A3 X ER D:Y SE C33 = LES

Nous pouvons combiner ces équations par voie d’addition ou de soustraction terme à terme, et si nous cherchons %, il est clair qu'on le trouvera avec une précision d’autant plus grande que son

coefficient dans l’équation finale sera plus grand. Car soit

Axz+By+C:=M

celte équation ; on en tirera

et l'erreur sur æ résultant de celles commises sur M, y et z, sera d'autant plus faible que À sera plus grand.

Pour cela, on change les signes de tous les termes dans les équations où æ a le signe — ; dans l’ensemble‘des équations ainsi transformées, tous les termes en + seront positifs, et le coefficient de cette inconnue dans l'équation somme atteindra ainsi la plus . grande valeur qu’il puisse avoir quand on s'impose d'employer les équations telles qu’elles sont données, sans les multiplier par aucun facteur.

On formera l'équation finale relative à y en préparant de même les équations données, de manière que le coefficient de J soit positif dans toutes. L'on fera de même encore pour obtenir la troisième équation finale en z.

On arrivera par là à trois équations de la forme

A x+By+Cz—0D, A! x +B'y+C'z—D!, A'æ& + B'y + C'z— D",

qu'on résoudra par les méthodes connues (substitution, comparaison, coefficients indéterminés). Il est clair que toutes les observations ont concouru à la formation des équations et à la détermination des inconnues. On voit de plus que, si les observations sont suffisamment variées, il y a de grandes chances, d’après le mode de formation des équations finales, pour que le coefficient de l’inconnue par rapport à laquelle on a formé l’une de ces équations soit prépondérant dans cette équation. Il sera toujours beaucoup plus grand que dans une équation primitive isolée : et l’on se rend bien compte que cette manière de calculer augmente la pré-. cision des résultats.

Cette méthode très simple s'emploie avantageusement pour la détermination des coefficients d’une série périodique, quand on

connaît des valeurs de la fonction correspondantes à des valeurs équidistantes de l’argument. M. Faye en a fait une application très - élégante à la formule qui donne les déviations des compas.

Nous allons donner ici cette application qui montrera comment on peut procéder dans des cas analogues.

La déviation d’un compas sous l’influence du fer du navire peut être représentée par la formule

0— À + B sin0 + C cos0 + D sin20 + E cos0,

dans laquelle 6 est le cap au compas, c’est-à-dire l’azimut de la ligne médiane du navire compté à partir de la direction de l’aiguille aimantée déviée; à est la déviation, et À, B, C, D, E sont des constantes qu'il suffit de connaître pour calculer la déviation à un cap quelconque. Supposons maintenant que la circonférence soit divisée en un nombre 2p de parties égales +, et qu’on ait observé les déviations 34, do, . . .; On : «+ dop, Qui correspondent à des valeurs de 0 égales à

æ, 24, LS næ, da 2PX, on aura une suite d'équations de condition de la forme

à, — A + B sinx + Ccosæ+ D sin2x + Ecos2x > — À + Bsin2x -+ Ccos2x + D sin4x + Ecos4x

n =AÀ + Bsinnx + Ccosnx + D sin2nx + E cos2nx.

Pour appliquer‘ la méthode de Mayer à ces équations, dans lesquelles A, B, C, D, E sont les inconnues, on formera l'équation finale en A en les ajoutant membre à membre : l'équation finale en B se formera en changeant les signes de tous les termes des équations dans lesquelles sinnæ est négatif, et additionnant membre à membre avec l’ensemble des équations dans lesquelles sinnx est positif. On formera d’une manière analogue les équations finales en C, D, E. Il résulte de l'hypothèse que nous avons faite, de valeurs de #x croissant en progression arithmétique, que dans les équations finales relatives à l’une des inconnues, toutes les autres inconnues auront des coefficients nuls.

Pour le faire voir, nous remarquerons qu’en vertu de la formule

connue qui donne la somme de deux cosinus, on a

COS(Mm —1)æ — cos(m +1)æ—=2sinxsinmaæ.

