OR=S
Ainsi :
Le moment magnétique d'un solénoïde est égal au produit de sa surface totale par V intensité du courant qui traverse ses spires.
Ce résultat s'étend au cas d^ine bobine portant un nombre quelconque de couches de fil.
10. Expérience de Biot et Savart. — En 1820, Biot et Savart firent une expérience qui servit à montrer que l'action d'un courant rectiligne indéfini sur le pôle d'un aimant est dirigée perpendiculairement au plan passant par le pôle et par le courant et varie en raison inverse de la distance du pôle au courant. Cette propriété est une conséquence immédiate de ce que nous avons établi (Chap. I, n" lo); aussi présentons-nous ici les expériences de Biot et Savart comme une vérification, mais une vérification très importante, des conséquences que nous avons tirées des expériences de Weber.
Devant un fil conducteur CC {fig» 45) rectiligne, vertical et de grande hauteur, était placé un barreau aimanté AB extrêmement court, suspendu par un fil de cocon de façon à pouvoir tourner dans un plan horizontal. Pour le garantir des mouvements de
l'air, cet aimant était placé dans un tube de verre T ainsi que le (il de suspension. En disposant un puissant aimant fixe à une dislance convenable de Taimant mobile, on annulait autour de lui l'aclion du magnétisme terrestre; on en était assuré quand les
I > : iÇ
TST£
oscillations du barreau devenaient infiniment lentes, ce qui indiquait que les composantes du couple magnétique agissant sur ces pôles étaient devenues infiniment faibles.
L^expérience étant ainsi disposée, on faisait passer un courant dans le (Il CC Aussitôt on voyait osciller le barreau aimauté autour d'une position moyenne perpendiculaire au plan P passant par le centre du barreau et par le fil. Ceci montre que, conforméinenl à ce que nous avons vu, le champ produit par le courant est perpendiculaire au plan P.
On reconnut que les oscillations de petite amplitude étaient isochrones, c'est-à-dire que leur durée était indépendante de l'amplitude. 11 faut en conclure que, dans les limites très reslreiules où se mouvaient les pôles de Taimant, les forces maj^oétiques agissant sur ceux-ci étaient constantes en grandeur et direction.
Appelons 3C l'intensité du champ magnétique créé par le courant, 01^ le moment magnétique du barreau mobile, et a l'angle
dont sa ligne des pôles s'écarte à un instant donné de sa position d'équilibre. A cet instant, le moment du couple des forces magnétiques agissant sur les pôles est dlLJCsina (n® 9), ou, comme zest un angle très petit, dTL3€a. Dès lors, la Mécanique fournit pour la durée t d'une oscillation de ce pendule, en désignant par J le moment d'inertie du barreau autour de l'axe vertical constitué par le fil de suspension, la relation
La durée d'oscillation / était déduite très exactement de la mesure de la durée d'un grand nombre d'oscillations. Or, en plaçant le fil ce à des distances différenles a, a', a", ... de l'aimant mobile, on trouva que les durées d'oscillation /, /', /^, ... satisfaisaient à la relation
(^^ It ~ l'i ~ l'I
ce qui, en vertu de (i), donne, pour les intensités des champs magnétiques correspondant, autour de l'aimant JC, CÏC', JC'^, . . .,
L'intensité du champ produit par le courant rectiligne varie e«3 raison inverse de la distance : c'est bien la relation indiquée plim5 liaut(Chap. I, n° 15) pour un courant rectiligne indéfini : le courant de longueur finie, mais considérable vis-à-vis de sa distance ^ à l'aimant, dans l'expérience de Biol et Savart, produit le roêm^ efict approximativement.
On doit aussi à Biot une modification intéressante de l'expérience précédente. Un fil conducteur D'DD"' {fig- 46) fut pli^ en D de façon à former un angle dans un plan vertical ; la bissectrice de cet angle OD était horizontale et rencontrait le centre de l'aimant mobile AB. Un fil vertical rectiligne CC passait à une distance négligeable du sommet D de l'angle. En comparant les durées d'oscillation t et /' quand un courant de même intensité traversait successivement les fils D'DD"etCG', on trouva qu'elles
satisfaisaient à la relalion
—r = tang — »
en désignant par o> la moitié ODD' de Tangle formé par les deux côtés du courant angulaire. D'après la relation (i), on en peut déduire que les intensités des champs correspondants X et JQl satisfont à la relation
Nous allons voir que c'est bien là la relation que l'on peut déduire de la formule établie plus haut (Chap. I, n° 14) pour donner
Fig. 46.
Fig. 47.
la force qui agit sur un élément de courant placé dans un champ "magnétique.
Supposons, en effet, un point magnétique M {fig- 47) contenant une quantité q de magnétisme, placé sur le prolongement ^c la bissectrice OD du courant angulaire D'DD'' à une distance MD = a, et cherchons la force que produit M sur ce courant d'in- ^Dsité i. Pour cela, cherchons d'abord l'action de M sur un éléffleni de courant AB situé à une distance MA= /• et de longueur rf/, en appelant / la distance DA. Comme le champ produit par M
en AB a pour intensité ^ et est dirigé suivant MA, la force qui
agit sur l^élément AB est perpendiculaire au plan MAB (plan de la figure) et a pour intensité df^ en désignant par a l'angle MAD,
^/=2ii!^^ (.).
Si du point A nous abaissons la perpendiculaire AP sur MB, et si si nous désignons parO Tangle DMA, nous avons, en négligeai les infiniment petits d'ordre supérieur,
(7) AP = û?/ sin a = /• rfO.
D'où, en remplaçant dans (6), il vient
Mais le triangle MAD fournit la relation
hincu sin a
et
d'où
(lo)
0 = w — a, d'où dSS
a sinco sinx
ce qui donne, en substituant,
ni)
a sinco
sin a di.
Comme toutes les forces agissant sur les divers éléments deDD' sont parallèles, pour avoir leur résultante il suffit de faire leur somme, c'est-à-dire d'intégrer l'expression précédente entre la valeur co que prend l'angle a quand le point A part du point D à la valeur nulle que prend a quand le point A s'éloigne à l'infini. D'ailleurs, l'action sur la branche D"D étant la même que sur h branche D'D, il suffira de doubler le résultat précédent pour avoir la force totale y produite par le point magnétique M sur le courant angulaire indéfini D'DD"; on obtient ainsi
>) / = 1 — . / — sin a ûfa = -' : = — i- tanff —
(f siii w / a sinuj a ° a
(') Sous celle foriiie, la rcialioii a élé déduile par Laplacc précisémeot de ccf oxpcrienccs de Biol el Savarl; aussi l*appelle-t-oii formule de Laplctc€*
En vertu de l'égalité entre ractioo et la réaction, le courant angulaire lyDD" doit produire sur le point M une force de même inlensité que la précédente et, comme elle, perpendiculaire au planMDD' (*). L'intensité X du champ produit en M par le courant angulaire est donc donnée par
(i3 X = ^ = -tang- («),
el, par conséquent, le rapport des intensités X et ^JC' des champs donnés en M parle courant angulaire D'DD" et le courant recti-
ligne vertical passant par D et ayant même intensité on peut
lirer3C'de la relation (i3) en faisant (o = -> d'où tang - = i est bien donné par
^. = tang-.
comme on le déduit de l'expérience de Biot.
