OA X

d'où

Ainsi, le potentiel V = fw, en un point A de l'axe situé à une distance x du centre O, est donné par la formule

(t) V = 9.rt(i —

i Arrivons à l'expression de l'intensité du champ en A, qui est, par raison de symétrie, dirigé suivant Taxe du cercle (cet axe est une ligne de forces du champ). L'intensité CfC de ce champ est, comme nous le savons, égale à la valeur absolue de la dérivée du potentiel par rapport à x, ce qui donne

dx

En se reportant à l'expression de V, on voit qu'on a

(2) 3C = 27lï ^•

Ayant maintenant le champ en grandeur et direction, il noa§ reste à déterminer son sens. Nous savons que c'est celui du potentiel décroissant. Or, dans le cas considéré, w étant inférieur à 1% on voit que tu diminue et, par conséquent, que le potentiel V=«« diminue quand A s'éloigne du courant circulaire : le sens du champ est donc à la gauche de l^ observateur d^ Ampère qui regarderait vers r intérieur du courant circulaire.

Nous avons supposé le point A à gauche de l'observatear d'Ampère; les résultats précédents restent les mêmes, comme il est facile de le voir, si le point A est à sa droite; on doit seulement considérer comme négative la distance a: de A au plan du courant circulaire.

Dans le cas particulier où A est le centre O du cercle, la relation (2) donne, pour la valeur du champ,

22. Champ sur Taxe d'une bobine circulaire infiniment longue. — Le résultat que nous venons d'obtenir pour un courant circulaire va nous permettre de trouver la valeur du champ sur l'aie d'une bobine cylindrique de révolution possédant une seule couche de fils, dont les spires sont équidistantes et telles que la distance de deux spires consécutives soit infiniment petite par rapport au diamètre de ces spires. Ajoutons que, pour plus de simplicité, nous supposerons le cas théorique d'une bobine cylindrique infiniment longue.

Considérons, sur Taxe de la bobine, un point A {/ig, 27), puis deux plans infiniment voisins P et P' menés normalement à l'axe, respectivement à des distances or et x -\- dx de A. Soit /î| le nombre des spires de la bobine par unité de longueur; alors entre Jes deux plans infiniment voisins sont comprises n^dx spires.

Ces dernières produisent chacune même champ 'iizi au

ÉLBCTRODYNAMIQUE. 65

oint A; le champ qui résulte des /i| dx spires est donc

Fig. 27.

Toutes les couches d'épaisseur dx en lesquelles on peut décomposer la bobine donnant des champs de même direction et de même sens (gauche de l'observateur d'Ampère qui regarde à Vinlérieur de la bobine), pour avoir le champ total en A, il suffit

d'intégrer l'expression précédente, d'où

= 27:/2jl /

23. Champ produit par une bobine cylindrique infiniment longue de section quelconque. — Nous allons maintenant géné- , raliserle résultat que nous venons d'obtenir.

Considérons une bobine cylindrique infiniment longue à une seule couche de fil, à spires équidistantes infiniment voisines, nais dont la section droite a une forme quelconque.

Supposons d'abord le point A à l'extérieur de la bobine où Dous considérons le champ. Nous savons, d'après les expériences ^^ Weber, que l'action de cette bobine sur un point extérieur ^({uivaut à celle de deux masses magnétiques finies situées aux extrémités de la bobine, c'est-à-dire à l'infini. Par suite, ces masses magnétiques sont sans action sur une quantité de magnétisme placée en A : le champ en A est nul. Donc, comme première conclusion : Une bobine infiniment longue produit y en tout point extérieur y un champ nul.

(') Voir à la fin du Volume la Note D qui donne uoe démonstration plus simple des théorèmes établis dans les n"' 22, 23 et 24.

