sn K
Cela posé, les relations précédentes nous montrent que l'on a, quels que soient les entiers m, /i,
# «t, si m est pair, en écrivant a;n au lieu de m,
sni£ = sn(4mK + imiYJ + i/)|
<l'oii l'on voit que la fonction snii est doublement périodique, l^s
{)ériodes étant 4K. et SIIK^
Fig. io3.
iK'
^ jt
ZA-tt-;
iK'
En particulier, on a Pour II = Oy on a
sn( — tt) = — sna.
sno=:sn(2//;K 4- 2/1/K') =0, sn(± K) = 8n[(4/»r±: i)K 4- ^niYJ]
H. — Court de Cale, infinit., IV,
= ini.
l{C LIVRE VI. — CIIAP. III, § IV.
' 2 — = iK', on en conclut
sn(zt:/K')=:sn[2mK-4-(2/H-i)«K']=dz/».
Jr^ riz —-. — étant éffal à K dr iK', on aura
8in(K±iK')=T-
Les signes -{-et — que contient chacun des rectangles de la fig. io3 indiquent de laquelle des quatre formes dt ^* zfc lA* est la valeur correspondante de snu. 11 en est de même pour iesjig, io4 et io5, relatives aux autres fonctions elliptiques.
i290. De même que, en étudiant Tinversion de l'intégrale
' dz
"j nous avons considéré, outre la limite supérieure 2, le
radical ^i — z'^ comme une fonction de Tintégrale, nous considérerons aussi comme des fonctions inverses de l'intégrale elliptique
.-==: les deux facteurs du radical Ji — z- et
La première de ces fonctions,
y/7 — i*= ^i — sin*y = cos^ï = cosamtt,
est analogue à un cosinus ; nous la représenterons, pour abréger,
par
^ i — sn* u z= CDU,
La seconde fonction, que l'on représente par
^i — A'z' = V : — A'siu'o = A»,
n'a pas d'analogue parmi les fonctions circulaires. Si l'on supposait A^ = o, auquel cas u se réduirait à f, et par suite amu à m, snu à sinu, cnu à cosa, la fonction À^ = Àamii se réduirait à
FONCTION en//. 147
Tunité. Nous la désignerons par
Les valeurs de la fonction uniforme snu étant connues, on connaîtra parla même les valeurs numériques des fonctions cni/, dnu ; mais il reste à voir comment varieront leurs signes.
1291. Considérons d'abord la fonction cm/ = y^i — sn^u. Bien qu'elle soit donnée par un radical susceptible d'une double détermination, nous allons montrer, comme nous l'avons fait pour la fonction cosi/, que les points pour lesquels elle s'annule ou.devient infinie ne sont pas des points de ramification, et que, pour toute valeur de i/, cna a un signe complètement déterminé.
La fonction cni/ s'annule pour les valeurs de u correspondantes à snii = zfz I , c'est-à-dire que l'on a
cn[(4m±:i)K-4-a/i/K']=o.
Examinons d'abord le cas du signe supérieur, qui répond à
snw = -h I,
et cherchons la valeur de cm/ pour u voisin de K et égal à K + e. En vertu de la formule
8n[2K. — a) ==sntf,
on aura
sn(K.-4-i) = sn(K — «).
Donc sn(K-f~ c) est une fonction paire de e, et son développement suivant les puissances de t ne pourra contenir que des puissances paires et sera de la forme
sn(K -f- i) = i -t-rti*-+- ^s*-*-
On en tire
CD
(K-f- t) = v^i — (i -^at*-+-^i*-f- ...)*
Pour t infiniment petit, cn(K -H e) est sensiblement proportionne) à cette variable complexe e, et par suite, le radical, qui est fini, ne pouvant changer de signe, pour une variation infiniment petite de e, le point i/ = K n'est pas un point de ramification de la fonc-
lO.
l48 LIVRE VI. — CHAP. III, I IV.
tion cnu. II en sera de même pour la valeur K augmentée de 4ni¥i-h^niK!j c'esl-à-dire pour tous les points correspondants ■à snu= H- I.
Si Ton considère maintenant un quelconque des points pour lesquels snu = — i , comme on a toujours
sn( — u)=z — sDtt,
la fonction — sn u prendra dans le voisinage de ce point les mêmes valeurs que -h snu dans le cas précédent, et Ton verra de la même manière que ce point n'est pas non plus un point de ramification de cnu.
Passons maintenant aux points amK + (a/z + i)iK'y qui donnent sn ix =r oo . Si dans Fintégrale [1264]
on pose z = —,% cette intégrale se change en
Donc
sn(M — «K') = «' =
k^ïLU
Par conséquent, en faisant ix = — c, on a
sn(/K'4-t) = -r— »
Al sn t
<roù
en /K' + t) = -,
II s*ensuit de là que, pour t assez petit, cn(iK' + c)'est sensiblement proportionnel à — ) et, partant, i K'etles autres infinis de sn u
ne sont pas des points de ramification de cnu.
Donc cnu est, comme snu, une fonction toujours uniforme de u.