C'est pour établir l'exactitude du terme sina dans la formule de Laplace [formule (6)], quand le point magnétique agit dans une aireclion oblique à l'élément de courant, que Biot a fait l'expénence que nous venons de décrire.
H. Flux de forces. — Supposons une surface SS {Jig' 48) quelconque menée dans un champ magnétique et considérons un
(') Celte démonslratioo est due à Savary, contemporain de Biot et de Savart.
(^) U résultante des actions du point magnétique M sur le courant angulaire
*soo point d'application sur la bissectrice DO et à l'intérieur de l'angle D'DD*.
Miisce circuit est oécessairemcnt fermé par un conducteur G, que nous pouvons
apposer avoir tous ses points à une distance infinie de M. L'action de ce point
DMgnéliqae sur le conducteur G, traversé par le même courant que D'DD", est
uoe force infiniment petite, mais dont le moment par rapport à un axe quel-
cooqae passant par M est égal et de sens contraire au moment de la force exercée
Jor D'D D*j comme on peut le démontrer. Il en résulte que la force exercée sur
tout le circuit fermé par M a bien pour valeur celle que nous avons indiquée
ri-dessus (—^ tang - )» mais que le point d'application de celte force est le \ a 2 /
oiol M, puisque son moment est nul par rapport à tout axe passant par ce
fini.
Il en est de même de l'action de ce circuit fermé sur le point magnétique M,
nifue cela doit être.
contour, de périmètre infiniment petit, découpant sur celte surface un élément que nous désignerons par A, d'aire égale à eb. Traçons en A la direction du champ magnétique ainsi que la nor-
male à la surface, ou plutôt la partie de celte normale AN que nous conviendrons de prendre comme partie positive; soient % rintensilé du champ et a Tangle de celui-ci (direction et sens) avec la partie positive de la normale. On appelle flux de forcti à travers Téiément A l'expression
rfa> = JC cosa ds.
De celte formule on déduit les dimensions [o] d'un flux de forces, en remarquant que cosa est sans dimension, ce qui donne
[?] = [^] [L? = [L]"^ [MFfT]-« [L]« = [L]« [Ml« fT]-» = [L] [Fp,
On peut remarquer que ces dimensions sont les mêmes que celles d'une quantité de magnétisme.
Il nous reste à faire deux observations à propos de la définition du flux de forces.
Dans la formule c/cp =: CfC cosa ds^ le second membre se compose de trois facteurs dont deux, 5C et ds^ sont positifs et dont le Iroiième, cosa, peut eHrc positif ou négatif, suivant que Tangleaesl io^u ou obtus; d'^ peut donc avoir l'un ou l'autre signe, d'aprts la grandeur de raiigle a. En particulier, le flux de forces est nul lorsque l'angle a est égal à 90", ce qui a lieu lorsque le champ est tan'^^ent à réiomcnl de surface.
Faisons ensuite remarquer que le signe du flux de forces dépend de la partie de la normale qui est considérée comme positive. Reprenons la figure /jH, (|ni nous a servi tout è l'heure à déle^
miner l'angle a, mais prenons comme normale la partie AN' qui est dans le prolongement de AN. Soit t! Tangie du sens du champ avec la partie positive de la normale; on a, pour le flux de forces correspondant,
(%) rf®' = JC cos a' rf5 = — Xcosac/5= — d^.
Ainsi, en changeant le sens de la normale, on voit qu'on change aussi le signe du flux de forces.
On appelle flux de forces total, ou simplement flux de forces, à travers une surface de dimensions finies, la somme des Daxde forces à travers tous les éléments en lesquels ou peut décomposer la surface d'étendue finie, en prenant partout la normale tournée d*un même côté par continuité. Le flux de forces a donc poar expression
13) cp=y
5C ces a ds.
Il est facile de voir que le flux de forces à travers une surface est la somme des flux de forces à travers la même surface que produiraient les divers systèmes (aimants ou courants) qui donnent naissance au champ, si chacun existait seul.
Considérons, en eflet, un élément de surface A, et soit ^i, CfC2, •^j, . . . les intensités des champs que produiraient en A les divers systèmes qui fournissent le champ total si chacun existait seul, €lai,a2, ^3j •••? les angles que forment ces champs avec la normale AN à l'élément A; le champ résultant d'intensité JC et d'angle a s'obtient en composant les champs précédents comme on compose des forces, puisque la valeur d'un champ est égale I Ja force qu'il produit en agissant sur Tunité de magnétisme lOrd placé au point considéré. Par conséquent, la projection sur i normale AN du champ résultant est égale à la somme des rojections des champs composants
^ ces a = 3Ci C05 aj -4- JC2 ces %î 4- ^€3 ces 23 ~ ... ;
multipliant les deux membres de cette relation par ds^ on •lient
JCcosad!5 = 5Ci ces ai ds -— 5Cj ces a» c/* -^ JCs cosa3 ds -^, . .,
V^VS\^v>
lOO
c'est-à-dire
en désignaDt par rfcp, rf'^i, rf'^a, rfcpj, ... les flux de forces à Iravers rélément  produit par le champ résultant et chacun des champs composants. En faisant la somme membre à membre des égalités précédentes écrites pour tous les éléments en laquelle on peut décomposer la surface donnée, il vient
(5) ç = Oi-f-o,-i-ç)j + ...,
ce qui est la démonstration du théorème énoncé.
12. Théorème de Oauss. — La notion de flux de forces, inlroduite dans la Science par Gauss, trouve une application immédiate dans le théorème qui suit et dont la démonstration est due au même savant :
Si l'on considère, dans un champ magnétique, une surface fermée quelconque, le flux de forces total à traders cette surface, en prenant la direction positive *de la normale dirigée vers l'extérieur, est égal à la somme algébrique Q des quantités de magnétisme contenues à ^intérieur de la .surface, multipliée par le facteur ^t..
C'est-à-dire qu'on a
Supposons d'abord que le champ soit produit par un seul point magnétique A possédant une quantité q de magnétisme que nous
Fig. 5o.
supposerons, en premier lieu, être du magnétisme nord. Prenons ce point comme sommet d'un cône d'angle solide infiniment
petit rfto. Celui-ci rencontre la surface fermée S un nombre pair de fois (o, 2, 4 fois, fig, 49) si le point A est extérieur à la surface S, et un nombre impair de fois(i, 3 Î6\%^fig. 5c^) si le point A «st à l'intérieur de la surface fermée S. Soit B {^fig- 5i) l'un des éléments de surface découpés par ce cône dans la surface S, et ds son étendue; le champ en B, dirigé suivant la droite AB, dans le sens de A vers B, fait un angle a avec la partie positive de la nor-
male et a pour intensité -^y en appelant r la distance AB; il en résulte pour le flux de forces d^ à travers l'élément B l'expression
(i) <fcp = -^cosac/*.
