DE DÉVIATION HORIZONTALE MAXIMA
BELATION DE MjA PUISSANCE AU CLISSEIHBNT
56 — Glissement en inclinaison. — Cherchons d'abord à évaluer la puissance que procurera aux parties raides d'un filon un glis-
sèment du toit sur le mur des parties couchées, eiTectué suivant la ligne de plus grande pente.
Désignons à cet effet par u le parcours le long de cette ligne, et par p la puissance correspondante. Elle aura pour valeur :
p = u ces a,
si l'on appelle a Tangle compris entre cette ligne de plus grande pente de la cannelure couchée et la normale au plan de la cannelure droite; a est également l'angle dièdre compris entre ce dernier plan et celui qu'on élèverait perpendiculairement à la cannelure couchée, suivant sa propre horizontale. Pour le déterminer, figurons en OB (fig 22), perpendiculairement au plan du tableau OPP'QQ', la direction de la cannelure couchée; / marque l'angle compris entre la ligne de plus grande pente OP de ce plan et sa projection horizontale OP'.
Le plan auxiliaire OQ qui lui est mené perpendiculairement suivant la même horizontale OB présente donc rinclinaison complémentaire 90 — ;'. La face BOA du trièdre ABC est située dans ce plan. Traçons de même en OC la direction de la cannelure raide, qui se trouve à gauche de la précédente OB sous l'angle A. La face COA est placée dans ce plan. L'intersection de ces deux faces est figurée par OA. Elle forme l'arête du dièdre cherché a.
Si nous coupons ce trièdre par une sphère, le triangle sphérique ABC fournira la relation connue :
Fig. 22.
ces A = — cos B ces C + sin B sin C ces a ,
c'est-à-dire :
cos a = — ces (90 — /) 005 j + sin (90 — /) sinj cos A,
ou enfin :
(19) — =s sinj cosj' cos A — cos j sin/,
formule qui résout la question» car il suffira d*y reporter pour A et j' leurs valeurs (10) et (15).
57 — Cette substitution se fera numériqueflaent dans chaque cas, et rien n'empêcherait même de l'effectuer ici d^uae manière générale. Mais comme les formules seraient compliquées, je me bornerai à transcrire le résultat pour les filons verticaux. La fonwle (19) se réduit alors à :
ces «0 = cos fo cos Ao.
On a, en premier lieu (16) :
sîn t cos 1
ces/
Vcos* t -h tang" 9 de même (11) :
/«/vx . 1 (cos* t -f tang* ^)*
(20) cos* 4,= ^ -T 15 .
1 + tang* Afl (cos* t + tang* J)* -h sin* i tang* 9
Il s'ensuit donc :
j sin* 1 cos* i (cos* i -|- tang* 9)
^^* "^ ~ (cos* t -f tang* 9) (1 + tang* 9) '
c'est-à-dire enfin :
/ojx fP\ • • -4 /* — sin*i cos*^
(21) ( — 1 = Sin l cos t 1/ . . . , ;-r •
^ ^ \uJo V cos* i -f lang* 9
— Si, au lieu de rattacher la puissance p au glissement u effectué suivant la pente, on la rapporte à la chute verticale A, il suffira de substituer à m sa valeur :
sin /,
et le rapport deviendra :
(22) -T- = -: — V = sm î cotant î' cos A — cosj.
Cette formule permettra de prévoir la puissance p que pourrait produire une chute A du toit, ou, inversement, d'apprécier ce qu'a dû être cette dernière, en une ou plusieurs fois s'il y a eu des réouvertures, en eflectuant la mesure directe de la puissance p, dans les cas où elle présente une régularité sufGsante.
On aura en particulier pour le filon vertical :
f ^ j = cotang jo' cos A^ ,
ou, en substituant les valeurs (17) et (20),
(23) f ^ ) = sm t cos i cos 9 ■- — ^^ --. .
^ ^ \hJo tangM + cos*i
59 — Glissement en direction. — Supposons, en second lieu, que, sous l'influence de poussées longitudinales, le toit éprouve un rejet horizontal égal à v, suivant la direction des cannelures couchées. Le filon s'ouvre encore dans ses parties raides par ce mouvement, et nous pouvons calculer la puissance q qui prendra ainsi naissance.
Elle aura de même pour valeur :
q = V cos p,
si ^ marque l'angle compris entre la direction des parties couchées et la normale des cannelures raides.
