AVERTISSEMENT

On trouvera dans ce Traité d'analyse la reproduction développée du cours que je professe depuis plusieurs années à TÉcole des Ponts et Chaussées.

Ayant à exposer les principes du calcul infinitésimal dans un nombre fort restreint de leçons et devant un auditoire dont la préparation est souvent incomplète, j'ai cherché à simplifier mon enseignement autant qu'il était possible de le faire sans rien sacrifier de la rigueur des raisonnements et sans rien retrancher de ce qui me semblait essentiel pour i'enchainement logique des démonstrations et des idées.

C'est dans le mênâe esprit qu'ont été rédigées ces leçons, et si j'y ai fait la place un peu large à quelques théories généralenxent exclues des ouvrages élémentaires, c'est que loin d'encombrer le corps de doctrine par d'inutiles hors-d'œuvre, ces développements m'ont paru de nature à le faire mieux comprendre et à l'éclaircir. U

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arrive quelquefois, en effet, qu'une conception nouvelle révélant entre des résultats anciennement connus des relations fort simples mais qu'on était loin de soupçonner, permet d'accéder ainsi par une route plus large et plus directe au but précédemment atteint par un chemin plus détourné. L'enseignement élémentaire a tout intérêt, selon moi, à s'approprier les théories qui présentent des avantages de cette nature, lorsqu'il peut en simplifier suffisamment l'exposé pour le rendre aisément accessible à l'intelligence de ceux, qui débutent. C'est ce que j'ai cherché à faire pour la Théorie des quantités géométriques, qui peut rendre dans une foule de problèmes, et notamment en mécanique, de si remarquables services, et qui jette une si grande clarté sur toutes les questions d'analyse supérieure (*).

La marche générale que j'ai adoptée dans ce Traité est celle qui est généralement suivie dans les ouvrages analogues.

Le calcul infinitésimal, par sa définition même, embrasse toutes les questions dont la solution dépend du principe fondamental et si merveilleusement fécond qui permet de substituer à un infiniment petit sa valeur priTicipale pour le calcul d'une limite.

Appliquée à l'étude des fonctions, cette méthode sert à traiter les deux questions suivantes :

I"* Étant données une ou plusieurs liaisons entre

(*) Les quantités géométriques sont celles que plusieurs géomètres désigpient sous le nom de quantités complexes : j^al préféré conserver la dénomination de quantités géométriques qui avait été adoptée par Gauchj {Mémoire sur les quantités géométriques^ Exercices (Vanalyse et de Phy^ sique mathématique, t. IX, 1847), et qui me semble exprimer d*une feçon plus exacte la nature des objets auxquels elle s*applique.

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des variables^ en dédui7^e les liaisons qui en résultent entre leurs accroissements infiniment petits : c'est le problème du calcul différentiel^ et sa résolution s'obtient par la considération de limites de rapports de quantités infiniment petites ;

2* Étant données une ou plusieurs liaisons eiitre les accroissements infiniment petits de certaines variables^ rechercher* les liaisons qui doivent exister entre ces variables eltes-^mêmes : c'est le problème du calcul intégral, et dans l'étude de ce problème, c'est comme limites de sommes que les infiniment petits interviennent.

Chose singulière, c'est ce second problème, d'une solution beaucoup plus difficile, qui s'est présenté d'abord à l'esprit des géomètres. Archimède y a été conduit par la recherche des quadratures y tandis que Newton et Leibnitz n'ont été amenés à traiter le premier que deux mille ans plus tard, par le problème des tangentes.

Mais c'est à ces derniers que revient la gloire d'avoir réellement créé le calcul infinitésimal en généralisant la méthode qu'ils avaient découverte et en établissant les principes fondamentaux qui en ont fait l'admirable instrument de calcul légué par eux à la science moderne.

Quelques auteurs, Duhamel entre autres, respectant l'ordre chronologique, font débuter l'étude du calcul infinitésimal par des considérations de limites de sommes. J'ai préféré, avec la plupart de mes devanciers, adopter un ordre qui me semble plus logique et qui consiste à traiter d'abord la question de la différentiation, plus simple et susceptible d'une solution complète, et à n'aborder qu'en second lieu le problème inverse, celui du calcul intégral, qui présente des difficultés beaucoup plus