l’azimut est cherché en foncuon de l'heure et de la colatitude, nous employons la formule (7a). Elle montre en tout état de cause que siné doit être assez grand; c’est une condition de Pobservation même, puisqu'une étoile au zénith n’a pas d’azimut. D'ailleurs les erreurs d'observation au théodolite vont croissant à mesure qu'on se rapproche du zénith. Le coefficient de dx, coté sinA, y devient infini. Celui de P est le plus grand dans le méridien, où cos® = 1, mais il peut être réduit en prenant sin très

petit : application à l’azimut par la Polaire qui est très précis. coefficient est nul avec cos, ce qui correspond aux digressions | alors une erreur sur l'heure est sans influence sur l’azimut, de même qu’une erreur sur l'heure du passage méridien est sans influence sur la colatitude. 1

Les conditions relatives à l’azimut sont évidentes sur la #£g:. 3 di Paragraphe 11. À mesure qu’on se rapproche du zénith, l’almican tarat CMC/ diminue de rayon, et la droite MD est de moins e moins bien déterminée. La longueur du rayon est aussi déterminée avec une précision décroissante quand on n’a pas mesuré € direc tement, puisque l’intersection avec le cercle extérieur devient de plus en plus aiguë.

Enfin, si » est voisin de C, un très petit déplacement de ce point en entraîne un très grand sur la direction du rayon azimutal : c’est ce qui arrive près du méridien.

Pour le calcul de l’exemple du Paragraphe 115 (azimut par l’angle horaire), on trouve par (7a)

sin sinèicosw

— dA — dù — cott sin À d) — : FA RE C sin €

sin

avec À = 299°30/, P — 55°7,3 — 68°35", à — 73°53/, les analogies des sinus donnent { — 64°22' et l’on trouve

— dA = 1,105 dù — 0,418 d\ — 0,086 dP.

En multipliant chaque erreur par son coefficient, on aura l’erreur. qu'elle introduit dans l’azimut. La faiblesse du coefficient de dP. tient à ce qu’on est voisin de la digression. A noter que c’est l'erreur sur 3 dont l'effet est le plus sensible dans les observations d’azimut. ]

Dans l'exemple du n° 116,

(5 b) IA = Re + cos P 41 — sinÀsinP GA, FE

sin À sin P et, en prenant les données citées,

dA = 1,12 dd — 0,37 dt — 0,45 dà.

4170. — Équations de condition. Manière de les établir.

Rappelons qu’une observation quelconque'est faite en vue de déterminer une ou plusieurs quantités inconnues par une ou plusieurs mesures.

Divers cas peuvent se présenter :

1° La quantité cherchée est mesurée directement. L'exemple le plus simple est fourni par l’évaluation d’une longueur à l’aide d’une règle graduée. C’est le cas de toutes les mesures de grandeurs angulaires et linéaires, abstraction faite du but en vue duquel les mesures sont faites. Une observation au théodolite donne directement la double distance zénithale d’un astre. Le compas azimutal permet de lire directement le relèvement magnétique d’un point. On trouve sans calcul la division du cercle qui répond au nadir, c'est-à-dire la direction de la verticale, par l'observation du bain de mercure, l'heure du passage méridien des astres par l’observation à la lunette méridienne.

On peut faire rentrer dans cette catégorie toutes les mesures qui se traduisent par une équation de la forme

dans laquelle x est l'inconnue, et & une quantité numérique obtenue en combinant, par voie d'addition ou de soustraction, une quantité observée directement, avec des quantités connues.

Ainsi de l'observation de la colatitude par la hauteur méridienne d'un astre résulte une équation

= À est l’inconnue, € est observé et à supposé connu.

