Autres corrections instrumentales

Le théodolite est destiné à mesurer des azimuts et des distances zénithales. Les erreurs que comporte son installation sont : l'erreur de collimation, l’inclinaison de l’axe vertical, l’inclinaison de l’axe horizontal. Chacune de ces erreurs en produit une sur l’azimut et une sur la distance zénithale; cela fait un total de six corrections à déterminer. On devra commencer par rectifier l'instrument aussi bien que possible et par rendre les erreurs très petites ; alors, par analogie avec le cercle méridien, nous pourrons les calculer séparément et indépendamment les unes des autres, à condition de ne pas appliquer les résultats trouvés aux observations très voisines du zénith, car alors les formules seraient en défaut.

Inclinaison de l’axe vertical. — Nous venons d'étudier la correclion qui en résulte pour la distance zénithale, nous l’avons détachée à dessein de l’ensemble des corrections, parce que c’est de beaucoup la plus importante et celle qu’on ne peut éliminer par

aucune combinaison des observations. Voyons l'erreur occasionnée sur l’azimut par cette inclinaison. Par hypothèse, l’axe optique coïncide avec l’axe géométrique de la lunette, puisque nous calculons chaque correction en supposant les autres nulles. Il décrit donc un plan perpendiculaire à l’axe horizontal de la lunette. Nous considérons l’inclinaison totale de ce plan sur un vertical passant par la lunette horizontale.

Soit À le point visé (fig. 31). Si la lunette décrivait un cercle vertical ZAH, la lecture azimutale se ferait en H. Mais comme elle

décrit un plan AH, tel que l’angle AHZ — y, la lecture se fera en H': la correction est donc l’angle HZH'— «. Le triangle ZAH' nous donne

sin & Sin y

sinAH' sint?

remplaçant sin a et sin y par les arcs

sinAH

D — sin & :

AH! diffère peu de AH, c’est-à-dire de 90° —#, au moins tant que

{ n’est pas du même ordre de grandeur que y et a. Soit donc

AH — 90° — € —:, on aura 4 sin AH’ — cost cose — sin sine,

e étant de même ordre de grandeur que y et a, on négligera son carré, On aura ainsi

COS — esint

RC y (Cite)

el puisque <y est aussi du deuxième ordre, a =HACOUC

L'erreur sur la distance zénithale se compose des deux erreurs Danes :

1° A la non verticalité de l’axe principal ;

2° À ce que les deux axes de rotation ne sont pas perpendiculaires entre eux. ‘

D la: première cause d’erreur est éliminée par la correction déjà étudiée en tant qu’il s’agit de la composante de cette inclinaison parallèle au plan du cercle vertical. La composante perpendiculaire,

combinée avec l’inclinaison de l’axe horizontal de rotation sur le

figure précédente Z ne représentera plus le zénith, mais le pôle de Paxe vertical. Sur la figure 32, nous avons représenté, avant et près retournement la projection horizontale du grand cercle intercepté par la lunette sur la sphère dans son mouvement autour de Vaxe horizontal. On voit que l’arc réellement décrit entre les deux pointés et lu sur le limbe est projeté en AA”; son milieu Z, est la projection orthogonale du point Z sur cet arc AZ, A"; et, en se

reportant à la figure, on a, dans le triangle rectangle ZZ, À,

AN AN cos ZA = cosZ,A cos a.

Puisque cosa ne diffère de l’unité que d'une quantité du

deuxième ordre, on peut écrire

AN AN cos ZA — cosZ,A.

L'arc projeté est donc sensiblement égal à la distance vraie mesurée à partir du zénith instrumental.

Maintenant si l’on projette cette distance sur le vrai vertical, Z devient le zénith et le même raisonnement prouve que l’axe n’est pas altéré, sauf le cas où & est grand, c’est-à-dire € très petit.

L’inchinaison y qui figure dans l’erreur d’azimut est fonction de l'inclinaison z de l’axe vertical sur la verticale, et de l'angle 90 — c! qui fait l'axe horizontal avec l’axe vertical. Pour la déterminer, convenons de prendre pour origine des azimuts la position de l'instrument dans laquelle l'axe de rotation, supposé d’abord défini par l’axe commun des deux tourillons est dans le plan déterminé par le zénith et l’axe vertical. Soit H, le point où cet axe horizontal prolongé du côté du cercle vient couper la sphère céleste. Faisons tourner la lunette d’un angle & autour de l’axe vertical, et soit H la nouvelle position du point H,. Soit P le point où l’axe vertical vient chercher la sphère.

Le côté ZH sera égal à 90° — y et l’on aura dans le triangle PZH

sin y —sin£'cosi— cosi'sin{ cos, Me Fee ou, avec le degré d’approximation convenu, Y=T—icos«.

Nous avons le moyen de déterminer z par le niveau parallèle au cercle vertical, £/ par le niveau à cheval sur l’axe horizontal; si l’on connaît 4, y sera connu.

sin À cost’

Remarquons tout de suite que —— — — 1 au deuxième Sin & cos y \

ordre près; on a donc approximativement AP.

Le procédé le plus simple et le plus élégant pour déterminer les trois quantités &, L’ et « consiste à faire trois nivellements de l'axe horizontal, dans trois positions de la lunette équidistantes de 120°

\ it w \ 7 ? rh

imut; 4 aura les valeurs successives D

CAE % + 120°, wi 120°- à !

On aura alors les trois équations |

{ CRE . r , Ji= i'— É cos 4,

RAS: NES Li Ê— = cos «1 + —, Sin,

Î. iV3

M — d— = cos dy — —, sin Cnn