Soit d^ l'étendue de la section droite du cône C passant par B; on a, en appelant e/o) Tangle solide de ce cône,
(a) c/j = /•* c/to,
et, d'autre part,
(3) c/ar ==h cosa c/5,
le signe — devant se prendre si l'angle a est obtus, c'est-à-dire si la partie positive de la normale est tournée du côté du point A, le signe 4- dans le cas inverse. De (a) et (3) on tire
,,. , , COSOLds
(4) ^CO=zfc ^;^— ,
et, par conséquent,
(5) do =-'z g dtti.
Avec la convention que nous avons faite de prendre la partie positive de la normale tournée vers l'extérieur de la surface fermée S, on voit qu'on doit prendre dans la formule (3) le
lOa CHAPITRE II.
signe — ou le signe -f-? suivant que le cône entre dans la surface ou en sort. Si le point A est à l'extérieur de la surface fermée S (^fig* 49)? con^me le cône sort autant de fois qu'il entre, la somme des flux de forces pour tous les éléments découpés par uo même cône dans la surface S est égale à une ou plusieurs fois
c'est-à-dire est identiquement nulle. Si, au contraire, A esta Fintérieur de la surface fermée S (^fig- 5o), le cône sortira de la su^ face une fois de plus qu'il j est entré et la somme des flux de forces à travers tous les éléments découpés par un même cône est égale à -f- gr rfo).
Or, on peut décomposer toute la surface de S en éléments, ao mojen de cônes infiniment déliés ayant A pour sommet. Le flax de forces total à travers S est alors la somme des flux corres|>ondant aux éléments contenus à l'intérieur de tous ces cônes. Od voit ainsi que : i** quand le point A est extérieur à la surface S, le flux de forces total à travers cette surface est nul; 2" quand le point A est intérieur à la surface S, le flux de forces total est égal à Hqdiù = q^dto = 7.4 "^j car S rfw représente la surface totale de la sphère U de rayon unité {/ig» 5o). On a donc
(6) f=ir.q.
Cette relation reste exacte si le point A, au lieu de contenir do magnétisme nord, renferme du magnétisme sud. En effet, pour une quantité de magnétisme sud égale en valeur absolue à la quantité de magnétisme nord supposée tout d'abord en A, chacun des flux de forces à travers les éléments de S a même valeur absolue que précédemment et est de signe contraire; il en est donc de même du flux de forces total. Les deux membres de la relation (6) sont alors changés de signes en conservant la même valeur absolue et, par conséquent, sont encore égaux.
Si maintenant, au lieu d'un seul point A chargé de magnétisme, le champ est constitué par un nombre quelconque de points dont les uns, A|, A2, A3, ..., renfermant des quantités ^i, <jr2> ^Ji ••• de magnétisme sont à l'intérieur de la surface fermée S, et les autres. A',, A!,, A3, ..., sont à l'extérieur de cette surface, en vertu du théorème précédent le flux de forces total à travers S est
la somme des flux de forces données séparément par A|, A2,
Aj, ..., et A',, Aj, A3, Or, chacun de ces derniers points
donne un flux de forces nul. II reste donc à faire' la somme des flai de forces dus aux premiers points, qui est
en appelant Q la somme algébrique (^i + 5^2 + 73 ■+"• • •) des quantités de magnétisme contenues à rinlérieur de S et cp le flux de forces total à travers cette surface, on a donc
(7) • 9 = 47rQ.
Celte relation s'applique encore quand le champ est constitué en totalité ou en partie par des courants linéaires. Pour le montrer, remplaçons, en effet, ceux-ci par les feuillets équivalents, afin de rentrer dans le cas précédent. Supposons d'abord un courant qui ne coupe pas la surface fermée S. On peut toujours choisir alors un feuillet équivalent ne coupant pas la surface S; soit que celle-ci le laisse à l'extérieur ou le comprenne à son intérieur dans les deux cas, la somme algébrique des quantités de magnétisme contenue à Tinlérieur de S ne varie pas en remplaçant le courant parle feuillet. Supposons, en second lieu, que le courant coupe la surface S. Le feuillet étant infiniment mince, on introduit encore, par la substitution du feuillet au courant, une somme algébrique de magnétisme nulle à l'intérieur de la surface fermée S. D'autre part, on peut toujours choisir un feuillet qui ne comprenne à son intérieur qu'une portion infiniment mince delà surface S. Pour celte portion, comme on le sait, le champ nesl plus le même que celui que donnait le courant; mais comme le flux de forces qui en résulte dans les deux cas (courant ou feuillet) est infiniment petit, la surface étant infiniment petite cl le champ fini dans les deux cas, il n'y a aucune modification pour les deux termes de la relation '^ = 4'ï^Q P^'r la substitution dû courant au feuillet.
Ainsi donc cette relation de Gauss est générale et Q ne comprend que le magnétisme des aimants, sans qu'on ail besoin d'introduire dans ce terme celui des feuillets équivalents aux courants linéaires.
On voit, par la relation de Gauss, que cp et Q doivent aTOÎr les mêmes dimensions, comme nous l'avons constaté plus hanL
13. Tube de forces. — La notion de tubes de forces, qnî nous a été si ulite en Électrostatique, joue un rôle non moins important en Magnétisme. Quoique les définitions et tes propriétés des tubes de forces pour le champ magnétique 5oi«K calquées sur celles que nous avons vues en Electrostatique, nons allons les rappeler ici.
Considérons, dans un champ magnétique, un contour fensé quelconque par tous les points duquel .nous menons les lignes de forces du champ. L'ensemble de ces lignes constitue une surface, ayant )a forme d'im canal, qui porte le nom de tube de forces.
Ce qui fait l'importance des tubes de forces, c'est que le flui de forces, à travers une portion quelconque des parois de ces tubesest toujours nul. Soit, eu efTel, un élément de surface A {fg.5i]
Fi g. 5:
pris sur un tube de forces; la ligne de forces correspondante est tangente à l'élémenl, en sorte que la normale à l'élément est perpendiculaire à la ligne île forces, c'est-à-dire à la direction du champ. Il en résulte que dans la formule ds ^Xcoszds il faut faire a = go", ce qui donne ds ^ o. Le flux de forces étant nulà travers n'importe quel élément, pris sur le tube de forces, le flus de forces total à travers toute la surface du tube est nul aussi.
On voit alors l'ulilitc que présentent ces tubes : on a constamment à appliquer le théorème de Gauss à une surface fermée.
io5
constituée parles parois d'an tube de forces, celui-ci étant limité par deux surfaces quelconques A et B; le flux de forces total à travers cette surface fermée se réduit simplement à la somme des flux à Iravers les deux bases A et B, puisque le flux de forces est nul à travers les parois du tube, comme nous venons de le montrer.
Le problème est encore plus simple quand on considère un tube de forces de section infiniment petite. Soit, en eflet, un tel tube dont les bases A et B sont infinimeut petites; à travers Tune d'elles, la base A par exemple, de surface ds^ le flux est
^cp =T= 3C cosaé/5;
jj n'j a pas besoin d'eff^ectuer d'intégration.