» L'observation fournit des quantités qui ont, avec les inconnues, une ou plusieurs relations linéaires. Nous avons vu des exemples de ce genre en traitant des corrections instrumentales. L'observation d’un passage méridien nous donne ($ 49) la relation

Cr + Frs EN;

et si l’inclinaison z a été déterminée, cette équation est de la forme Cy + Aa + Bc—M,

Cp, & et c sont les inconnues, À, Bdes paramètres connus, M une quantité déduite directement de la mesure opérée. à La marche d’un chronomètre peut être représentée ($ 88), par

mm + at + all? = b'0 + bp2 + ct;

t, 0, » sont donnés par l'observation : m', a, a’, b, L', c sont les inconnues, On obtient alors les valeurs de ces inconnues par la résolution des équations. - Dans les deux cas que nous venons d'examiner, si l’on a autant d'équations, c’est-à-dire d'observations, que d’inconnues, le pro-. blème est en général déterminé, et sa solution résulte des méthodes connues de résolution des équations du premier degré à une ou plusieurs inconnues. Si le nombre d'observations est surabon= dant, les équations qu’on en tire sont généralement incompatibles. en raison même des erreurs de mesure. Mais, comme on peut. supposer & priori toutes les observations également entachées d'erreur (nous ne disons pas d'erreurs égales), rien n’autorise à opérer parmi les données un choix quelconque, et le bon sens indique qu’on doit chercher à faire concourir tous les résultats au calcul des inconnues. Le problème est, de sa nature, un peu vague; il peut se poser ainsi : ,

Trouver un système de valeurs des inconnues qui, sans salis- Jaire rigoureusement à aucune des équations particulières, satisfasse le mieux possible à leur ensemble.

C’est sur le sens de ces mots : le mieux possible, que porte l’indétermination du problème ; nous dirons même qu’on n’a pas encore réussi à se mettre complètement d'accord sur la manière de les interpréter.

Il est généralement admis comme un axiome que lorsqu'on a mesuré plusieurs fois une même quantité, en prenant chaque fois les mêmes précautions pour assurer au résultat la plus grande précision possible, la moyenne arithmétique des mesures effectuées donne la valeur la plus plausible de cette quantité, et par conséquent que c’est la quantité qui satisfait le mieux possible aux observations.

Celles-ci étant supposées débarrassées de toute erreur systématique, cela revient à admettre queles erreurs fortuites d’un certain nombre de mesures sont indifféremment positives ou négatives, et qu'il n’y a pas de raison pour que les premières soient plus grandes ou plus petites que les secondes.

IL y a loin pourtant de ce prétendu axiome aux vérités évidentes de la Géométrie. M. Bertrand a pu dire qu'on a pris depuis longtemps l'habitude d'attribuer aux moyennes une sorte de vertu mystérieuse bien supérieure à leur vrai mérite. M. Faye a montré sur un exemple (Comptes rendus, 19 mars 1888) que la moyenne arithmétique peut ne pas donner le résultat le plus probable. Les fortes erreurs ne se compensent pas toujours bien, précisément parce qu'elles sont rares.

Si quelque chose a lieu d’étonner, c’est que cette objection à la théorie des erreurs n’ait pas été faite plus tôt. La probabilité d’une erreur est fonction à la fois de la grandeur absolue de cette erreur et de sa grandeur relative, c’est-à-dire, par là, de la quantité à mesurer. Cette remarque est évidente quand il s’agit d’estimauons ; or il y a peu de mesures dans lesquelles l'estimation n'entre pas pour une certaine part, quelquefois peu sensible, d’autres fois très notable. Une estimation de distance ou de durée est sujette à de grosses erreurs : il n'est pas rare qu'on s'y trompe du simple au double. Dans les cas de cette espèce, ce n’est plus la moyenne arithmétique, mais la moyenne géométrique qui représente la valeur la plus probable. Une même distance de 1 kilomètre peut être évaluée par un observateur novice à 2000 mètres, et par un autre à 500 ; dans ce cas, ces deux erreurs sont également probables ; la moyenne 1250 mètres n’est pourtant pas la distance vraie, mais c’est le logarithme de celle-ci qui est la moyenne arithmétique des logarithmes des mesures.

Ces réserves posées, et nous y reviendrons, le principe des moyennes est assez généralement admis en pratique, et nous le prendrons comme point de départ.

Supposons qu'on ait déterminé plusieurs jours de suite, en un même lieu, les distances zénithales méridiennes d'une même étoile, avec le même instrument et dans les mêmes conditions de bon pointé. On pourra en déduire autant de valeurs de la colatitude,

NEAdE EE

à condition que les valeurs de € soient affranchies d’erreurs systématiques, corrigées de la réfraction, etc. On est conduit alors à prendre pour colatitude la moyenne arithmétique des résultats trouvés.

