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Les deux brins M'oM et M^^M' du câble varieront donc» en sens contraires, de quantités égales :
BlM| ^= M M |y
pour passer de M et M^ à des positions infiniment voisines M« et M'i. On aura, d'après cela, constamment :
(3) « -h «' = const. = «0 + «'o»
c'est-à-dire (*) :
(4) sin. + sinV = 'iL+Jj^ et, en différenciant :
(5) COSa'da' = — COSada.
Cela posé, appelons q le poids du chariot vide, et Q celui du minerai. Le poids vertical Q + 9 du wagon plein M a pour composante tangcntielle (Q -f- q) sin a. Celle-ci gagne, en arrivant en Ml, une augmentation de valeur marquée par sa différentielle (Q + q) cos ad a. D'un autre côté , la composante tangentiellc q sin CL du poids q du wagon vide M^ varie également, en descendant en U\j de q cos a da, c'est-à-dire, d'après la condition (5) qui relie les points conjugués : — q cos ad a. Comme, d'ailleurs, elle se transmet à la poulie par un moment de sens contraire, on peut dire, en d'autres termes, que le moment total gagne l'accroissement -f- 9 cos a da. Il augmente donc, en définitive, de la quantité:
(6) (Q -H 2^) cos ad a.
En ce qui concerne maintenant le câble, le grand brin M^ll, en se raccourcissant de MM^ ou d«, fait disparaître le poids xids àe cet élément (si xi désigne le poids du câble par unité de longueur), c'est-à-dire (2) : 4 tiJ R cos a d a. La composante tangentielle corres-
TRACTIONS NeCÂNIQDES. 763
pondante sera 4vi Rcosad a. sin a, ou, d'après (1) : vie cos ad%. On aura de même, pour le petit brin, la variation xi s' cos a da^ c'est-à-dire (5) : — xi s' cos x d a. Mais comme elle influence le moment total en sens contraire, on peut dire que celui-ci éprouve, en même sens, la variation : -{'Xiê' cos ada^ et, par conséquent, comme variation totale :
xi (s H- fT^ cos ad 9^ c'est-à-dire (3) :
(7) Vi («0 + •'o) cos a d «.
On reconnaît, d'après cela, en comparant les parties gagnées et perdues (6 et 7), qu'elles sont, l'une et l'autre, proportionnelles à cos ad a. Il suffit donc, pour que ces variations se compensent sans cesse, que l'on établisse, entre les coefficients constants, la relation :
Le théorème se trouve ainsi démontré, et nous reconnaissons que la cydoîde est une courbe d* équilibre.
690 — Nous pouvons, de même, déduire de cette analyse les formules données par M. de Hauer pour la construction, par points et tangentes, de l'arc cycloïdal d'équilibre qui joint deux points effectivement donnés.
Nous avons pour cela, d'après (4) et (8) :
sma 4- sm a' = . . J,
et, en particulier, pour les extrémités Mo, M'o ^u parcours : (9) sinoto -h sino/. = i vi tC
SBIt — Nous pouvons maintenant, pour plus de simplicité, transporter Torigine au point 0, en prenant pour axes coordonnés OMq et OM'o, de manière à réduire au minimum l'étendue de 1 épure du tracé M^M'^,
On a, pour opérer cette transformation, les formules :
X = OQ = jr'o — ^»
Y = MQ = y - I/o.
c'est-à-dire (10 et 12):
(14) X = R(2ot'o + sin2«'o — 2« — sin2«),
(15) Y = R(co8 2«o — C08 2«).
La position M, de la rencontre sera fournie par la condition s = ^\ ce qui donne (3) :
ou encore (1) :
sin oa + sin a^ sm«, = =2 ? ;
d'où Ton déduira (14 et 15) les valeurs correspondantes de X, et Y,.
On peut également déterminer le point M, qui est le plus éloigné du plan incliné MqM'o» ^^ P^i* suite, la flèche F = M, D delà rampe curviligne. Ce point est celui pour lequel la tangente est parallèle à la corde MoM'o» dont l'inclinaison ^ a pour valeur :
On a donc la condition :
smorj =
et, par conséquent (14 et 15), les valeurs correspondantes de X, et Y,. La valeur de la flèche est ensuite donnée par la formule :
F = M,D = MoQ, sin p — M,Q,cosp, c'est-à-dire :
693 — M. de Uauer a traité un exemple numérique, destiné à montrer qu'une faible flèche, et une différence minime de longueur de câble, sufQsent pour transformer un plan incliné en courbe d'équilibre.
Il prend comme données :
Q = 600k«, q = 750^, xrf = 1^*.
L'élimination entre les équations (il et 13) donne : «0 = 36<>57', a'o = 27M6'.
Le profil se construit alors à l'aide des relations (14 et 15) :
ces 2« = 0,58025 — 0,0020176 Y.
X = 1115,45 — 495,65 (2« + sin2flt).
La rencontre a lieu pour la situation :
La flèche correspond au point :
X, = li6'«,3 Ys = 70'» ,4 (X- = 32«0'.
Elle a pour valeur :
soit environ 2 pour 100 de la corde, qui est égale à :
L'arc total a pour longueur :
«'o — «0 = 283»,48 et réeart proportionnel entre Tare et la corde est seulement de
La hauteur de la cycloïde a pour valeur :