D'ailleurs, pour toutes les sections d'un tube de forces, de section infiniment petite, passant par un même point, le flux de forces 1 la même valeur, pourvu que la partie positive de la normale soit ournée dans le même sens par continuité. Soit, en eflel, une secion quelconque S {fig» 53) d'un tube de forces, de surface dss
Fi g. 53.
issant par un point A situé à l'intérieur du tube; soit a l'angle I champ avec la normale AN, et JC son intensité; on a
c/o = ^ cosa ds,
melons ds' l'aire de la section droite S du tube en A ; on a
ds' = zb t/^cosa.
S' est Ja projection de S sur le plan de la section droite, a étant
106 CHAPITRB II.
Tangle des deux normales, les signes -h et — devanl être prissaivant que a est aigu ou oblus. En remplaçant dscosa. par cette valeur dans l'expression de rf«, il vient
ûf;p = ± JC ds\
expression indépendante de Tangle a.
Les définilions et les théorèmes qui précèdent servent d'introduction à l'importante question de l'aimantation, que nous allons traiter maintenant d'une façon générale.
14. Magnétisme et diamagnétisme. — Nous avons déjà parlé du fer et de ses composés comme susceptibles de s'aimanter, mais Taimantalion est un phénomène absolument général : tous les rorps sont capables de s'aimanter lorsqu'on les place dans un champ magnéti(|ue. Seulement, la grande majorité des substances s'aimantent d'une façon très faible, en comparaison du fer, et, pour constater leur aimantation, il faut faire usage de champs magnétiques excessivement intenses. On emploie, à cet efTet, le plus souvent, le champ qui est compris entre les pièces polaires d'un électro-aimant.
Signalons immédiatement deux grandes catégories de corps :
Un certain nombre de corps s'aimantent, quoique bien plus faiblement, dans le même sens que le fer, c'est-à-dire qu'en allant (lu pôle sud au pôle nord créés par l'aimantation on marche dans le sens du champ. Ces corps sont appelés corps magnétiques.
Les autres s'aimantent d'une façon inverse, c'est-à-dire qu'en allant du pôle sud au pôle nord créés par l'aimantation on marche en sens inverse du champ. On les appelle corps diamagnétiques.
Ainsi, répétons l'expérience suivante, faite par le physicien anglais Tyndall vers i855 et qui, du reste, avait déjà été faite antérieurement, sous une forme à |)cu près semblable, par Pog- {^endorffct Plucker. Plaçons dans Taxe horizontal d'une bobine un long barreau de bismuth, suspendu de façon à pouvoir tourner dans un plan horizontal; disposons deux électro-aimants en fera cheval, de façon que les extrémités du barreau de bismuth soient situées chacune entre les pièces polaires de l'un des électroaimants dont les effets s'ajouteront pour faire dévier le barreau,
si celui-ci est aimanté longitudinalement. Or, dès qu^on produit cet efiel, en lançant un courant dans la bobine, on voit le barreau dëvier dans le sens qui indique qu'il possède son pôle nord à la droite du courant qui produit son aimantation, et non à la gauche, comme cela aurait lieu pour un barreau de fer : le bismuth est diamagnétique.
Quand on suspend un corps de forme allongée, un barreau par exemple, entre les pièces polaires d'un électro-aimant, on le voit s'orienter : s'il est magnétique, sa plus grande dimension se met suivant la ligne des pôles de Télectro-aimant, tandis que s'il est diamagnétique, la plus grande dimension se place perpendiculairement à cette ligne des pôles. Nous verrons plus loin la cause eiacle de ce phénomène qui permet de distinguer très facilement si un corps est magnétique ou diamagnétique. C'est ainsi qu'en plaçant un barreau de platine entre les pièces polaires d'un électroaimant, on voit l'axe du barreau se disposer dans le sens du champ, c'est-à-dire dans le prolongement des pièces polaires; le platine est un corps magnétique. Si, au lieu du platine, on met un barreau de bismuth, celui-ci s'oriente perpendiculairement au champ : le bismuth est un corps diamagnétique.
C'est par ce phénomène que Faraday a découvert, vers i845, I existence des corps diamagnétiques (*).
Ajoutons qu'il n'existe, au point de vue magnétique, que les deux catégories signalées plus haut.
Pour tous les corps diamagnétiques ou très faiblement magnéliques, l'aimantation cesse en même temps que finit d'agir le champ qui l'a provoquée, c'est-à-dire qu'ils ne possèdent pas de "magnétisme résiduel, ou magnétisme rigide; ils se comportent donc, à cet égard, comme le fer parfaitement doux, et n'ont que ^u magnétisme induit,
lo. Champ à l'intérieur d'un aimant. — Pour pouvoir étudier et même concevoir l'existence d'un champ magnétique, il faut
(') Brugmans, dès 1778, avait déjà constaté que le bismuth est repoussé par "n aimaol. Lebaillif, vers 1827, avait confirmé cette propriété et avait montré que quelques autres corps, en particulier i'anliuioine, sont aussi repoussés par
«iinant.
lo8 CHAPITRE II.
placer à l'endroit considéré un point magnétique libre de se mouvoir. On n'en voit pas la possibilité à l'intérieur d*un corps solide, un aimant d'acier par exemple. Il faudrait, pour cela, creuser une cavité dans l'aimant ; mais les surfaces de la cavité se recouvriraient d'une couche de magnétisme n'existant pas auparavant(expérience de Taimant brisé), ce qui fait que le champ que pourrait mettre en évidence un point magnétique placé dans la cavité ne pourrait pas être pris pour le champ dans l'intérieur de l'aimant intact. On peut pourtant surmonter cette difficulté en choisissant une cavilé de forme convenable. Prenons, par exemple, celle-ci sous la forme d'un disque circulaire infiniment aplati. Soit O un point de la substance par lequel nous ferons passer le centre de l'une des bases P du disque. Si l'on considère les différentes orientations que peut prendre le plan P autour de O, on en trouvera pour lesquelles on a, sur la surface de la cavité en P, du magnétisme nord, et d'autres pour lesquelles on a, en P, du magnétisme sud. On conçoit qu'il existe des directions intermédiaires pour lesquelles il n'y a ni magnétisme nord ni magnétisme sud sur la paroi de la cavité passant par P; il n'y en a pas alors, pour la même raison, sur la paroi plane opposée, et il ne peut y avoir de magnétisme que sur le pourtour cylindrique de la cavité de hauteur înGniment petite par rapport au rayon du disque. Si donc nous plaçons un point magnétique au milieu de la cavité, l'action de celte couche magnétique cylindrique infiniment mince sera infiniment faible : c'est pourquoi Ton prend comme définition du champ (intensité, direction, sens) dans le corps solide le champ qu'on aurait au contre d'une cavité ainsi définie. 11 est bien clair, du reste, que, pour un corps fluide, le champ ainsi défini se confond avec celui qu'on peut alors observer directement.