Admettons maintenant qu'on ait mesuré les distances zénithales méridiennes de plusieurs étoiles, on sera porté encore à prendre la moyenne des colatitudes conclues. Cela ne va pourtant pas de soi.

La distance zénithale vraie d’une étoile résulte de l'application, à la distance observée, de plusieurs corrections : réfraction, flexion, niveau ou nadir, erreur de division ; dans le cas d’un instrument répéuteur, on doit tenir compte du temps perdu des vis; avec un sextant, il faut connaître la collimation.

Dans ce cas, on prendra comme première valeur approchée la moyenne des résultats. On fera la différence entre cette moyenne et chacune des valeurs partielles, c’est ce qui s'appelle calculer les erreurs résiduelles. On affectera chacune de ces erreurs du signe qui lui convient, en la considérant comme la correction à faire subir à une observation isolée pour trouver la moyenne. Ce Tableau une fois dressé servira à estimer la valeur des observations,

On examinera avant tout si les grandeurs absolues des résidus d'erreur sont comprises entre les limites que l’on peut tolérer, étant données la précision de l'instrument emplové, l’habileté de l'observateur, les circonstances plus ou moins favorables de l’observation. S'il n’en est pas ainsi, si certaines différences dépassent les limites que l’expérience ou le raisonnement permettent d’admettre, il ÿ à présomption que l’on n’a plus affaire uniquement à des erreurs accidentelles, et dès lors il faudra rechercher les erreurs systématiques. Pour dégager les erreurs de réfraction et de flexion, qui croissent toutes deux avec la distance zénithale, on groupera les observations dans l’ordre des distances zénithales, Si alors les résidus varient d’une façon continue avec cette distance et diminuent avec elle, on aura à soupçonner l'existence d’une cause de ce genre; on la recherchera en mesurant directement l'erreur de flexion avec un collimateur. On applique aux observations les corrections ainsi trouvées et l’on recommence les calculs déjà indiqués. Si le temps perdu des vis est supposé avoir une influence, on groupera les observations en deux Catégories : étoiles au nord

et au sud du zénith. Si la moyenne des étoiles au Nord donne une différence notable avec la moyenne des étoiles au Sud, une erreur de ce genre sera possible, ou bien une erreur de collimation du sextant, si c’est de cet instrument qu'on se sert; il est aisé de voir, en effet, qu’une erreur constante sur la distance zénithale produit des erreurs de signes opposés sur la colatitude, selon qu’on observe au nord ou au sud du zénith.

C'est en suivant une marche analogue que les astronomes ont découvert successivement un grand nombre d’inégalités des mouvements célestes, parmi lesquelles nous ne citerons que la précession des équinoxes, la nutation et l’aberration.

Mais l'observation ne donne pas toujours directement la valeur de l’inconnue, ou une relation linéaire à laquelle elle satisfait.

Soit à régler un chronomètre par des observations de distances zénithales. Admettons qu’on ait éliminé toutes les erreurs systématiques. Aux heures #,{',", ... du chronomètre, on a observé les distances zénithales €, €’, (", ... supposées également bien mesurées, également précises. Cela ne veut pas dire qu’elles sont toutes affectées d'erreurs égales, mais seulement qu’il n'y a pas raison de croire que l’une d’elles est moins bien observée que les autres.

Par le calcul connu, on trouvera les angles horaires P, P’, P', ...; supposons la marche du chronomètre connue, et, à l’aide de cette marche, corrigeons les intervalles entre £, LOL ESA ba les ramener à ce qu’ils auraient été si la marche était nulle. Soient ti,t,,t,, .… les heures chronométriques ainsi obtenues. En appelant C, la correction du chronomètre, on devrait avoir

Mais comme les £ sont affectés d'erreurs, il en résulte des erreurs correspondantes sur Les P,et, au lieu de cette équation, on

aura

les À étant des quantités inconnues dont nous savons seulement °1 qu’elles sont petites.

Si tous les P étaient également précis, on aurait à prendre la moyenne arithmétique, ce qui se traduirait ici par la relation

Cp

m étant le nombre des observations, d’où l’on déduirait l'équation