La proposition reste évidemment vraie lant que le point A est à Pextérieur de la bobine, même lorsque la section droite de celle-ci affecte la forme de deux boucles presque fermées bcd et efa^ réunies par deux portions infiniment voisines ab et de {fig- 28), car le point A est encore à Pextérieur du contour fermé abcdefa. Or, on a, suivant ab et de^ pour chaque spire, deux courants infiniment voisins de même intensité et de sens

Fig. 28.

contraires, dont l'action sur le point A est nulle. Tout se passe donc comme s'il ne restait que deux bobines infiniment longues, de sections droites cfa et ècrf, ayant même nombre de spires par unité de longueur, parcourues par un courant de même intensité, mais de sens contraires, entourant toutes deux k point A. Comme l'action totale sur le point A est nulle, on voit que si l'une des bobines produit en A un certain champ, l'autre bobine, parcourue en sens inverse par le courant, produit en K un champ égal mais opposé. Or, si l'on change le sens du courant dans l'une des bobines sans modifier son intensité, on change en A le sens du champ correspondant sans changer son intensité; on a alors deux bobines parcourues dans le même sens et produisant sur le point intérieur A le même champ. Par conséquent, deux bobines cylindriques infiniment longues, de section quelconque, produisent en un point intérieur le même champ, pourvu que dans les deux bobines il y ait même nombre de spires par unité de longueur et même intensité pour les deux courants.

En particulier, nous pouvons supposer que l'une des deux

ÉLECTRODYNAMIQUE. 67

bobines a une section droite circulaire et que le point A est situé SUT son axe; nous avons vu que le champ en A a alors pour valeur 4'ï^^i *• Comme nous venons de le démontrer, une bobine cylindrique, dont la section est quelconque, et pour laquelle le point A occupe une position aussi quelconque à son intérieur, donne en A le même champ si rii et i sont les mêmes. Par conséquent, en tout point intérieur d'une bobine infiniment longue de section quelconque, le champ est parallèle aux génératrices de la bobine, à la gauche de l'observateur d'Ampère regardant dans l'intérieur de la bobine et son intensité est donnée par

C'est un champ uni/orme.

Si la bobine, au lieu d'avoir une seule couche de fil, possédait A' couches de spires identiques, les effets de chaque couche s'ajoutant, le champ serait k fois plus intense; il aurait pour expression

Posons /i, /- = Nj ; il vient

La formule reste donc la même, à condition de considérer le nombre total N| de tours par unité de longueur, nombre provenant i^ toutes les couches de la bobine.

34. Cas d'une bobine de longueur unie. — Le cas d'une bobine infiniment longue, que nous venons de traiter, est théorique, et ne

sert que d'intermédiaire pour résoudre le cas pratique de la bobine de longueur finie.

Considérons une bobine cylindrique B (Jig' 29) dont la section

a une forme quelconque, du reste, ayant une longueur finie. Pour

trouver la valeur du champ en un point A de son intérieur,

prolongeons-la des deux côtés par des bobines cylindriques C etD

de même section et ayant même nombre N, de tours de fil par

aoilé de longueur, s'étendant jusqu'à l'infini, mais en ayant soin

de superposer à C et à D des bobines CJ et D' identiques dans

lesquelles un courant de même intensité i que celui du sys-

tème CBD circule en sens inverse. On ne change ainsi en lienla valeur du ehamp pour un point quelconque, puisque le champ produit par la bobine C annule celui produit parla bobine Cet qu'il en est de même pour les deux bobines D et D'. Or, Tensemble des bobines G, B et D forme une bobine de longueur infinie

Fig. 29-

donnant en A un champ dMntensité égale à 4^N| i parallèle aux génératrices et dont le sens est à la gauche de l'observateur d'Ampère. Quant aux bobines C et D', leur action pour le point A qui n'est pas situé à leur intérieur, peut être remplacée, comme nous le savons, par celle de deux surfaces magnétiques plana placées à leurs extrémités. Mais ces bobines ayant une longueur infinie, il n'y a à tenir compte pour chacune d'elles que de la couche magnétique qui est à l'extrémité 6| ou 62 située à distance finie du point A. Pour trouver la quantité de magnétisme qui doit être répandue sur les surfaces terminales planes 6| et 62 de ces bobines, remarquons : 1° qu'il faut superposer autant de couches magnétiques qu'il y a de couches de fil; 2® que chacune de ces couches de magnétisme est limitée par le contour de la spire terminale de la couche de fil considérée: 3^ que si e est la distance de deux spires consécutives, la densité magnétique pour chacune des

