Interpolation parabolliiue. — Supposons y de la forme

(i ) y « Ao + A, X + Aj X* + .. . + Aa-t .\»-' -*- Aw x\

Cette fonction renfermera n 4- 1 coefficients qui permettront <le faire passer la fonction par n-f 1 valeurs données.

Si les valeurs de x sont également espacées, réquation symbolique

qui pour les valeurs entières de n fournit les valeurs de y correspondant à un système de différences connues, peut ser\'ir à résoudre la question, en déterminant les coefficients A,, A^, A,, etc.

Pour cela, il suffit de développer la parenthèse en remplaçant

n par ^, h étant l'espacement uniforme des valeurs de j-

correspondant à y,, s/f- y.- On trouve ainsi l'expression :

où Ay^, AVoj AVo«- sont les différences successives formées avec les valeurs données y^iVi^Vt-*' ^^ V'

La fonction entière définie par Téquation (3) répond bien à la question, car elle est de degré n en â? et pour x égal à iP^,a7^ + A,x^+ 2A... etc.; elle donne bien y égal ày^,y,,y,... puisqu'elle rentre alors dans la formule symbolique (2).

400. Métiiocle de La^raiise applicable jk des valeurs de x non équidistantee. — Soient :

n + 1 valeurs de x pouvant être équidistantes ou inégalement espacées

yo Vi Vt — V'^i y«t

les valeurs correspondantes de y.

Posons :

y = PoVe + Pt î/i + ... + Pii-i yii-i + Piiyi»»

P^,, P,... P^,, P^ étant des polynômes de degré n en x. La valeur de y ainsi définie répondra à la question si les polynômes P^j, Pj... P^ satisfont à la condition que pour a? = rp^ on ait :

(Pj, = 0 (P,)<:^0 (PiK = l... (P«). = 0...,

i pouvant être fait égal à 0, 1, 2... n. Ces polynômes seront donc de la forme :

(x— Xo) (x — Xi) ... (x—Xf-t) (x — x,.n) ... (X — X») * (x<— Xo) (x<— X,) ... (X,— .x,i) (x<— x,-4.i) ... (X,- — X,.

Appliquons cette méthode à un exemple simple. Soient

Xo = — a X, = 0 x,=o,

1/0 = 0 vx-^ y«=o,

les valeurs données. La valeur de y se réduira à

et l'on aura

d'où

(x + a)(x — àS