Faisons dans cette formule m successivement égal à 1,2, 3/08 P, (pæ — 180°) nous aurons | |

COSO — c0s2æ —92sinæsinx,

COST — COSÈT — 2sinxsin2æ, |

COS2æ — cos4x —2sinxsin3x,

Es DR ARR RE: + ETC

Cos(p — 3)æ — cos(p —1)x—2sinxsin(p—2)x :

COS (p — 2)x — cospx —2 sinx sin(p —1)æ | COS (p — 1)æ — cos(p +1)æ —2sinx sinpz.

Comme coso — 1 et cospx —— 1, on aura, en additionnant membre à membre toutes ces égalités,

2 + COSæ — cos(p +1)æ— 2 sinxXP sinnx.

D'ailleurs cos(p + 1)æ — — cosx, il vient après réductions | / 1 . 1 + COS æ 2 cos 1x | Z? sinnx = — = coti. ; sin æ 2 siniæcosiæ | -

Pour l’autre moitié de la circonférence la somme est — cotiæ.

La somme algébrique des sinus pour toute la circonférence est done nulle; et si l’on change de signes les sinus de la deuxième moitié et qu’on additionne avec ceux de la première, la somme est 2 cotiæ: Comme à chaque sinus correspond dans la liste un cosinus égal

et de même signe, on a aussi zéro pour la somme de tous les cosinus, et en changeant de signe ceux qui ont le signe — (deuxième et troisième quadrants), la somme numérique est 2 cot+x. Pour avoir les mêmes sommes relatives aux multiples pairs de æ, remarquons que cela revient à prendre, pour raison de la pro- . gression, 2x au lieu de æ; alors la somme des valeurs absolues des « sinus des multiples pairs de x sera 2 cotæ, répété deux fois, de | même que pour le cosinus. l Voyons maintenant ce que sera l'équation finale en A. Son coeffi- | cient 1 étant positif, on n'aura qu’à faire la somme de toutes les | équations, ce qui donnera, 2p étant le nombre des équations, |

() —2pA + BE? sinnx + C2? cosnx + D E?? sin2 nœ + E 2? cos2n@

CHAP. XI. — THÉORIE DES ERREURS D'OBSERVATION. 305 D’après ce qui a été dit, on voit facilement que les coefficients de B, C, D, E s’évanouissent.

Pour former l'équation finale en B, nous conservons telles quelles les équations dans lesquelles sin nx est positif, c’est-à-dire .næ < 180°, et nous changeons les signes de celles où nx appartient aux troisième et quatrième quadrants. On verra alors disparaître À : C, D, E auront aussi des coefficients nuls, et B sera multiplié par 2 cotiæ. On arrive en définitive aux équations toutes résolues

DD IA (ON >B'cotix —(à,) 20 cotix — (6),

4D cotx — (à), 4E cotæ — (à,),

dans lesquelles la signification des symboles (3,), (3) est facile à établir : (3,), par exemple, s'obtient en faisant la somme algébrique de tous les à observés dans les deux premiers quadrants, et y ajoutant la somme algébrique changée de signe des 3 des troisième et quatrième quadrants, etc.

Les équations une fois résolues, afin de se faire une idée nette de la valeur du résultat, on substituera les valeurs trouvées pour les inconnues dans les équations primitives. Dans le cas présent, on trouvera ainsi des valeurs de la déviation qu’on mettra en regard des valeurs observées; la série des différences ou erreurs résiduelles fera voir le plus ou moins d’accord du calcul et de l’observation. Cette comparaison est surtout nécessaire lorsque, comme c’est le cas 11, la formule elle-même demande à être vérifiée. Ainsi, pour des compas compensés au moyen de barreaux aimantés très rapprochés, des observations très exactes mettraient en évidence une périodicité de ces erreurs, d’où l’on pourrait conclure à la nécessité d’ajouter des termes 36 correspondant à une déviation sextantale.

Remarquons à ce propos que la précision des observations courantes de déviation est rarement assez grande pour révéler rien de semblable; les erreurs sur les à (et par suite sur les arguments Q eux-mêmes) dépassent facilement 1° d’are dans les circonstances les plus favorables, et comme les coefficients À et E sont habituellement de cet ordre de grandeur, ils seront généralement déterminés avec de grandes erreurs relatives.