couches magnétiques est - (voir n® 8). En appelant n^ le nombre

de spires par unité de longueur pour cette couche, comme on a /i|e =. I, la densité magnétique est ainsi égale à /i|i; 4° que la surface magnétique 6| qui est à la gauche de l'observateur d'Ampère placé sur la bobine B, de façon à regarder dans l'intérieur de cette bobine, doit être couverte de magnétisme nord, car elle se trouve aussi, vu le changement de sens du courant, à la gauche de l'observateur d'Ampère placé sur la bobine C; de même la surface magnétique 62 qui est à la droite de l'observateur d'Ampère placé sur la bobine B doit être couverte de magnétisme sud, car

ÈLECTRODTNAHIQUE. 69

elle est aussi à la droite de l'observateur d'Ampère pour la bobine D'.

Si la bobine B n'a qu'une couche de fil, ou si l'on peut négliger

les différences de section des diverses couches de fil, on voit que

Vensemble des surfaces magnétiques à chacune de ses extrémités

donne une densité magnétique égale à N| {, en désignant comme

toujours par N| le nombre de spires par unité de longueur de la

bobine dû à l'ensemble des couches.

En résumé, il suffit, pour avoir le champ en un point de l'intérieur d'une bobine de longueur finie, de composer avec le champ que donnerait la même bobine si elle était prolongée indéfiniment des deux côtés, le champ que donnent les mêmes surfaces magnétiques planes nord et sud placées à ses extrémités qui fournissent le champ de cette bobine pour tout point extérieur à la bobine. Conformément à ce qui est évident a priori^ on voit, d'après cela, que le champ en tout point d'une bobine de longueur finie a une intensité moindre que le champ fourni par la bobine prolongée indéfiniment, puisqu'à l'intérieur de la bobine les surfaces magnétiques nord et sud des extrémités donnent un cliamp de sens inverse à celui de la bobine infinie.

Dès que la bobine a une longueur un peu grande vis-à-vis de ses dimensions transversales, le champ à l'intérieur vers son milieu est sensiblement le même que si elle avait une longueur infinie. Prenons, par exemple, le cas d'une bobine à section circulaire d'une longueur égale à k fois son diamètre iv\ le champ que donnent les surfaces terminales magnétiques au milieu est dirigé

suivant 1 axe de la bobine et sensiblement égal à 2 ,^ ^ = — 7^ — >

en admettant, par approximation, que tous les points de la surface terminale de la bobine sont à la même distance kr de son milieu. L'intensité du champ en ce milieu est donc donnée par

On voit que, si la bobine a une longueur égale à dix fois son diamètre (^ = 10), on ne commet qu'une erreur de -^ en prenant en son centre, comme champ, celui que donnerait une bobine de longueur infinie.

Cette relation nous montre encore que c'est au milieu d'une longue bobine que l'on peut obtenir les champs magnétiques les plus intenses fournis par un courant. Aussi fait-on une application continuelle pour produire un champ magnétique intense de bobines cylindriques, le plus souvent à section circulaire, parce qu'elles se construisent plus facilement que les autres. Si la bobine est longue par rapport à son diamètre, le champ vers son milieu est sensiblement uniforme, ce qui est un avantage dans bien des cas, en particulier pour les mesures électromagnétiques, comme nous le verrons dans le chapitre consacré à ce sujet.

So. Champ produit par une couche magnétique uniforme plaide et d'étendue infinie. — Considérons une couche de magnétisme uniforme plane de densité o- et limitée d'abord à un contour circulaire de rayon R. Cherchons le champ qu'elle produit en t:in point A situé sur une perpendiculaire au plan du cercle passa^Kit par son centre O {^fig* 3o). Par raison de symétrie, la direction

Fi g. 3o.

du champ est cette perpendiculaire OA, qui est, par conséquenti une ligne de force. Il sufGtdonc, pour trouver l'intensité du champ et son sens, de chercher l'expression du potentiel magnétique en un point A de cette droite situé à une distance AO == a du cercle et de prendre la dérivée du potentiel par rapport à a.