De plus, lorsque z parcourt deux chemins symétriques par rapport à Torigine O, yji- - z^ partant avec la même valeur dans les
RorfCTioN cnw: i49'
deux cas, les deux chemins entoureront autant dé fols l*un que l'autre les points de ramification de ce radical. Donc à deux valeurségales et de signes contraires de z = sn u et aussi de u correspondront deux valeurs égales et de même signe de ^i — z^ = cnu^ Donc la fonction cnu est une fonction paire de u.
1292. Pour déterminer la périodicité de en m, nous remarquerons^ comme au n^ 1281, que les racines de Téquation
OHM = cnuo doivent être comprises parmi les racines des deux équations
sni£:=+sn/iof 8n// = — sni/o, qui sont vérifiées par les valeurs
Soit C le chemin quelconque décrit par z pour obtenir la valeur n^
' 57-7- On obtiendra u [1289] en faisant parcourir à z, avant le chemin C, n fois alternativement les contours élémentaires (h-t)» ( — 7)' puis m — n fois alternativement les
contours (-+- 1), ( — i). Or le radical ^i — z*^ n'a pas d'autres points de ramification que +1 et — i ; il changera donc de signe seulement m — n fois dans le parcours des contours élémentaires, desorte que l'on aura
cn[a;wK-i-2/î/K'd=(--i)"*Mo] = (— i)'"-''cn(±:tto) = (— ^'''-''cnwo,
formule que l'on peut écrire plus simplement cn{2/»K-+-2/«K'±a)r=(- i)'«+«cnK.
En remplaçant tour à tour m par a m et par 2/72 4- 1 9 on en tirera
cn(4'wK -h 2/«K'dztf) = { — ij^cnw, cn[(4/?i -f- 2)K + 2/ï/K' ±: «]= (— ij^+'cDM.
iSo LITBE Tl. — CBAr. III, { IT.
En pariîcalier, on trouve
cn«=cn 4K.-T-*
= — en 'iK. -i- «"
= — en liK'-h M .
La fonction cnic a donc pour périodes 4K. ^^ 2K -H :2iK^
1293. E!iamînons la marche de la fonction cnu pour les diverses \aleurs de u.
Lorsque z parcourt Taxe des x positifs (au^essus des points de ramification) et que u parcourt le chemin correspondant OABC
(J!g' io4;, le radical ^ i — z- est d*abord réel etpositif* de r = o
Fij. 104.
fe.
K^tir
'K-JL'
'iK'
à3 = -f-ioude a=ioàii = K; puis il prend une valeur imaginaire négative, de la forme — i7i*, lorsque z varie de -+- 1 à -f- -
et de -f- j à -{- 00 , c'est-à-dire lorsque u varie de K à K -|- iR' et de K 4- iK' à -h I R'. Pour passer de :: = -i- x à z = -h i3C , il
faut multiplier -s par e^ =1, et, par suite,
devient H- ^1/ 1 5» valeur réelle et positive pour z imaginaire
FONCTION CDir. l5i
pure. On a donc les valeurs
cno = I, cnK = G,
en ^
cn/K' = -f-oo.
Si Ton avait décrit Taxe des x positifs en passant au^-dessous du point -f-i, M aurait pris, pour z = -j» la valeur K — tK',
^1 — z^ étant de la forme -f- */*^. Dortc
cn(K — /K')=-h -r-
Si z décrit Taxe imaginaire positif, de zéro à + loo , u croît de
zéro à + iK', et ^1 — z^ depuis i jusqu^à -+- oo , en restant toujours réel.
Si Ton fait prendre maintenant à u des valeurs égales et de signe contraire aux précédentes, la fonction cnu reprendra les mêmes valeurs que ci-dessus, puisque cn( — u) = cnM.
Lorsque z décrit un chemin rectiligne r&P^ on verrait, comme
au n** 1282, que ^i — 5^ décrit une hyperbole équilatère représentée par Téquation p^ = -^ — ■ — — — ■ » qui ne dépend que de la
cotangente de Tangle 2^, et qui correspond, par conséquent, aux
valeurs p et/;=i=-de Tangle p\ son module minimum a pour
valeur sina^. Pourr = o, Targumcnt de la valeur de cnu est nul; si z s'éloigne de Torigine dans un sens ou dans Tautre, Targument
de ^1 — z^ tend vers celui de Tune ou de Taulrc des asymptotes de l'hyperbole, en vertu de la relation
tang a or = -^— ^ — 9
r* COS2//
qui, pour r = d:oo, donne tangacj =tang2/;, d'où u = p ou p . Le point ^i — z'^ décrira l'une ou l'autre des branches de
•l5a LIVBE yi. — CHAP. III, $ IV.
riiyperbole, suivant que le radical partira de xéro avec la valeur i ou avec la valeur — i .
La figure ci-jointe (fig* io5) indique la distribution, dans chaque
Fig If
. io5.
jK*3iJC
Bf
-Kr
(JC-
rectangle de dimensions 4K. et 4I^^ ^^^ diverses valeurs de u qui correspondent à une même valeur de la fonction en u.