Caspart. — Astronomie, II. 20

172. — Méthode de Legendre ou des moindres carrés. Loi des erreurs.

Afin de faire comprendre comment on a été conduit à substit à la méthode de Mayer celle des moindres carrés, nous allon exposer brièvement les considérations par lesquelles Gauss le cherché à rattacher la théorie des erreurs d'observation au calcu des probabilités.

Admettons qu’on ait un certain nombre de mesures d’une quand tité donnée x, et que chacune de ces mesures soit affectée d'une erreur À. Proposons-nous de chercher la loi de ces erreurs, c’est. à-dire une formule donnant la probabilité d’une erreur de grandeur déterminée. On admet : 4

1° Que la grandeur des erreurs est limitée; la limite dépend de. l'exactitude du système d'observations, mais l'erreur ne peut jamais être infinie. | 2° Que les erreurs positives et négatives sont également pro bables, ou que dans la mesure on peut aussi bien se tromper en" moins qu’en plus, ce qui suppose éliminée loute cause d'erreur systématique. Cette condition, nous l’avons vu, est difficile à rem=" plr; mais nous devons la supposer satisfaite. Elle entraînera cette conséquence, que deux erreurs égales et de signes contraires peuvent se présenter aussi bien l’une que l’autre, que leur probabilité est égale. La fonction est paire.

3° Que la probabilité d’une erreur donnée est une fonction conünue de l'erreur seule ; une erreur quelconque comprise entre les limites admises est possible : la formule qui donne la probabilité | des erreurs doit donc donner cette probabilité pour une erreur quelconque dont on assigne la grandeur entre les limites admises.

M. Bertrand a fait voir que cette hypothèse n’est pas permise, La probabilité d’une erreur n’est pas fonction seulement dans la gran-. deur de cette erreur, mais encore de la grandeur à mesurer. Si l’on mesure une longueur d’un nombre exact de millimètres avec une règle divisée en millimètres, l'erreur à craindre est moindre que si l’on mesure une longueur d’un nombre exact de millimètres, plus.

; millimètre; cette dernière elle-même est moindre que si l’excès

sur le nombre entier est + ou & de millimètre.

4° Que sur une série d'observations chaque erreur se reproduit : un nombre de fois proportionnel à sa probabilité : c’est l’application du théorème de Bernouilli sur les épreuves répétées ; on sait que ce théorème n’est démontré en rigueur que pour un nombre infini d'épreuves.

5° Que la moyenne d’un très grand nombre de mesures d’une quantité est la valeur la plus probable de cette quantité, ce qui suppose encore qu’on n’a affaire qu'à des erreurs accidentelles. Nous avons présenté plus haut la critique sommaire de ce prétendu axiome dont l’évidence est contestable.

Tels sont les principes sur lesquels Gauss s’est appuyé pour sa première démonstration. On peut y ajouter la supposition implicite que les erreurs sont infiniment petites, qui seule permet de négliger leurs puissances supérieures à la première et de mettre les équations de condition sous forme linéaire.

. On comprend après cela que M. Faye ait préféré établir la loi de probabilité par la voie empirique. Mais comme ce mode de démonstration ne vaut que pour les observations mêmes sur lesquelles il se base, son extension par voie d’induction à d’autres mesures ne serait pas suffisamment légitimée. Nous allons donc essayer, en partant de nos hypothèses, de construire la loi de probabilité des erreurs, ce qui aura l’avantage, en indiquant la marche suivie par les premiers inventeurs et constituant un corps de doctrine complet, de rappeler du même coup les restrictions contenues dans les prémisses.