Pour cela, considérons le potentiel donné en A par une couronne de la couche magnétique ayant pour centre O, pour rayon intérieur r et pour rayon extérieur r-hdr. Cette couche annulaire contient une quantité de magnétisme égale à 2Tzrdr.(Tj dont

tous les points sont placés à la même distance AB = y/a*-* -{- /* du

ÉLECTRODYNAMIQUE. 71

point A. Le potentiel e/V, donné par cette couche en A, est donc ^en vertu de la relation V=s ^— )

(1) aV = , — '

Pour avoir le potentiel V, donné en A par toute la surface de rayon R, il suffit d'intégrer l'expression précédente de o à R. On obtient ainsi

(a) ¥ = 271»/ 4-^. = 27r<r[v/a«4- R«— al.

La dérivée de V, par rapport à a, est donnée par

(3) -y- = 'iTTJ ^ — M •

Cette dérivée étant négative, si Test positif, V diminue quand a augmente et, par conséquent, le champ, toujours tourné du côté du potentiel décroissant, a le sens de O vers A. Au contraire, si 0" est négatif, le champ est tourné de A vers O. Ce sens est évident du reste a priori.

L'intensité 5C du champ est égale à la valeur absolue de --j-»

c'est-à-dire donnée par

(4) :Fe =

a a TT ( 1 —

v/aM-R«

Supposons maintenant que R devienne infini, il vient simplement

(5) 5C = |2iiTl.

Du reste, la forme du contour qui limite la surface magnétique uniforme et plane est évidemment sans influence sur la valeur du champ en un point A si les dimensions linéaires de cette surface sont infinies vis-à-vis de la distance du point A au plan magnétique ; la valeur que nous venons de trouver pour le champ est donc générale et s'applique pour toute surface magnétique uniforme, plane, de dimension linéaire infinie.

Nous avons établi cette propriété afin d'en déduire ce qui se

passe dans un cas intéressant pour les applications que nous en ferons plus tard. C'est celui du champ produit par le système de deux couches uniformes de magnétisme planes, parallèles, Tune nord ayant pour densité o-, Taulre sud ayant pour densité — », dont la distance e est infiniment petite vis-à-vis des dimensions linéaires de ces couches en un point A situé à une distance de ces couches infiniment petite aussi vis-à-vis de ces dimensions transversales.

On voit immédiatement que, si A n'est pas compris entre les deux couches, les champs produits en A par chacune des couches sont égaux entre eux (2 7tT), de même direction (normale aux surfaces magnétiques) et de sens opposés : V intensité du champ résultant est nulle.

Si, au contraire, le point A est placé entre les deux couches, les champs de même direction et de même intensité (aica*), donnés par chacune des couches, ont aussi même sens : l'intensité du champ résultant est égale à la somme ^iz^r des intensités de^ champs composants. Le champ est uniforme entre les deux surfaces magnétiques, excepté à une distance des bords comparable à la distance e.

Ce dernier résultat reste encore vrai si les deux couches magnétiques, infiniment voisines, sont courbes au lieu d'être planes, tout en restant parallèles et limitées au même contour, pourvu quei^^ rayons de courbures soient infinis vis-à-vis de leur distance fci parce que, pour un point compris entre elles, les surfaces ma* gnétiques peuvent être remplacées par leur plan tangent.

Telle est donc, entre les deux faces d'un feuillet magnétique, la valeur du champ produit par celui-ci : il n'est plus égal, comme on le voit, à celui produit par le courant correspondant, pas plus du reste que pour un point extérieur aux deux faces, mais situés à une distance d'elles de même ordre que l'épaisseur e du feuillet. Ce n'est que pour les points extérieurs, situés à une distance do feuillet vis-à-vis de laquelle e est un infiniment petit, qu'il y a équivalence pour le champ entre le feuillet et le courant correspondant.

26. Champ magnétique terrestre. — Comme nous l'avons vu, en l'absence de tout courant voisin, un circuit mobile parcouru

ÉLBCTRODTNAHIQUE. 7)

par un courant s'oriente. Il existe donc un champ magnétique

sans qu'il y ait aucun courant à proximité; on Tappelle champ

magnétique terrestre. Il est probablement dû, au moins en