FONCTIONS CONNUES

TO* Développement des fonctions exponentielles et losttrithmiqaes.

a. Développement de la fo)iction exponentielle, — La série de Maclaurin appliquée à la fonction a" donne

La série est convergente, car

Le reste tend vers zéro, car si Ton change n en n^- i> on

multiplie ce reste par r — -— ^, facteur qui tend vers zéro, tandis

que a** conserve une valeur finie pour a? > oo. On peut donc écrire pour toute valeur finie de x :

a« = i + ï /.a + ij (/.a)« + -j^ (^a)• + ... Dans le cas particulier où a = (?, la série se réduit à

et, en particulier pour rr = 1 , on retrouve la valeur du nombre e exprimée par la série connue.

Conséquence. — Il résulte de ce développement que c* devient infiniment grand par rapport à une puissance quelconque de a?, lorsque x augmente indéfiniment.

En effet, on a :

CALCUL DIFFERENTIEL

lim. -- = lini.

= Qo.

Par suite, le logarithme d'un nombre infiniment grand est infiniment petit par rapport à ce nombre.

fr. Développement de la fonction logarithmique. — La fonction h (1 + j-) (*) a pour dérivées successives

(1 .+ xi«

et en général