Soient + # les limites des erreurs possibles. Divisons cet intervalle 2 £ en un nombre quelconque de parties égales d'A, d'A étant assez pétit pour que toutes les erreurs comprises entre À et dA soient également probables. Soit (A) la facilité relative d’une de ces erreurs; leur nombre est proportionnel à d'A, et par suite g(A) d'A est la probabilité élémentaire d’une erreur À. La somme de ces probabilités élémentaires prise entre — X et + k est une certitude, c’est-à-dire l’unité, puisqu’elle représente la probabilité totale de toutes les erreurs qui ont dû être effectivement commises, aucune autre erreur n'étant possible. Mais puisqu'il n’y a pas d'erreurs supérieures à Æ en valeur absolue, il est indifférent de conserver les limites Æ k, ou de prendre + ; enfin puisque la constance de g(A) entre À et À + d'A ne peut être supposée qu'à la condition

de prendre dA infiniment petit, nous aurons

[as ARE,

La probabilité d’une de ces erreurs est 9(A) d'A, et d’après les principes du calcul différentiel ZA est constant. |

La probabilité de l’existence simultanée, dans une série donnée de m observations, des erreurs A, A’, ... est une probabilité composée, que nous pouvons écrire

æ — p(A) dA o(A!) d'A g(A") dA, .…. —e(A) o(A!) ..… dr

Nous ferons une nouvelle hypothèse, et nous considérerons M comme évident que les valeurs les plus acceptables d’un sytème de mesures sont celles qui rendent maximum la probabilité que les. erreurs dont ces mesures sont affectées ont été réellement commises; M comme dA?* est constant, c’est le produit g(A) g(A') ... qui doit être maximum, ou, ce qui revient au même, son logarithme

Loge(A) + Loge(A')+ ....

La condition du maximum s'obtient en différentiant et égalant la différentielle à zéro, soit

1 dy(A) TNT CA)

(A) dA g(4) da

D'ailleurs, si la moyenne arithmétique des observations est la valeur la plus probable d’une inconnue, comme alors les différences entre la moyenne et les observations sont les erreurs mêmes, la moyenne de ces erreurs doit être nulle, donc

ANEETA UE EAU)

Ces deux équations définissent séparément la probabilité maximum, elles doivent donc être identiques à un facteur constant près *,

1 d(A). 1 dy(A')

SA) A DT SCAN da ON NOT SMS

et comme les À, A’, A’, ... sont arbitraires et ne sont liés entre

eux par aucune relation, on doit avoir séparément

1 dg(A) g(A) dA Su

d’où, en intégrant,

(a) = Ga

Puisque nous admettons que la probabilité d’une erreur infinie est nulle, Æ doit être négatif; soit — 5 # — h?, alors (A) = Cera

Pour définir la constante GC nous aurons la relation

+ co +0 (1) fé DA) GA EI ou ch eh A JA —1.

” —oo ”—o Or, on sait que , + Lé er dz VE:

© —co

posant donc : — AA, il viendra après substitution

+00 1, ç— A dA — Vr ,

z ; : h ce qui, comparé avec la relation (1), donne C=— —-, et enfin T

(2) a (A) era,

Vr Introduisons maintenant cette expression dans celle de w, on

aura

he 2 1 W

@ — — eh: A°+A 3 An?) (dA y,

T2 et l’on voit que cette fonction sera maximum si À? + A2 + A7? est minimum. Tel est le principe de la méthode des moindres carrés : La valeur la plus probable d’une quantité est celle pour laquelle la somme des carrés des erreurs est un minimum.

Le coefficient À peut servir à mesurer la précision d’un système

d'observations. En effet, la comprise entre = 3 est

h ie u - +48 È | | — ET —E Con dz Vr JL; rJ, |

en posant AA — 3.

probabilité pour qu’une erreur soit

De même pour un autre système d'observations, de précision

différente, la probabilité pour qu’une erreur soit comprise entre | HT est

Si l’on veut exprimer que dans le premier système une erreur à est aussi probable qu’une erreur ÿ dans le second, on égalera ces deux intégrales, ce qui exige l'égalité des limites

RS—RY, d’où h! | SANTA

h étant en raison inverse de la grandeur de l'erreur est donc la mesure de la précision.

Si l’on Suppose maintenant les erreurs rangées par ordre de

grandeur, sans avoir égard aux signes, l’erreur qui occupera le

milieu de la série sera telle qu'il y ait autant de chances pour une erreur plus grande que pour une erreur plus petite; si r est sa valeur, la probabilité totale des erreurs comprises entre — 7 et br sera donc égale à 3 et l’on posera

(3) " eh A JA —

Vr,

cé ms = ÈS")

On trouve en faisant le calcul

.__0,47694 Jr .

