A. — ACCROISSEMENT INFINIMENT PETIT D'UNE FONCTION

TS» Supposons une fonction

développable suivant la série de Taylor. Alors :

r(x + h) =f(x) + j rw + jj rw + ...

Si l'on appelle Aj^ l'accroissement h donné à x, et Aj/ Taccroissement correspondant de la fonction, c'est-à-dire la différence f[X'\'h) — f(x)^ la formule précédente s'écrira :

(1) Ay = ^' ^'<^>+tS '"'(•^^ + iS^"<^^ "^ -

Si Aa? devient infiniment petit, Ayet Aa? doivent être remplacés par dy et dx^ et, d'après le principe fondamental sur les infiniment petits, la relation précédente se réduit en général à la relation déjà connue

dy:=f(x)dx.

d^x Mais, si f\x) était nul, nous voyons que le terme 7-^ /'''(^r) devrait être conservé, et l'on aurait

dx*

dy^r(x)^^

CALCUL DIFFERENTïEr.

formule applicable aux points maxima et minima de la courbe figurative et qui donne dans ce cas la valeur de Taccroissement de la fonction : cet accroissement, on le voit, est du deuxième ordre.

L'expression de At/ permet, en nous reportant à la définition des maxima et minima, d*énoncer la règle suivante, plus générale que celle du S Ki .

Pour qu'il y ait maximum ou minimum^ il faut que la première dérivée différente de zéro soit d'ordre pair^ car alors le signe de Taccroissement de la fonction est indépendant du signe attribué à l'accroissement de la variable.

En général, la formule (1) est utile toutes les fois que, dans, une expression, les infiniment petits du premier ordre disparaissant, ceux d'ordre supérieur doivent être conservés.

Ainsi, supposons qu'une courbe AM et sa tangente AT étant données, on veuille calculer la limite du rapport > T

mt

lorsque Tordonnée tmp devient infiniment voisine de celle du point A.

On a d*abord pour une valeur finie Aj de kp :

m/ = /p — înp = Ax X ^ — Ay = Ax/*(jcj — Ay ;

remplaçons Ay par son développement, il vient, après réduction^

Ax' Ax*

d'où, à la limite,

lim.=i

Ap*

,. mt Ax'

-|rw.

408 COURS DE CALCUï- DIFFÉRENTIEL ET INTÉGRAL