THÉORIE ANALYTIQUE

1303 — Le criblage à la cuvCy qui sert de base à un grand nombre de procédés d'enrichissement, repose essentiellement sur l'antagonisme établi entre l'accélération que la pesanteur tend à imprimer au grain de minerai, pendant sa chute à Tintéricur d'un milieu résistant, et la réaction que ce liquide développe, dans une proportion qui croît avec la vitesse. Le premier de ces agents nous présente une force de masse^ le second, une action de surface. On comprend donc que leurs effets arrivent àsecontre-balancer, d'une manière variable avec la forme et la constitution des grains, et qu'il en puisse résulter un moyen de classification, groupant en semble les fragments qui présenteront certaines similitudes, provisoirement inconnues, et les séparant de ceux qui en diffèrent sous les mêmes rapports.

Pour étudier, par le calcul, ces effets très complexes, nous commencerons par faire une hypothèse qui, bien que singulièrement éloignée de la réalité, conduit cependant à des déductions, en concordance remarquable avec l'observation. Nous supposerons que tous les grains soient géométriquement semblables, et qu'ils restent, pendant leur chute, semblablement orientés dans le liquide.

Il ne reste plus, dès lors, que deux éléments variables de l'un à

l'autre, à savoir : la grosseur et la composition minéralogique. Cette dernière sera caractérisée par la densité moyenne^ que nou» représenterons'par 8, de telle sorte que le poids en kilogrammes soit^égal au produit, par 1000 8, du volume exprimé en mètres cubes. Celui-ci sera désigné, de son côté, à Taide d*une dimension quelconque, mais spécifiée, et homologue dans tous les grains. Nous l'appellerons le diamètre^ pour fixer le langage, et nous en représenterons la longueur par /. Dans ces conditions, le poids sera exprimé par oPS, si nous marquons par a une constante renfermant, indépendamment du facteur 1000, un certain coefficient géométrique, relatif à la forme du grain (*).

1304 — La masse de ce corps aura, d'après cela, pour valeur — ,

et l'équation du mouvement rectiligne de son centre de gravité se

formulera, en égalant le produit — Zû ^^^ somme algébrique des

projections des forces sur la direction du mouvement.

Celles-ci sont au nombre de trois, à savoir : 1° le poids a/*$, dirigé de haut en bas; 2^ la poussée du liquide, s'exerçant de bas en haut, et exprimée, d'après le principe d'Archimède (*), par le poids aP de l'eau déplacée; 3° la résistance dynamique du milieu, également dirigée de bas en haut, et que l'on sait être proportionnelle à la fois au carré de la vitesse ('), et à l'aire du maître-couple du mobile, c'est-à-dire au carré Je ses dimensions. Nous pouvons donc la représenter, à l'aide d'une nouvelle constante 6, qui dépend, comme la première, de la forme du corps, par blh)^.

(*) Par exemple —, si / esl le diamètre d'une sphère; ■ /— s'il désigne la diagonale

d'un cube ; -^ s'il représente celle d*un octaèdre, etc.

(^} Cette intervention de Thydrostatique, dans une question qui concerne un liquide continuellement agité par la traversée d'un essaim de grains solides, manque évidemment de rigueur; mais elle est permise, dans le cas actuel, en raison de l'écart qui existe déjà entre la réalité et l'hypothèse de la similitude, prise par nous comme point de départ.

(^) Expression approximative, mais très sufûsante dans la question actuelle (Haton de la Goupllliëre, Traité det mécanisme*, A4i),

CRIBLAGE A LA CUVE. 127

L'équation différentielle du mouvement devient ainsi :

(1) ^^=al^(,-i)-bl^,K

g dt

On y peut séparer les variables de la manière suivante :

^ dt =z

alS al(S^i)^bv'"

ou, sous une forme équivalente :

b(§^\) ^^ dv dv - at z=z î

al

\J^i(s^i) -tv y/^/(^-i)-.

On aura donc, en intégrant avec des logarithmes népérien» :

sans constante, puisque Ton doit avoir v = 0, en même temps que ^ = 0.

1305 — On voit par là que v, d'abord nul, s'accroit progressivement, mais sans pouvoir dépasser la valeur asymptotique :

s/jici-i).

car, au fur et à mesure que Ton en approche, par la pensée, t grandit au delà de toutes limites, et devient infini pour l'hypothèse (3).

En fait, la croissance est rapide, et, au bout d'un temps très court, le mouvement est devenu sensiblement uniforme, avec une

vitesse égale à V. M. de Rittinger a montré (*) que l'on peut considérer cette vitesse comme acquise au bout des durées suivantes» selon le calibre des grains :

1 seconde

On peut s'en rendre compte par le tableau suivant :

BIIIÉTII

■ilIlB.