A. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES
i« ÉQUATIONS A DEUX VARIABLES
Généralités,
200. Déflnttlon : Inté^ralefi générales et intégrales particulières. — On appelle équation différentielle ordinaire ou système d'équations différentielles ordinaires toute équation ou tout système d'équations ne renfermant qu'une variable indépendante.
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Nous traiterons d'abord le cas le plus simple, celui (lun^^ ëquation unique entre deux variables x et y, dont lune, x par exemple, supposée variable indépendante, a ses différentielle^ d'ordre supérieur égales à zéro.
L'équation divisée par une puissance convenable de dr se réduit alors à une liaison telle que
\ '^' dx dx* dx* '" djc»/
entre j-, y et les dérivées de y, et l'ordre de l'équation est celui de la plus haute dérivée qui y figure.
Le problème de l'intégration d'une pareille équation consbH' dans la recherche de la relation la plus générale qui établie entre yetx satisfait à l'équation (1) : cette relation inconnue eM dite V intégrale générale de l'équation différentielle proposée.
Nous admettrons l'existence de l'intégrale générale ;Vuir Serret, Calcul différentiel et intégral, § 619 et suivants et nous nous bornerons à démontrer qu'elle doit renfermer un nombre de constantes arbitraires égal à l'ordre de l'équatiuii différentielle.
Supposons d'abord que les quantités qui entrent dans l'équation soient toutes réelles, en sorte que la liaison entre x et // puisse être figurée par une courbe.
xixn- "mu mnH
0 Xp x
Partant d'un point initial arbitraire m^ (t^, y^ on pourra prendre arbitrairement encore [n — 1) points consécutifs m,, m, .... m„j correspondant aux abscisses équidistantes:
Xç + dx
.Xq + 2dx.,.
Xo + (n — Ijdx,
ce qui revient à se donner y^, rfy^, rfVo--- ^""'l/o (Japrès les formules du § 130). Si maintenant on se sert de Téquation ilifférentielle donnée pour déterminer d^^y^, on obtiendra ainsi un (n+ 1)*' point w^, puis en opérant de même sur les n points r/jj, m^ ... m^ actuellement déterminés, l'équation différentielle fournira le point m^^ et ainsi de suite.
On voit que l'application continue de l'équation différentielle permettra de cheminer en quelque sorte de proche en proche sur la courbe figurative de l'intégrale à partir du n*"" point arbitrairement choisi. Cette courbe doit donc pouvoir passer par n points arbitraires, elle doit donc renfermer dans son équation n constantes arbitraires.
Un raisonnement tout analogue s'applique au cas des équations différentielles renfermant des quantités géométriques. Soit, par exemple, Téquation :
./ du d^u d*u\ ^
que Ton peut écrire
in r{v, F(u), F'(u), ¥^v) ... F-(i;)), = 0,
en désignant par F(t^) la fonction inconnue de t; à laquelle il faut égaler u pour satisfaire à la condition (1').
Ut
/ Un-î
Vn-,
Donnons à v à partir d'une valeur v^ une série de n valeurs consécutives v^y v,, v,, ... v^^^\ nous pouvons prendre pour u à partir d*une valeur initiale arbitraire u^ une série de n accroissements tiçWp w, t*„ ... u^^^u^^^ également arbitraires.
Ces accroissements étant liés à ceux de v par les relations différentielles générales déduites de ti = F(r), on a :
"o =F(iv,
(al
dUo =F'or't»0'
dX=F'od»to + F"ody;,
d»Wo = F'od'ro + 3F"od«ro ^^^o + F^^dol,
et les valeurs de F^, F^, F"^j ... Fj~* se trouvent ainsi déterminées.
Dès lors, l'équation (1") fournit la valeur de Fj et permet de déterminer d"t*o, et par suite u^ par la relation d'ordre correspondant dans la série des équations (a) lorsque v^ est arbitrairement choisi.
Les mêmes relations appliquées ensuite à partir de la position initiale i', fourniront t<„^j en fonction de t\^^ et ainsi de suite.
On voit donc que la courbe des valeurs de xt pourra se déduire de celle qu'on fera décrire arbitrairement à la variabl^^ r, mais qu'elle devra pouvoir passer par n points arbitraires. La fonction F devra donc renfermer n constantes géométrique? arbitraires.
Ainsi :
LHîUéfjrale générale d\ine équation différent icUe d'ordre n à deux variables doit renfermera constantes arbitraires.
Il résulte d'ailleurs des raisonnements précédents que ces n constantes doivent permettre de choisir arbitrairement n valeurs consécutives quelconques pour la fonction, ou en d'autres termes d'attribuer à la fonction et à ses n — I premières dérivées telles valeurs initiales que l'on voudra à partir d'une valeur initiale arbitrairement choisie pour la variable.
A chaque système de valeurs attribué aux constantes correspond une intégrale particulière.
Dans le cas des quantités réelles l'intégrale générale représente toutes les séries de courbes satisfaisant à Téquation différentielle donnée : chaque intégrale particulière représ'jnte une des courbes de ces séries.
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