Telle est la valeur de l'erreur probable.

L'erreur probable, par la relation qu la fait dépendre de la précision, est propre à représenter la valeur d’un système d’obser-

CHAP. XI. — THÉORIE DES ERREURS D’OBSERVATION. 31t

vations, mais elle ne donne pas une idée exacte de la valeur moyenne des erreurs véritablement commises.

Soit m le nombre des observations, et nr le nombre d'erreurs égales à A. Par définition de la probabilité des erreurs,

2 = (A) dA ou nA—mA(A)dA.

Si nous faisons la somme des valeurs analogues se rapportant à toutes les erreurs, nous aurons ZnA=— mfAoy(A)dA le signe [ pouvant, comme on l’a vu, s'étendre aux limites To , et

1 + O0 5 1 NRA

par suite

est la valeur moyenne arithmétique de A. Cette moyenne représente une erreur constante : elle est nulle quand toutes les erreurs sont accidentelles. Cette intégrale ne peut donc donner une idée de la valeur moyenne absolue des erreurs commises.

On verra de même que

Zn A? RS : = Ato(A)dA — ©

est la moyenne des carrés des erreurs ; on définit l'erreur moyenneM ou erreur à craindre : la racine carrée de la moyenne des carrés des erreurs. Elle donne bien la mesure de la grandeur moyenne des erreurs, car, en supposant le cas particulier où toutes les erreurs seraient égales en valeur absolue, on aurait

na mA

m nt

et la racine carrée serait À.

Soit donc

Substituons la valeur trouvée de g (A) — — e-*, et posons

hRA— 3, on aura ‘4

Me [ess | | 4 RVr dé: ” "

On trouve, en intégrant par parties,

à fate-# ds = /: da — 3e",

et introduisant les limites + % à

et enfin

. PRE An he

Si l’on remplace } par sa valeur en fonction de l'erreur probable, on voit que l'erreur moyenne sera

+ cn | elle est donc environ les 5 de l'erreur probable. L'intégrale me e—AdA indique, comme on l’a vu, la Vr 5

probabilité P que l'erreur est comprise entre + 3: son calcul

numérique se fait en développant en série e— 4 et l’on trouve

353 535 797 ï (5) PE (as RE k +), T 0 .

série dont la loi est évidente.

173. — Équations normales de la méthode des moindres carrés Erreurs des résultats.

Nous avons vu comment on forme les équations de condition linéaires en nombre égal à celui des observations distinctes et supérieur à celui des inconnues. Il s’agit maintenant de combiner ces équations entre elles et d’en tirer un nombre d'équations égal à celui des inconnues, et donnant par suite les valeurs de ces inconnues,

en s'imposant la condition de rendre minimum la somme des carrés des erreurs résiduelles. Les équations ainsi obtenues donneront, d’après ce qui précède, et sous réserve des restrictions faites, le système des valeurs les plus probables de ces quantités. Supposons d’abord que toutes les équations résultent d’observations de même précision. Nous les avons établies sous la forme

ax +bB+cy+... —l—=o,

dans laquelle / est la différence F(x,7,3,...) —F (ae AA entre la quantité observée (premier terme) et le résultat de la substitution, dans la fonction analytique qui représente le résultat de l'observation, des valeurs approchées z’,y",2", . .. des inconnues ; l'est donc un nombre, a, b, c sont des coefficients numériques connus, «, B, y, les corrections de x’, y", z'. Pour simplifier les écritures, ne considérons encore que le cas de trois inconnues. Puisque les équations de condition sont supposées incompatibles, il en résulte que lorsqu'on aura trouvé les valeurs de a, &, y satisfaisant à la condition du minimum d'erreur, la substitution de ces valeurs dans les équations ne donnera pas un premier membre nul; la valeur de ce premier membre sera précisément l'erreur résiduelle A. La somme des carrés de ces erreurs est

Ga mbb-boy Halo bp +cy— ll} +,

Pour la rendre minimum, il faut égaler à zéro les coefficients

de da, d8, dy, dans la différentielle totale

2(ada+bdB+cdy) (aa + bp +cy—Ù) + o(aldu+ b'dp + c'dy)(a'a+ b'B+c'y—t)

ce qui fournira autant d'équations que d'inconnues. Gauss emploie les symboles

[aa] = aa + a'a - ADR RE)

Lab] = ab + ab + ab + ...;

en les introduisant et effectuant les calculs, on voit que. les trois

(*) La notation aa remplaçant a pour plus de symétrie.

