Expression de la valeur du champ au moyen dupotentiel
Les propriétés du champ magnétique et du potentiel magnétique, ainsi que les relations entre ces grandeurs, sont absolument les mêmes que celles que nous avons vues dans le cas du champ et du potentiel électrostatiques ; les démonstrations sont aussi les mêmes {voir Tome I, Chap. II). Aussi allons-nous nous borner à rappeler ici ces propriétés et ces relations.
1° Il existe dans tout champ magnétique une classe de surfaces, dites équipa tçnt 'telles y dont tous les points ont même potentiel.
2** En tout point, la direction du champ est normale à la sur* face équipotentielle qui passe par ce point. Il résulte delà que si, parle point considéré, on mène la ligne àe force correspondante, comme elle a pour tangente la direction du champ, elle coupe à angle droit les surfaces équipotentielles, qui forment ainsi une classe de surfaces dont les lignes de force sont les trajectoires orthogonales.
La figure '>/?. représente les lignes de forces et les surfaces équipotentielles du champ produit par un courant circulaire, ou, du moins, les sections planes de ces surfaces, dans un plan passant par le centre du courant circulaire et normal au plan du courant (la partie supérieure de la figure est limitée à Taxe de celui-ci). Ces sections sont figurées par des courbes s^épanouissant à partir de la trace du courant sur le plan; quant aux lignes de forces, ce sont les courbes qui entourent la trace.
ÉLBCTBODTNAHIQIJE. 5;
3 ** Le champ esl dirigé dans le sens où le potentiel va en de-
croi
4'* En représentant par / la distance d'un point A d'une ligne de forces à une certaine origine O, prise sur celte ligne, l'intensité do champ est donnée par
5** Si oc est l'angle que font la direction et le sens du champ avec la direction positive d'un axe de projection, on a pour la projection X du champ sur cet axe
et la force F = ^q qui agit sur un point chargé d^une quantité} de magnétisme a sa projection / sur Taxe considéré donnée es grandeur et en signe par
6° En rapportant tous les points d^un champ magnétique à trois axes rectangulaires Ox^ Oy et Oi;, et en désignant par V le potentiel, on a, pour les projections X, Y, Z du champ sm les trois axes,
Ainsi, dès que la fonction V de or, j' et Zy représentant le potentiel en tous les points du champ, est connue, il en est de même des composantes X, Y, Z du champ ; en sorte que le champ se trouve déterminé aussi en tous les points de l'espace.
Les trois relations ci-dessus montrent encore que, si Ton augmente ou diminue d'une même quantité le potentiel de tous les points du champ, ni le champ, ni aucun des phénomènes magnétiques qui en dépendent ne sont changés, puisque les dérivées du potentiel par rapport k x, y et z restent les mêmes. Ce qu'il importe donc de connaître, pour une certaine portion du champ, ce sont les différences de potentiel des divers points de ce champ et non leur potentiel en valeur absolue.
20. Expression du potentiel produit en un point par un çoarant fermé, au moyen d'un angle solide. — Nous allons établir le théorème suivant, dont nous aurons besoin dans la suite :
Le potentiel en un point A d'un champ, dû à un courant linéaire fermé, lest égal au produit de ^intensité du courant par V angle solide sous lequel on voit, du point A, la face nord du feuillet équivalent au courant.
Rappelons qu'on entend par angle solide d'un cône la portion de la surface d'une sphère S (fig- 23), ayant pour centre le sommet du cône et de rayon égal à l'unité, interceptée par ce cane. Comme deux portions complémentaires de la sphère répondent à cette définition, on est obligé de les distinguer, d'où la mention^ finite
ËLECTRODTNÂMIQUE. Sg
dans renoncé précédent, relative à la face du feuillet qui doit être vue du point Â. En particulier, sur la figure aS, c'est la portion de la sphère intérieure au cône qui doit être prise pour angle solide, en raison du sens attribué au courant donné, car on aperçoit alors, du point A, la face nord du feuillet équivalent F, en choisissant celui-ci de façon à passer au-dessous du point Â. Si, auconlraire, le courant circulait en sens inverse, comme l'indique la figure 24 1 îl faudrait, pour voir du point A la face nord du
Fig. 23.
Fig. 24.
feuillet, choisir ce feuillet de façon à le faire passer au-dessus du po'nt A; l'angle solide à considérer serait alors la portion de la surface de la sphère située à Textérieur du cône (*).
Voici maintenant la démonstration du théorème.
Soient /l'intensité du courant qui produit le champ, s l'épaisseur du feuillet équivalent, o- la densité magnétique de ce dernier, doù £(T= i. Désignons par Vj la valeur la plus simple du poten-
(') Ajoutons, comme conséquence de la définition de Tangle solide, que la portion de la surface d'une sphère de rayon r, découpée par le cône, est égale ao produit de Fangle solide w par le carré du rayon de la sphère, c'est-à-dire que Ton a
De même qu'en Géométrie plane Tangle sous lequel on voit d'un point A un
segment de ligne, a des valeurs multiples différant les unes des autres de 2t:/i,
n étant un nombre entier et 27: la longueur de la circonférence de rayon unité,
ée même Tangle solide sous lequel on voit d'un point A un contour donné a
des Taleurs multiples différant de 4 '^^i n étant un nombre entier et 4''^ la surface
de la sphère de rayon unité.