16. Aimantation. — Considérons un corps homogène, que nous supposerons d*abord être incapable de posséder du magnétisme rigide (fer doux, bismuth, etc.), s'élendant indéfiniment, situé dans un champ magnétique uniforme dont les lignes de forces sont, par exemple, horizontales. Avec ces conditions de symétrie parfaite, il ne peut exister ni magnétisme nord ni magnétisme sud à l'intérieur de ce corps.
Pour mettre en évidence son aimantation, faisons une fente per-
pendiculaire à la direction du cliamp, c'est-à-dire menons deux plaos verticaux parallèles A.V et BW infiniment voisins, sépares par une distance e, puis enlevons toute la matière comprise entre eux pour n';y laisser que le vide absolu. Si le corps est magnétique, il apparaît sur la face par où le cliamp sort, c'est-à-dtre sarA-V, en supposantlechamp dirigé de gauche à droite (yi^. 54),
Fif. 54.
une couche de magnétisme nord, de densité -|- t^, uniformément repartie par raison de symétrie, et sur l'autre face BB' une couche uoiforme aussi de magnétisme sud, de densité — ?„. Si la substance était diamagné tique, le phénomène serait analogue; seulement, c'est sur la face AA', c'est-à-dire la face par laquelle le champ sort, qu'apparaîtrait le magnétisme sud, taudis que sur BB' apparaîtrait du magnétisme nord. Pour comprendre ces deux cas en an seul, nous envisagerons la densité c„ de la face AA' par où te champ sort du corps comme une quantité positive, si celui-ci est magnétique, et comme une quantité négative s'il est diamagnélique.
Par raison de symétrie, la cavité ainsi pratiquée n'empêche pas les lignes de forces de rester des droites horizontales dans le corps et dans la cavité. D'autre part, l'ensemble des deux surfaces magnétiques uniformes, planes et de dimensions infinies, AA' et BB', donnent un champ nul en tout point extérieur à celles-ci (Chap, I, n'âo); par conséquent, le champ dans le corps reste le même
avant la formation de h Considérons maintenant un tube de fore
:vlindre
IIO CHAPITBB II.
horizontal, traversant la face AA', de section droite infinimeol petite 5, limité d'une part au mo}^en d'un plan vertical CC passtnt par un point quelconque C, choisiàrintérieur de la fenle AA'BV, et, d'autre part, au moyen d'un plan vertical DD', situé à Tinlérieur du corps. Appliquons à ce tube cylindrique le théorème de Gauss. Désignons par Q la quantité de magnétisme répartie sur la partie de la face AA' comprise dans le tube de forces, c'està-dire sur une surface d'étendue 5; on a
Pour avoir le flux de forces à travers le tube de forces cylindrique, il suffit de faire la somme des flux à travers les surfaces de base ce et DD'. Soit JZ l'intensité du champ à l'intérieur du corps; le flux, à travers DD', est égal simplement à — 505, car l'angle a est égal ici à 180^ en prenant la normale dirigée à l'extérieur, et a pour cosinus — 1. Soit de même ill) l'intensité du champ en C; le flux à travers CC est égal à Tli)5, car ici cosa= i. On a donc, d'après le théorème de Gauss,
ou, en remplaçant Q par s<Tq et supprimant le facteur commune,
n) i)i> = 3C -t-47:jo.
On voit par cette expression que Tintensité du champ est la même en tous les points de la cavité : le champ y est uniforme.
Le résultat précédent peut s'interpréter facilement : 5C est Tinlensilé du champ dans le corps; 4'^^o est l'intensité du champ que produiraient, si elles existaient seules, les surfaces magnétiques AA' et BB' en un point C, compris entre elles deux(Chap.li n"i2o;; le champ d'intensité i»l> existant à l'intérieur de la caviU' AA'BB' est la résultante de ces deux champs.
Supposons maintenant qu'on fasse dans le corps une fente limitée par deux plans A A et BB, parallèles aux lignes de forces du champ uniforme. Il est impossible ipiil y ail du magnétisme sur les faces AA et BB rendues lil)res, car s'il existait du magnétisme nord par exemple sur la face A A, il se produirait du magnétisme
ud sur lu face BB, ce qui ne peut avoir lieu k cause de la symélritle ces deux plans par rapport aux lignes de forces. Ce que nous '«nons de dire s'applique évidemment aussi au cas d'une fente :jriindrique, c'est-à-dire d'une fente comprise entre les surfaces de leux cylindres semblables, dont l'axe est parallèle à la direction lu champ.
Considérons un tube de forces cylindrique, mené dans le corps tournis au champ uniforme {/ig- 5n). Divisons ce cylindre en un ::erlaio nombre de tronçons au moyen de sections droites, faites
deux par deux dans celui-ci, cliaquc groupe de deux sections constituant une fente infiniment étroite. Enlevons la maliOre de chacune de ces fentes pour n'y laisser que le vide; il apparaît alors du magnétisme sur les faces extrêmes des tronçons cylindriques, dont la densité est, pour les extrémités en regard, successivement H- 0-» et -- »o. Kapproclions maintenant les divers tronçons les uns des autres, de façon à faire disparaître les faces nord et sud précédemment créées; elles se neutralisent mutuellement, en sorte qu'il n'existe plus de magnétisme libre à l'inlérleur du tube cylindrique. Mais chaque tronçon, limité par la pensée ii une face nord et à une face sud, est un aimant complet. Considérons un des ces aimants; son moment magnétique est
(1) OU =*3tt/ = 0„l',
I étant la section droite du tronçon de longueur l et c le volume du tronçon cylindrique.
On ap])ellc intensité d'aimantation le quotient du moment magnétique^ d'uu de ces aimants cylindriques par son volume c.
11*2 CUAPITRE II.
Nous désignerons par 5 celle grandeur :
On voil, diaprés la relation (2), que riniensîlé d'aimanlalioB esl égale à la densité magnéliquc <io sur une face libre normale aux lignes de forces du champ uniforme :
(4) A = <io.
En remplaçant Tq par 5, la relation (i) peut s'écrire
Ajoutons que Tintensité d'aimantation 3 est une quantité égale à (7o) ^on seulement en grandeur, mais aussi en signe : d est donc positif pour les corps magnétiques et négatif pour les corps diamagnétiques.
Les dimensions de A sont, naturellement, les mêmes que celle d'une densité magnétique :
[-■»] = [Ll-'[F]l^[LrMM]ï[TJ-T
on voit que ce sont aussi celles de l'intensité d'un champ magnétique, ce qui doit être, d'après la relation (5).
Imaginons maintenant un cvlindre mené dans le corps soumis au champ iinifotnie dont les génératrices sont parallèles aui lignes de forces comme ci-dessus, terminé du côté où entre le champ par une section droite, mais de l'autre par une section oblique; supposons d'ailleurs ce tronçon cylindrique limité à ces sections par deux (entes, vides de toute matière. Sur la section droite apparaît une couche magnétique de densité — ^0 = — •5- Soit 0- la densité magnétique de la section oblique, de surfaces. Oïl a, entre s' et la surface s de la section droite, la relation
- i -- cosa.
en désignant par a l'angle aigu du champ dans Tintérieur du corps avec la normale à la surface oblique. La quantité de magnétisme, répartie sur la section droite, esl — ^S] celle qui est répartie sur la section oblicjuc esl (ts', La somme de ces deux quantités est nulle car la somme algébri(pie des quantités de magnétisme
J.ans un aimant est toujours nulle. On a donc :
— ^s-h <is' = o,
d'où
(6) <i=5-=5cosa.
