Intégrales de divers ordres. — Soit

l2) F(A%l/,Ci,Cj,C,...Cn) =0,

Tintégrale gém^rale de Téquation (1).

Si Ton élimine k constantes r,, c,, c, ... Cf^ par le procédé indiqué au § 9?, on obtient une équation telle que

renfermant rr, y et ses k premières dérivées ; cette équation est dite intégrale d'ordre n — Â; de l'équation différentielle proposée.

Quelle que soit d'ailleurs la manière dont on procède et Tordre dans lequel on opère pour effectuer l'élimination des k constantes considérées, on arrivera nécessairement toujours à la nieme équation (3), car si Ton pouvait obtenir deux relations distinctes de cette forme, elles fourniraient par l'élimination de

jj. une relation avec n — k constantes où n entreraient que les

k — 1 premières dérivées de y. En éliminant ces n — k constantes par la méthode ordinaire, on arriverait donc finalement à une «'•quation différentielle d'ordre n — 1 où ne figurerait plus aucune constante arbitraire. On ne pourrait donc plus choisir arbitrairement les valeurs initiales de y et de ses (n — 1) premières «lérivées pour une valeur donnée de rr, puisque ces fonctions devraient satisfaire à une relation déterminée.

Ce résultat, incompatible avec celui auquel nous sommes arrivés plus haut, prouve évidemment que les différentes relations telle que (3) auxquelles on peut arriver ne sont pas distinctes les unes des autres.

11 n'en est évidemment plus de même si Ton élimine des constantes différentes ; en modifiant le choix des k constantes, on arrivera à autant d'équations distinctes qu'on pourra former

de combinaisons avec les n constantes prises k à, A ; en d^autres termes Téquation différentielle d'ordre n admettra

n^n-1)... (n — fe + 1)

intégrales d'ordre n — A;.

Si Ton élimine toutes les constantes, on retrouvera Téquation (1) elle-même.

Si Ton élimine n — 1 constantes, on obtiendra n intégrales premières renfermant les n — 1 premières dérivées de y et la connaissance du système de ces n intégrales équivaut à celle de l'intégrale générale, car on peut obtenir cette dernière par l'élimination des dérivées.

301 . Solutions singulières. — En dehors de V intégrale générale que nous venons de définir, il existe d'autres solutions dites solutions singulières ou intégrales singulières, satisfaisant également à Téquation différentielle proposée.

On peut démontrer leur existence de la manière suivante :

Soit

(a) F(x,y,Ci,c,...Cn) = 0,

l'intégrale générale avec les ?i constantes qu'elle renferme.

D'après la définition même de l'intégrale générale les valeurs de y et de ses dérivées fournies par l'équation (a) devront, après élimination de c^, c,, ... c^, reproduire identiquement l'équation différentielle donnée. Mais le résultat de cette élimination ne sera pas modifié si, considérant c,, c, ... c. comme des variables on les assujettit à des conditions telles que les équations déduites de {a) par différentiation ne soient pas altérées par la variation de ces lettres.

Ainsi, pour nous borner au cas du premier ordre, l'intégrale générale d'une équation différentielle

(•"' ^' fx) =

CALCUI. INTÉGRAL 449

étant

on en déduit, en supposant c variable :

d¥ dF d¥

et la valeur de -r^ déduite de ces deux équations, par élimi-

nation de c, sera évidemment la même et satisfera également

d¥ à Téquation (I), soit qu'on fasse disparaître le terme — de

en posant dc=:iO, ce qui ramène à Tintégrale générale, soit qu'on l'annule par la condition

qui, combinée avec (a), permet d'éliminer c et fournit une relation entre x et y sans constante arbitraire constituant une intégrale singulière de la relation (1).

302. Interprétation séométriqae. — L'existence de l'intégrale singulière dans le cas que nous venons de traiter est susceptible d'une interprétation géométrique extrêmement simple, lorsque l'intégrale générale ne renferme que des quantités réelles.

En effet, cette intégrale générale

représentant alors une série de courbes, la solution singulière , obtenue en éliminant c entre cette équation et celle

qui s'en déduit par dérivation en c, figure (S 130) Tenveloppe des courbes de la série.

D'ailleurs, il était facile de prévoir que la condition exprimée

par Téquation différentielle entre x,y et -7^ serait satisfaite par

CirJU

cette enveloppe, qui donne en chacun de ses points l:i

même valeur de -j^ que la courbe de la série avec laquelle elle se

raccorde : de plus, l'enveloppe étant seule dans ce cas, on voit qu'il ne peut exister de solutions singulières en dehors de cell» que cette enveloppe représente.

La recherche des solutions singulières d'une équation du premier ordre revient donc à la détermination de Tenveloppe de*^ courbes qui en figurent l'intégrale générale.

303. Méthode de LasPAnse pour la détermlnatloii m pri^»*ê de la solution flinsulière d'une équation du premier ordre. — Si l'équation différentielle était intégrée. la connaissance de son intégrale conduirait sans difficulté à celi de la solution singulière.

Mais on peut se proposer de déterminer la solution singulière sans effectuer l'intégration souvent impraticable de Téquatiurj différentielle. Lagrange a donné pour cette détermination une méthode qui peut être présentée de la manière suivante :

Soit

l'équation proposée.

Puisque l'intégrale singulière, si elle existe, doit représenter l'enveloppe de la série de courbes satisfaisant à l'équation différentielle, on voit d'abord que cette enveloppe ne peut exister que si les courbes de la série se rencontrent, c'est-à-dire si l'équa-

du tion (1) peut donner pour -^ plusieurs valeurs en un même point

du plan. En d'autres termes, il faut que l'équation (1), qui

détermine —^ en fonction de j7 et de y, soit au moins du second ax

degré.

Gela posé, Tenveloppe sera le lieu des points où deux courbes

infiniment peu différentes se croiseront ; à ces points correspondront par conséquent des racines doubles

de l'équation en -—- et leur lieu

devra s'obtenir en exprimant la condition pour que Téquation (t) ait une racine double, c'est-àdire en éliminant -T^ entre Téqua-

CLJD

lion '1) et sa dérivée en ~^.

Il faudra vérifier en outre que la relation en a: et j/ ainsi obtenue satisfait à l'équation différentielle, car il pourrait en être autrement, comme on s'en rendra bien compte par l'exemple suivant.

Considérons tous les cercles du plan ayant pour centres respectifs deux points quelconques 0 et 0'. La double série de ces cercles représente l'intégrale générale d'une équation différentielle facile à former. En effet, étant pris un point arbitraire m dans le plan, il existe toujours deux cercles de centres 0 et 0' passant en ce point; il suffit donc d'écrire Téquation différentielle qui donne en chaque

point m du plan deux valeurs pour ^ déterminant les directions perpendiculaires à Om et O'm. Cette équation sera, en désignant par a,b\a\b' les coordonnées des centres :

/dyy rix — a)^(x^-ay]dy (x — a)(x-a')

Or, d'après la nature des courbes représentant l'intégrale générale, on voit que le lieu des points pour lesquels l'équation

différentielle donne deux valeurs égales de 3^ est la droite 00'.

ax

et cette droite n'étant pas l'enveloppe des cercles, ne représente

pas une intégrale singulière.