Éléments de l’ellipsoïde

Si l'équation de l’ellipse méridienne est mise sous la forme

on sait qu’on a les relations suivantes, pour définir l’excentricité e et l’aplatissement 4 de l’ellipsoïde :

CE — I — —; L—= ——;, EC —2u— 0°:

On admet actuellement avec M. Faye que l’aplatissement est

égal à +. Cette valeur est déduite des mesures d’arcs de méridien

et des déterminations de la longueur du pendule à secondes.

Laplace admettait = d’après la théorie de la Lune. On a

adopté + pour la carte de France : cette valeur parait, en effet, convenir plus spécialement à notre pays. Bessel avait calculé =

avec un luxe de décimales qui dissimule mal l'incertitude du résultat.

La valeur que nous admettons a remplacé depuis peu le chiffre 517. La question des dimensions absolues de la Terre est toujours ouverte. À l’origine, le mètre devait être 1 dix-millionième du quart du méridien. Aujourd’hui l’on admet le mètre légal comme

Le: ; ins unité de longueur, et l’on a, avec à — =>,

le quart du méridien a une longueur de 10001965 mètres. Soient maintenant À la colatitude astronomique, }/ la colatitude géocentrique, on à

FN A cotang À — — ne) tan g À = —

d dy 4 LOTIR

68 LIVRE I. — COORDONNÉES VRAIES ET APPARENTES. d’où, avec les valeurs de cotang à et tang NW et de e?,

c} cotang À — % cotangY'; tang À — a tang\'—(1—e?)tang)'- Il est aisé de voir que la différence entre X et N est maximum pour les valeurs voisines de 45° et qu'elle s'élève dans ce cas à 12” environ : elle s'évanouit aux pôles et à l’équateur où le rayon vecteur se confond avec la normale.

Pour trouver le rayon vecteur

on tire de l’équation de l’ellipse

2 dd y?

EE I —— mt I Æ ( +$%) ;

LI —————— — , / | ax? \/1+ cotangÀ cotang \ use

sin À , Re Var cos(X! — À)

es formules qui précèdent exigent l'emploi de logarithmes à Les f | qui p dent gent Î P g

d’où enfin

six ou sept décimales, si l’on veut avoir exactement la colatitude géocentrique. Ce n’est pas précisément la donnée dont on a besoin généralement, mais plutôt la différence X — X qui peut se trouver par un développement en série. On a en effet

tang |’ — tang À Lang (NW — 1) = 2 — ; 1 + tang À tang À

substituant à tang W sa valeur -— tang À, cette expression devient

ce os nt ct

multipliant haut et bas par 2 cos?} et remarquant que

2 COS? À — 1 + CO22 À, 2 sin? À —1— Cc022 À, il vient a ; a? :

(Hs )sinax (Fr) sin2?

lang À) — ë - = — :

Fr OCR I a cos 2 À sue és 1 | cos2 b? b2 b2 b2 ; His a Divisons numérateur et dénominateur Par 37 + 1, et remarquons que, puisque b?

5e = ( ie œ}?, a?

75 1 2 b°? 24—0 5; — —= ;s — A) b? 2—924— 0%” - S I l’expression devient nsin2À (33) tang(\'— À) —

1 —7coSs2)

et peut se développer suivant la formule des parallaxes.

On peut trouver aussi une expression plus commode à calculer pour R, indépendamment de la valeur de son logarithme que nous avons trouvé en traitant des parallaxes.

On élimine pour cela +? entre les équations

et, puisque y — R cos W’, on arrive à

(34) R= 2 (Tr 29/2 cos 1) S1 on néglige æ?, cela revient à

RQ Ur