En prenant pour a l'angle que fait la normale à la face considérée menée vers l'extérieur du corps avec le champ (direction et sseiis), la relation (6) donne en grandeur et en signe la densité magnétique sur la face considérée. Dans le cas d'une section droite, on retrouve bien :
le signe -f- convenant si le champ sort de lasubstance(cosa:=-f-i), el le signe — s'il entre dans la substance (cosa = — i). Dans le premier cas, g- est positif si la substance est magnétique (.-3 >> o) el négatif si la substance est diamagnélique (5<;o); ce qui est bien conforme à ce que nous avons vu plus haut.
Si l'on considère, dans le corps aimanté, un cylindre ayant toujours ses génératrices parallèles à la direction du champ, mais terminé par deux bases obliques, le moment magnétique de l'aimant cylindrique est encore égal au produit de son volume par l'intensité d'aimantation. Soient, en eflfet, q la valeur absolue de la quantité de magnétisme portée par chacune des deux bases; a- la valeur absolue de la densité, et s la surface de l'une des bases AA. On a
(7) y = 5J = 5-3 cosa = 8-3.
a étant ici l'angle aigu de la normale à la face et du champ (pour que cosa soit positif) et S la section droite du cylindre. Or, le moment magnétique D\L est donné par 011= ql, en appelant / la distance NS des deux pôles, c'est-à-dire des centres de gravilé des deux faces; on a donc, en appelant (^ le volume du cylindre :
(3) ' OÏL = S-3/ = p-3.
Nous allons montrer que la relation OÏL = ^^.3 subsiste encore pour une portion H de forme quelconque d'un corps homogène, P. - II. 8
ni CHAPITRE 11.
soumise à un champ magnétique uniforme, détachée du reste du corps par une fente infiniment mînce.
Rapportons les points du corps à Irois axes de coordonnées rectangulaires OX, OY, OZ (Jig- 56) en choisissant l'axe OX
dans la direction du ciiamp Décomposons le volume H par des cylindres à section infiniment pente et a geneialrîces parallèles à la direction OX du champ. Aux points oii ces cylindres rencontrent la surface limite du volume H, c'est-à-dire la fente qw l'entoure, apparaît du magnétisme sans qu'il en existe ailleuis: la distribution du magnétisme pour le volume H est donc entièrement superficielJe. Mais les pôles N et S sont placés tcî dans l'inUrienr du volume. l'our trouver la position de ces pôles considérons un des cylindres élémentaires AA,'; en appelant S sa seclioi* . droite eta l'intensité d'aimanution, quantité constante pour toute l'étendue du corps homogène soumis au champ uniforme, la qu)i^ tité de magnétisme que possède son extrémité nord A est SS;'' donc X, y e,\. z sont les coordonnées de A, on a, pour les coordonnées X. Y et Z du prtie nord N [n» 4, relation (i)].
i Q\ = ssax,
(6) QV = SS.V,
( Q7. = vs.1;:;
1(1 signe ï s'étendant û toutes les extrémités nord des cylindra élémentaires, et Q représentant la quantité totale de magnétisinc nord de la portion H. On a de même, en appelant ;;', ^ et = les coordonnées de l'extrémité sud d'un des cylindres élémentaires,
AIMANTS. Il 5
X', Y' et TJ les coordonnées du pôle sud S,
QX'=2Sr'iar', Qr=vs57,
La comparaison des deux dernières des relations (8) et (9) Dnne Y'= Y et Z'= Z : ainsi, la ligne des pôles NS est parallèle la direction OX du champ. D'autre part, en retranchant l'une le l'autre, membre à membre, les premières des relations (8) il (9), il vient
(10) Q(X— X') = 2S.'i(aT — x') = 52S(a: — :r').
Or, X — X' étant la distance NS des pôles, Q(X — X') est le moment magnétique OÏL de la portion H considérée; d'ailleurs, SS(x — a/) représente le volume total i^ de H ; on a donc
Ainsi, quand un corps homogène est placé dans un champ uniforme, le quotient du moment magnétique d'une portion quelconque de ce corps par son volume est égal à l'intensité d'aimantation.
Dans le cas où le champ n'est pas uniforme ou bien où le corps n'est pas homogène, chaque portion infiniment petite peut être considérée comme homogène et placée dans un champ uniforme :
le quotient —7— du moment magnétique infiniment petit ddX^ par
le volume dv représente l'intensité d'aimantation 5 en cet endroit; fflâis celle-ci peut varier d*un point à un autre du corps.
Considérons maintenant un corps quelconque capable ou incapable de posséder du magnétisme rigide, n'ayant subi que l'action (fa champ magnétique dans lequel il est placé actuellement, ou ayant subi l'action de champs antérieurs. Nous avons vu (n° 15) jo'on peut trouver, comme dans le cas précédent, des directions fe plans telles que, si une fente vide infiniment mince était faite ans cette direction, il n'apparaîtrait pas de magnétisme sur la ir/ace ainsi formée. La ligne d'intersection de deux de ces plans ippelle la direction de V aimantation au point considéré; le
Il6 CHAPITRE II.
sens de V aimantation est le sens qui va du pôle sud au pôle nord de raimant infiniment petit qu^on obtiendrait en séparant par des fentes infiniment minces la portion de la matière considérée du reste; enfin, comme ci-dessus, on appelle intensité d'aiman-
tation 5 le quotient -^ — du moment magnétique dOXL de cet aimant
infiniment petit par son volume di\
Ainsi V aimantation est une grandeur dirigée, ayant une ioteosite, une direction et un sens. Appelons a, p, y les angles que fait avec les trois axes de coordonnées rectangulaires raimantation d^ntensité d en un point; les grandeurs A, B et C, définies par
(12) A = -3 cosa, B = <5cosp, C =-5 cosy,
sont appelées les composantes de l* aimantation suivant les trois axes.
D'après la manière dont nous avons établi plus haut la relation (6),
(6) a = r3cosa,
on voit que cette relation est applicable dans tous les cas, pourm que a représente l'angle que fait Taimantation avec la normale i la surface du corps en contact du vide, tournée du côté du vide, à l'endroit où l'on considère la densité o-.
L'aimantation est dite uniforme quand elle a partout mêm* valeur (Intensité, direction et sens).
On appelle intensité d^ aimantation moyenne ^m d'un aimant le quotient de son moment magnétique On par son volume v.
L'inlensité d'aimantation moyenne se confond avec l'inteosité d'aimantation proprement dite quand l'aimantation est uniforme.