équations finales seront

[al +[ab]8 + [ac]y—[al), [able + [bb]8 + [be]y 108), [ac]a+[bc]6 + [cc] R=lett

On les appelle équations normales. La règle s’énonce ainsi : | Pour former l'équation normale relative à l’inconnue #, on multiplie chacune des équations par le coefficient de x dans cette équation pris avec son signe et l’on fait l'équation somme : pour former l’équation normale relative à 6, on multiplie chaque équa-

tion par le coefficient de 8, etc.

Les équations normales se résoudront par les formules algébriques connues.

Si l’on veut se rendre compte du degré de précision obtenu, on remplace 4, 6, y par leurs valeurs dans les équations de condition; les valeurs des premiers membres après cette substitution seront les erreurs résiduelles A des observations; elles permettent de calculer l’erreur moyenne à craindre sur une observation par la formule

PONTS ave ou plutôt .

Den TAB) M — mi

t étant le nombre des inconnues.

On motive cette substitution par ce fait que les A calculés ne sont pas les erreurs elles-mêmes, mais seulement les écarts de la moyenne. On s’en rend bien compte en considérant le cas le plus simple, celui où l’on à autant d'observations que d’inconnues, m = 1. Dans ce système, chaque inconnue a une valeur détérminée et unique qu'on adopte; la différence A entre les résultats trouvés et adoptés est donc nulle, et par suite le degré de précision de l'observation est indéterminé. Or si [AA] est nul, M ne peut être indéterminé que si le dénominateur est nul; c’est ce qui arrive avec la deuxième formule, tandis que la première donnerait M — 0, et conduirait à ce résultat absurde qu'une quantité est d'autant plus exactement déterminée qu'on a fait moins d'observations.

Mais ce n’est pas là ce dont on a besoin pour apprécier l'erreur du résultat; il faut calculer l’erreur à craindre, non sur chaque observation isolée, mais sur le résultat lui-même.

Soit une fonction U de plusieurs quantités observées O, O", O!',..., dont les erreurs moyennes sont respectivement e, e/, el, ...; on démontre que l’erreur moyenne ou l’erreur à craindre sur U est exprimée par

+ CAUSES dU Par dU dns ci 5) + (o) +20) +

On en déduit que l'erreur à craindre sur la moyenne de m me-

sures, dont chacune a pour erreur moyenne e, est égale à

Le, Vm c'est-à-dire que la précision des mesures n’est pas proportionnelle au nombre des observations, mais à la racine carrée de ce nombre. (Application à la méthode de la réitération.)

Nous donnerons aussi, sans démonstration, la règle indiquée par Gauss pour évaluer la précision des résultats déduits de la méthode des moindres carrés.

Ayant trouvé les valeurs +, 6, y déduites des équations normales, on remplace dans chaque équation primitive de condition «, B, y

(és par ces valeurs ; on calcule

aa + bB+cy —l—z, a'a+b'B+c'y—l'—&e", et ainsi de suite. Puis on calcule les carrés e?, #?, ..., et l'erreur moyenne RES + Ej — AR (cas de trois inconnues).

Puis on calcule trois quantités X, Y, 2, en opérant comme suil :

Dans les équations normales, remplaçons les seconds membres par 1, 0, 0, calculons la valeur de « qui résulte de ce système, appelons-la X.

Dans les mêmes équations, remplaçons les seeonds membres par 0, 1, 0, Calculons la valeur de 8, appelons-la Y.