En adjoignant à ces deux droites OB, OC (fig. 23) la direction OA de ces derniers plans, on construit un trièdre qui donne, par la formule fondamentale de la trigonométrie sphérique :
cos a = cos i cos c + sin b sin c cos  , c'est-à-dire :
cos p = cos A cos 90^ + sin A sin 90 cos (90® — j),
et enfin :
(24) — = sin A sin j,
dans laquelle on n'aura qu'à substituer pour chaque cas la valeur (10) de A.
Je me contenterai encore de faire cette substitution pour l'hypothèse du filon vertical, sinjo= 1. Il vient alors (H) :
(q\ . j tang* A, sin* t tang* S
V )o ^ 1 + tang* Ao (tang» ^ -f cos* i^ + sin* i lang' 8 '
ou, en réduisant :
\^/o y'cos* i 4- tang* J
60 — Glissement oblique, — En général les deux rejets se produiront à la fois. On en pourra parfois être averti par l'orientation des stries du mur, ou de certains miroirs de filons. Décomposons dans ce cas le glissement oblique w, suivant les directions du nord, de l'est et du zénith, en Ç,y),Ç, qui représenteront les coordonnées de son extrémité. La puissance r sera marquée par la distance de ce point au plan du filon raide représenté par l'équation (2). Elle aura donc pour valeur :
ï sin (d -\- S) — u cos (rf + *) + Ç cotang j V sin* (rf + 5) + ces* [d-^ ^) + cotang* j
ou, en réduisant :
r = sin J [ç sin {d + K) — u cos [d + ^)] + C cos j.
On peut par suite écrire, en appelant <p,t|»,x les angles que font les stries avec les directions coordonnées :
(26) — = sin j [ces f sin (d -^ ^) — ces ^ cos {d -f ^)] -|- ces x cos j.
On aurait en particulier pour le filon vertical :
(27) I — j = cos 7 sin (d + *) — cos + sin (d -f *).
61 — Les mêmes problèmes peuvent se résoudre par la géométrie descriptive, puisqu'ils se réduisent à des constructions de plans. Il serait inutile de rentrer à cet égard dans des développements aussi étendus. Je me bornerai, comme exemple, à la recherche de la déviation d'un filon vertical, ce qui revient à la détermination graphique de A^ et de jV-
Prenons à cet effet un plan vertical XY (fig. 24) perpendiculaire à la direction 0« de la stratification. Si i désigne l'inclinaison du terrain, le parement qui sépare, par exemple, la bonne couche (du mur) de la mauvaise couche (du toit) sera représenté par ses traces »0S'. Donnons-nous en O/'la direction du système de fractures, qui forme un angle connu l avec celle de la stratification. Dans la bonne couche, le plan de fracture est vertical et représenté par ses traces fOs^, En passant dans la mauvaise couche, il se dévie et contient alofs» d'une part la normale ON du parement, qui formera par suite la trace verticale de la nouvelle cannelure, et, d'autre part, l'intersection de ce parement par le plan précédent /O*^, laquelle sera le crochon des deux cannelures consécutives. Cherchons la trace horizontale dé la nouvelle cannelure.
A cet effet, menons un plan de front xy. Il coupe le crochon en un point projeté horizontalement en /", car lout ce que renfermé
la cannelure verticale fOs^ est projeté sur sa trace horizontale Of. La projection verticale de ce point se trouve en /^, puisque tout ce qui est situé dans le parement «OSS perpendiculaire au plan vertical, se projette sur sa trace verticale OS/. Mais, du reste, le plan xy coupé nécessairement la cannelure inclinée suivant une parallèle à son intersection ON par le plan parallèle XY. La trace de cette cannelure sur le plan de front sera donc fn'. Or cette droite perce le plan horizontal en un point, qui doit être projeté verticalement
Fig. 2i.
sur la ligne de terre XY. Cette projection se trouve par suite en n. La véritable situation de cette intersection sera d'ailleurs en yi, puisqu'elle doit se trouver sur la droite xy, le long de laquelle se projette sur le plan horizontal tout ce que renferme le plan de front. Ayant donc en n la trace horizontale du crochon, c'est-à-dire un second point de la trace horizontale de la seconde cannelure» nous obtiendrons enfin cette dernière en joignant On.
En résumé, la fracture traverse la bonne couche, inférieure au parement sOS% suivant la cannelure verticale fOs^y et se dévie dans la mauvaise couche, supérieure à ce parement, suivant la cannelure inclinée nON. La déviation A^ de la direction sera donc fournie par l'angle fOn. Quant à l'inclinaison de la mauvaise cannelure NOn, on l'obtient, à l'aide de la. construction ordinaire, en NDY.