17. Induction magnétique. — Soient, en un point, X, Y, Zlcs i trois composantes du champ, suivant trois axes de coordonnées • rectangulaires et A, B, C les trois composantes de l'aimantatioii \ pour le même point par rapport aux mêmes axes. On appelle induction magnétique la grandeur dirigée dont les projectioos
^posantes) a, b, c sur les trois axes sonl données par dloit que les dimensions de Vinicnsitê d' induction «!.
Lies mêmes que celles de rinlensilé d'un champ magnétique l'une intensité d'aimantation.
tour le vide, A, B et O étant toujours nuls, l'induclion se con- I avec le champ; mais il n'en n'est jamais rigoureusement ainsi
substance pondérable.
^ns les corps incapables de conserver du magnétisme rigide, Mnlation a toujours même direction que le champ; l'induction MÏ cette direction commune, comme on peut le voir facilet d'apr^-s les relations de définition (i); elle a, en outre, lou- I le sens du champ, même dans le cas uù A, B, C sont négatifs S diamagnétiques), car alors leurs valeurs sont extrêmement -â-vis de X, Y et Z. Il en est encore de même pour les B capables de conserver du magnétisme rigide dans le cas où Mntation a m^mc direction que le champ : ce qui a lieu, en lulier, si le corps n'a jamais été soumis qu'à des champs de sdirection; mais en dehors de ce cas exceptionnel, pour ces t l'aimantation n'ajrant pas, en général, la direction du champ, Tinduclion a aussi une direction diirércnie.
18. Flux, ligne et tube d'induction. — Le Jlux d'induction magnétique se définit au mo^en de l'induction magnétique comme le flux de forces se définit au moyen du champ. Ainsi, en appelant ds l'aire d'un élément de surface, ilii l'intensité de l'induction et 3 l'angle que fait l'induction avec la partie positive de la normale ù l'élément, le flux d'induction rf* â travers l'élément est donné
1(1) rf* - ^Icmad,.
et pour une surface d'élendui somme des flux à travers les peni décomposer la surface, i
fin
le flux d'induction * est la Ils éléments en lesquels on même sens, par continuité,
comme partie positive de la normale
( 9,) 4> = / ilb cosot ds.
Dans le cas du vide, l'induction se confondant avec le champ, le (lux d'induction se confond avec le flux de forces. Ces deux grandeurs ont mêmes dimensions.
Nous pouvons faire pour le flux d'induction les mêmes remarques que pour le flux de forces.
Si Ton change la convention pour la partie positive de la normale, le flux d'induction conserve la même valeur absolue, mais change de signe.
Le flux d'induction est nul si l'induction a une direction langenle à l'olément considéré. Il est positif ou négatif, suivant que l'angle a est aigu ou obtus.
On appelle ligne d^ induction la ligne décrite par un point qui marcherait toujours dans la direction de Tinduction.
Si, par tous les points d'un contour fermé, on mène les lignes d'induction, on obtient un tube d^ induction.
Les lignes et tubes d'induction sont à l'induction ce que les lignes et tubes de forces sont au champ. Remarquons, en particulier, que le flux d'induction est nul tout le long de la paroi d'un tube d'induction, puisque l'induction est tangente à la surface de chaque élément.
Considérons, dans un milieu aimanté, un élément de surface/» {fio' 57). Pratiquons dans le corps une fente vide plane, infiniment étroite, à faces parallèles à p. Dans cette fente menons un élément de surface q^ parallèle à /?, de même étendue cb, et formant avec p les deux bases d'un cylindre droit, qui découpe dans la face de la fente un élément /*. Nous allons montrer que le flux de forces Jcp, à travers l'élément y, est égal au flux d'induction c/4> à travers l'élément/).
Pour cela, rapportons les divers points à trois axes de coordonnées rectangulaires OX, OY, OZ. Le champ qui existe en q se compose du champ qui existe au point infiniment voisin en/?, ayant pour composantes X, Y et Z, et du champ d'intensité 4TaT, en appelant t la densité magnétique en /*, dirigé suivant la
lormale N à q, dû aux couches de magnétisme rendues libres par la formation de la fente vide. Ce dernier champ se projette en vraie grandeur sur la normale N à l'élément q ; sa projection est donc 4~3' = 4"^cos(i), en appelant -3 l'intensité d'aimantation
Fis- 57.
I t'ansi
qoy
fait l'aimantation avec la normale N.
Quaot au premier champ, qu'on doit composer avec lui pour ivoir le champ total, en q, il a pour projection sur la normale N, en appelant X, [jl, v les angles de cette normale avec les axes de coordonnées, XcosX + Ycos}ji+ Zcosv. Le flux de forces à tra- »m y est donc
rfo = (Xco5X-(-Yc
^)ds.
Maj'sdcosb) représente la projection de l'intensité d'aimantation sur la normale IN ; cette quantité est donc égale, en appelant A,
fi, Clés composantes de l'aimantation, à AcosX-f-Bcosjx+Ccosv.
En remplaçant, il vient
i, Jç = [(X-(-4iA)cosX + (Y + 4'rB)cosji + (Z + 4^C)ci
vjrfï
(1, en appelant a, b, c les composantes de l'induction, d'après ;s relations de définition [n" 17, form. (1)],
= (ac,
.7)rfï= rf*.
Ce théorème s'étend immédiatement au cas d'une surface étendue finie. Considérons, en effet, une surface V{Jig. 58) ; forme quelconque, limitée à nn contour quelconque aussi, eoée dans une matière aimantée homogène ou hétérogène, lenons deux surfaces R et R' parallèles à P, infiniment v
I30 rHAflTRE It.
de P et faisons le vide entre R et R' (c'est ce que nous appellelona former une gaine vide autour de P); enfin menons entre les surfaces R et H' une surface Q parallèle à P et limitée par un contour infiniment voisin de celui qui limite P. Nous pouvons, par des cylindres normaux à P et Q, décomposer ces detix snr-
Fig. 58.
faces en un même nombre d'éléments, tels que les élémenls p elq du cas précédent, le flux d'indtiction en p étant égal au flux de forces en q. En faisant la somme des flux d'induction pour tous les éléments de la surface P eten faisant la somme des flux de forces pour tous les éléments de la surface Q, nous obtiendrons deux : sommes égales. Or, la première représente le flux d'induction total à travers P et la seconde le flux de forces total à travers Q : ces deux flux sont donc égaux.
Nous pouvons maintenant établir facilement un théorème d'une importance capitale :
Le flux d'induction magnétique à travers une sur/ace fermée est toujours nul, quelle que soit la nature du jnilieu dans lequel elle est menée.
Considérons, en ciTet, une surface fermée P {^g- 5g); formons autour d'elle la gaine vide infiniment voisine RR'; enlla, menons dans la gaine vide une surface fermée Q parallèle à P. Le volume aimanté limité par la surface R est, un aimant complet, renfermant, comme nous le savons, autant de magnétisme nord quelle magnétisme sud. La surface Q, menée dans le vide, contient donc une quantité nulle de magnétisme à son intérieur. Dès lors, d'après le lliéorème de Gauss (n" 12). le flux de forces est nul à
travers la surface Q, et, connue ce flux esl ■ à travers P, le théorème est démoniré.