Z se trouvera de même en remplaçant les seconds membres pa

0,0, 1. Les erreurs moyennes des résultats seront : Pour x VX, 4 Pour £ on V?, W Pour y e VZ 1

Le dénominateur commun D a déjà dû être calculé pour la résolution des équations normales: les numérateurs de X, Y, 40 se simplifient notablement.

. La méthode des moindres carrés ne s'applique qu’au cas où les. erreurs suivent bien la loi des erreurs fortuites. Comme on ne connaît pas les erreurs elles-mêmes, on ne saura généralement pas à prior si l'application est permise. On ne saura donc généralement … pas si l’on n’a pas affaire à quelque erreur constante, On peut pourtant essayer de le découvrir par la manière dont se comportent les résidus d’erreurs. En se rappelant que, les erreurs étantrangées par ordre de grandeur absolue, l'erreur probable doit occuper le milieu de la série, on calculera

M — Va el r'=0,07 M:

On écrira les erreurs par ordre de grandeur, et l’on verra si celle du milieu est bien égale à 7.

On peut aller plus loin. En faisant dans la formule (5) à successivement égal à 17, r, 37 -.., On trouve les probabilités des erreurs inférieures à tr, r, .... On construit ainsi la Table

suivante des probabilités.

Sur 1000 observations dont l'erreur probable est r, il y en a

264 dont l'erreur est inférieure à... D “.

5oo : » Fr sf 688 » ir E 823 » on

908 » ir

982 » L LL 1 à

993 dont l'erreur est inférieure à.. hr 998 »

OT no

On s’assurera si les nombres déduits de la liste d’erreurs qu'on aura dressée suivent bien cette loi.

M. Faye a montré que cette loi se vérifie pour certaines observations : il a choisi notamment des déterminations d’ascensions droites du Soleil effectuées par Bradley, et des résultats de ür à la cible. Dans ce dernier cas, on avait l’avantage de connaître directement l'erreur elle-même, au lieu de n’avoir que la valeur la plus probable de la quantité cherchée.

On peutencore appliquer un autre criterium qui revient d’ailleurs

au même. Si l’on calcule l'intégrale 1. Ao(A) dA on obtient la

Lo Z ï moyenne des erreurs posiuives : or, en posant À = he on ramence è

1 ee] f Zzemtdz, hVx :

qui peut être obtenue explicitement (l'intégrale indéfinieestie—*),

cette intégrale à

I ue . .

et la valeur est Fe. — moyenne des À positifs, qui est aussi la 2h VT

même pour les écarts négatifs, et par conséquent la moyenne des

à , I À pris en valeur absolue. Le carré de cette moyenne EEE

hrh°

D'autre part, on a trouvé:

De là la règle : lorsque les écarts d’une série de nombres avec leur moyenne satisfont à la loi de fréquence des erreurs fortuites, le double quotient de la moyenne des carrés des écarts, pris en valeur absolue, par le carré de l’écart moyen est égal à x.

Nous allons montrer par un exemple comment on applique ces règles. Par le transport du temps, aller et retour entre Saïgon, Quinhone et Haïphong, on a obtenu les nombres suivants pour

longitude du lieu d'observation à Quinhone, rapportée à Saïg on :

A l'aller. | Au retour.

834 Bréguet... 10m 85,80 | 834 Bréguet... 1o® 95,16 339 Vissière.. 25,75 | 339 Vissière. 35,82 529 Winnerl . . 65,62 | 529 Winnerl .. 75,37 268 Vissière.., 9°,70 | 253 Vissière. .. 105,57 1049 Dumas... 105,90 51 Winnerl., 95,65 Compteur. 25,00 | 271 Winnerl.. 85,43

Compteur, 135,45

Les discordances qui précèdent sont assez grandes; mais il est à remarquer que les traversées entre Saïgon et Haï-Phong ont . duré : la première, vingt-cinq jours, et la deuxième, vingt-huit jours.

Pour chercher l’erreur probable de la moyenne de ces résultats, on commence par s’assurer que leur série suit bien la loi des erreurs fortuites. Pour cela, on prend la différence en valeur absolue de chaque résultat avec la moyenne qui est de 10" n°, 04e

On obtient ainsi par ordre de grandeur les chiffres suivants :

mise