Go
liel au point A; elle est donnée par V| =5!^ celle relalioa
montre que ce potentiel en un point est égal à la somme des potentiels dus à toutes les portions du feuillet, prises d'une façon arbitraire tant au point de vue de Tordre dans lequel on les choisit que de leur dimension.
Pour évaluer Vj, prenons sur la face nord du feuillet un point quelconque B, et décrivons autour de ce point un contour fermé infiniment petit. Par ce contour, menons les génératrices d'un c^'lindre normal à la surface du feuillet; celui-ci découpe dans la face sud un élément B', de même étendue que l'élément B de la face nord (fi g* 25). Cherchons la valeur du potentiel, an point A, provenant des deux éléments B et B', respectivement
Fig. 25.
placés il des distances /• et /• -h dr de ce point. La quantité de magnétisme nord répartie sur TélémentB, de surface ds^ est égale
à 0-^5, d'où le potentiel correspondant, en A, est égal à ; de
5 ds même, celui qui est dû à l'élément B' a pour valeur ; — t->
puisque l'élément porte une quantité — a- r/5 de magnétisme. Les deux éléments B et B' donnent donc, en A, un potentiel
r -\- dr \ r r -H di
c'est-à-diro
ds dr
en négligeant les inliniment petits d'ordre supérieur.
ÉLECTRODTNAIIIQUE. 6l
Abaissons du point B la perpendiculaire BC sur la droite AB'. Dans le triangle rectangle CBB', on a
B'C= B'BcosGB'B,
c'esl-à-dire, à des infiniment petits près d'ordre supérieur,
dr = z cos © ,
CD désignant par (f l'angle de la droite AB avec le prolongement de la droite B'B. En remplaçant dr par ecoscp dans l'expression du potentiel, celui-ci devient
sa (Is coso ri
De A comme sommet, circonscrivons à l'élément B un cône; soit diù son angle solide. Décrivons ensuite, du point A comme centre, avec r pour rayon, une sphère, et considérons la portion 6^5' de la surface de cette sphère située à l'intérieur du cône.
On a
ds' = r^diii,
D'ailleurs, à un infiniment petit près d'ordre supérieur, on a
ds' = ds coso,
Ou
r* dio = ds coso.
Keraplaçant dscos^ parr^rftu dans Texpression du potentiel, il vient pour valeur de celui-ci :
zir^ d(o
r= £T CIVU.
Pour obtenir le potentiel total au point A provenant de Tenenible du feuillet, il suffit de décomposer le feuillet en paires 'éléments tels que B et B', et de faire la somme des potentiels us^ en A, à chaque paire d'éléments. On a ainsi
1 encore
(Of étant Tangle solide, moindre que 4'^i sous lequel du point A on voit la face nord du feuillet.
Nous savons que, si Vj est la valeur la plus simple du potentiel en un point A dû au courant fermé d'intensité i considéré, les autres valeurs du potentiel en A sont données par
V = V,rr47:ne,
n étant un nombre entier quelconque. D'autre part, si C0| est l'angle solide moindre que 4"^^ sous lequel on voit du point A la face nord du feuillet, tous les autres angles solides tù qai jouissent de la même propriété diffèrent de celui-ci d'un certain nombre de fois 47^»
En multipliant par i les deux membres de cette relation, on a
Ainsi, la relation
V = ûo
est générale et tient compte, en donnant à tu les valeurs multiples que comporte Tangle solide sous lequel on voit un contour donné, des valeurs multiples du potentiel fourni en A par un courant fermé.
21. Potentiel et champ dus à un courant circulaire. — Comme application de ce qui précède, calculons le potentiel et le champ créés par un courant circulaire en un point A de son axe OA (/ig. '>^6). Supposojis, pour préciser, que le courant soit montant
Fig. 26.
dans la partie du circuit située en avant et que le point A soit sur Taxe à gauche du circuit.
ÉLECTRODYNAMIQUE. 63
Puisqu'on a, pour le potentiel en A, V= /to, il ne reste qu'à calculer (o^ angle solide sous lequel on voit du point A la face nord du feuillet équivalent. Nous prendrons pour lo l'angle inférieur à 4'^'i ce qui donnera pour V la valeur la plus simple du potentiel en A. Dans le cas actuel, il faut évaluer la surface de la calotte sphérique comprise dans l'intérieur du cône de révolution ayant pour sommet A et pour base le circuit circulaire, puisque si Ton prend, par exemple, pour feuillet équivalent, le feuillet dans le plan du cercle, sa face nord est tournée vers le point A d'après la règle d'Ampère. Or, pour une sphère de rayon R, la surface de la calotte intérieure au cône est égale à 2':rR.R(i — cosa), en désignant par a le demi-angle au sommet du cône. La valeur de Fangle solide s'obtient en faisant, dans l'expression qui précède,
R = 1 . Il vient donc
0) = 2'i:(i — cosa ).
Exprimons a en fonction du rayon /* du circuit, en posant
On a, en appelant B l'extrémité d'un des rayons du cercle,