Rappelons que, dans tout ce qui précède, nous n'avons Jamais considéré que le cas de courants linéaires en nombre fini dans le champ : te théorème précédent peut ne pas s'appliquer au cas où la matière serait traversée dans sa masse par un courant. Ce dernier cas sera toujours exclu pour les appltcaiions de ce théorème.
Les conséquences de celui-ci sont très nombreuses; nous allons en indiquer quelques-unes.
Considérons deux surfaces, A, et A^, s'sppujant sur le même contour C {^g- 60); l'ensemble de ces deu\ surfaces forme une surface fermée. En menant par continuité ta normale du même
cdté, vers l'extérieur du volume limité par A| et A3, par exemple, la somme des flux d'induction correspondant à ces deux surfaces est nulle ; ces deux flux sont donc égaux et de signes contraires. Par conséquent, les flux d'induction à travers A| et Aj sont égaux et de même signe si l'on change le sens positif de la normale pour
CIUPITBE II.
une des deux surfaces seulement, de façon que la normale soit tournée dans le même sens sur Af et A2. Ainsi, à travers toutes les surfaces limitées au même contour, le flux d^induction a la même valeur. Cette valeur commune s'appelle le flux d'induction à travers le contour.
Menons un tnbc d'induction T {flg* 61 ) et limitons-le par deux
Fig. 61.
bases Ai et Aa de forme quelconque; en prenant la partie positive de la normale tournée du même côté (par continuité suivant une ligne d'induction); le flux d'induction a la même valeur à travers les deux bases Ai et A2. La démonstration se fait comme dans le cas précédent, en remarquant que le flux d'induction est nulle long de la paroi du tube de forces T. Ainsi : le flux d'induction consente la mt'mc râleur pour toutes les sections d'un même f u be d ' in du clio n .
Considérons, en particulier, un tube d'induction infiniment mince limité par deux bases planes Ai B| et A2B2 (flff' 62);
Fig. G2.
appelons ds^ et rAvj b'> .surfaces de ces bases, ai et a2 les angles <iue fait rinduclion avec la normale N| ou N2 menée d'un même
c6lé par continuité suivant la ligne d'induction, i)l)| et ySi>2 les intensités de l'induction; en écrivant que les deux flux d'induction A travers A| et A^ sont égaux, on a
Comme iHii, ilba, ds^ et ds2 sont des grandeurs essentiellement positives, il faut que cosa^ et cosas aient le même signe; les angles a^ et 0L2 sont donc, ou tous les deux aigus, ou tous les deux obtus. Dans les deux cas, on voit que le sens de l'induction est le même en A, et en Ao. Par conséquent : le sens de l'induction reste le même tout le long d'une même ligne d'induction.
Si les deux bases du tube A< et A2 sont des sections droites d'étendue t/S| et rfSo, la relation (6) devient
(7) ilb, dSi = Di», é/Sî, d'où ^'''* "^^^
On voit que les intensités de Tinduction en deux points d'une ligne d'induction sont en raison inverse des sections droites d'un même tube d'induction passant par les deux points considérés. Ainsi, quand les lignes d'induction se rapprochent, l'intensité de l'induction devient plus grande.
19. Coefficient d'aimantation ou susceptibilité magnétique. — Considérons maintenant le cas de substances qui sont incapables de posséder du magnétisme rigide, comme les gaz, les liquides et la grande majorité des corp5 solides. Pour ces corps, la direction de l'aimantation est toujours la même que celle du champ, le sens étant le même ou inverse, suivant que la substance est magnétique ou diamagnétique.
L'intensité d'aimantation ^ est d'autant plus grande que l'intensité du champ 3C est plus grande elle-même et 5 part de zéro
en même temps (jue 3C. Aussi le quotient ^ conserve une valeur
finie, même lorsque 3C tend vers zéro; quelle que soit la valeur de 3C, ce quotient a reçu le nom de coefficient d' aimantation ou de susceptibilité magnétique; en le désignant par A, on a donc
(I) A= --, d'où -3 = X3C.
Ainsi, pour une même valeur de Tintensité du champ 3C, Tintensilé d'aimantation est d'autant plus grande que la susceptibilité magnétique k est plus considérable ; on comprend bien ainsi le nom donné à ce coefficient.
Puisque les dimensions de Tinlensité d'aimantation et de l'intensité d'un champ magnétique sont les mêmes, la susceptibilité magnétique k n'a pas de dimensions; sa valeur est indépendante du choix des unités.
Remarquons que, d'après sa définition, k a le même signe que d; c'est-à-dire que la susceptibilité magnétique est positive pour les corps magnétiques et négative pour les corps diamagnétiques.
L'expérience prouve (voir plus loin, Chap. VI, n° 7) que, ])our les corps diamagnétiqucs ou faiblement magnétiques, coname le platine, le palladium, l'oxygène, le coefficient d'aimantation Ar est indépendant de l'intensité du champ. On voit qu'alors l'inlen* site d'aimantation de la substance est proportionnelle à l'intensité du champ, d'après la relation ^ = A'3C.
Pour les substances fortement magnétiques, comme le fer, le nickel, le cobalt, k dépend de l'intensité du champ et la proportionnalité ci-dessus n'a plus lieu.
Ce fait a amené la distinction de deux classes de corps magnétiques :
1° Ceux pour lesquels A* est une constante, qu'on a appelés corps paramagnétiques ;
2** Ceux pour lesquels k dépend de l'intensité du champ, qu'on a appelés corps ferromagnétiques.
Pour les premiers, k est très faible, comme pour les corps diamagnétiqucs; pour les seconds, k est au contraire considérable. On peut en juger par les nombres suivants :
Substance. Susceptibilité k.
Bismuth — <J,ooooi3
Palladium -+- o, 000061
Fer (pour 3C = 3,9) -i-i5i
Dans le cas des corps ferromagnétiques, comme le fer, il faul indiquer à quelle intensité du champ ^ correspond la valeur de A*, puisqu'elle varie avec l'intensité du champ.
Pour le vide, k esl nul; pour les gaz et, en particulier, pour Tair, il est extrêmement faible.
En nous reportant aux relations qui définissent Tinduction (iiM7) et en prenant pour direction de l'axe des X la direction commune, dans le cas qui nous occupe, au champ, à l'aimantation et à Tinduction, en désignant par rFC, ^ et i)l> les intensités de ces trois grandeurs, la première des relations (i) devient
En y remplaçant -3 par sa valeur A^C, elle devient
(3) 'llb = (n-47rX:)ae.
Si nous comparons la relation (2) avec la relation établie ci-dessus [n** 16, form. (5)], nous voyons que l'induction dans le corps est égale au champ dans une fente infiniment mince normale à la direction commune du champ, de l'aimantation et de I Imduclion. C'est ce qu'on voit, du reste, immédiatement aussi en se fondant sur l'égalité du flux d'induction dans le corps et du flux de forces dans la fente pour des surfaces de même étendue ioGniment voisines.