Si i< parcourt une des courbes renfermées dans le rectangle OABC ou dans le rectangle OA' B'C {fig» io4), on voit aisément
que, pour p aigu, le point ^i — z'^ décrit la partie inférieure de la branche de droite de Thyperbole, c'est-à-dire que cnu est de la
forme g^ — ili^ . Pour l'angle obtus /; -h -j correspondant à la
môme hvperbole, ^i — z^ décrit la partie supérieure de la même branche, el, par suite, cnw est de la forme g^ H- lA*.
De Téquation cn(aKit: m) = — en m, on conclut que, dans les quatre rectanglesqui composent le rectangle BB« Bj ^'' {fig* ïo4)» les signes sont respectivement contraires à ceux des quatre rectangles qui composent B Kj RBi.
L'équation en (aïK'di m) = — cnu montre qu'il en est de même pour les rectangles qui composent B B) B4 Vt^ et que les signes, dans le rectangle BB^'^B'^ B3, sont les mêmes que dans B R, B'Bi.
On voit que cnu, comme snu, parcourt la série complète de ses valeurs dans l'étendue d'un rectangle de dimensions 41^ el ^^'f et que, dans deux de ces rectangles composant un rectangle de <i|imensions 4K. et4K.^y les valeurs égales sont disposées symétriquement par rapport au centre B de ce dernier rectangle»
FONCTION tOM. -153
1294. Des propriétés des fonctions snu, cnu résultent immédiatement celles de leur quotient^ qui forme une nouvelle fonction elliptique, analogue à la tangente circulaire :
z snu
r =■ tang am u = tn tt = •
s cn«
Les valeurs de u pour lesquelles la fonction tnu reprend la même valeur sont celles pour lesquelles les deux fonctions snu, cnu reprennent des valeurs respectives soit égales et de même signe, soit égales et de signe contraire.
Or on a [1289 et 1292]
snu = sn[2mK+ a/i/K'-+-( — i )"*«]> cntt = (— ij'^+^cnfa/wK-i- a/i/K'dzw),
le signe ±y dans la dernière formule, pouvant être choisi à volonté. En discutant les formes communes aux valeurs générales des arcs correspondants à -H snu et à +cnM, ou à — snu et — cnu, on trouvera, pour la formule générale des arcs qui répondent à une même valeur de tni<,
tnu = tn[2;wK-i-2/i/K'+ (— !)"«].
On a, de plus,
tn(— «) =— tnu,
tno=:tn(2/iiK-f- 2/i/K') = o,
tnK = tn[(2m -4- i)K ■+■ iniKf] = 00 ,
tn(±/K')=: lira ^^ r=r Hm — =4==dbi,
z = i*Jl — Z* 3 = i« / I
tn(K-+-«"K')=:ln[(2/it-t-i)K4-('î7i4-i)/K']=^. 129o. Il nous reste à étudier la fonction
^ I — / * 5* = Aamtt = dnu.
On démontrera, absolument comme on Ta fait pour la fonction cnu, que dnu est une fonction uniforme de u dans toute Tétendue du plan. On a ensuite, à cause de la symétrie,
dn( — i/J = -hdn«.
Pour déterminer maintenant la périodicité de dn//, remarquons
i54 LIVRE VI. — CHÀP. III, § IV,
que les valeurs de u qui font reprendre à dnu une môme valeur dnuo doivent être comprises dans celles que donne la formule
u z= 2/?iK -4- 2«/K' ±: (— i)*" jfp
et pour lesquelles sn^u = sn^uo* La première s^obtient en faisant précéder le chemin C, qui donne la valeur Uq, du parcours alter-
natif des deux contours élémentaires (-I-t)' ( — 7)» répété n fois,
plus du parcours alternatif des deux contours élémentaires (-+-1),
( — i), répété m — n fois. Donc le radical ^i — k- z^ aura changé n fois de signe, et, par suite, il aura été multiplié par ( — i)"; on aura donc
âïi[imK -+- uniK'dz ;— i)'«iio] = (— i)«dn(di i#o)= (— O^dnwo, ou, plus simplement,
dn(2//iK-+- a/f/K'di «) = (— i)'*dn«.
En remplaçant tour à tour n par 2/1 et par 2/i -f- 1 , on en tirera
dn(2/7iK ~h ^niK* zt u) = dnu^ dn[2/wK -h(4«-h a)/K'±«]=: — dna.
En particulier,
diiw nr dn( — u)
= dn(2K-htt)
= dn(4iR'4-tt) :=r— dn{2/K'-M/).
La fonction dnu a donc pour périodes 2K et 4iK.'.
Lorsque z et m parcourent Tun Taxe des x positifs, Tautrc le
chemin OABG {Jig* lôi), de 2=0 à z = -r^.o\i de u = o à
Al
w = K 4- iR', ^i — k'^z'^ varie de -f- 1 à zéro ; de 5 = -r à z =-f- x ,
ou de M = K -h t'K' à M == -h * K', ^1 — k'^z^ est de la forme — ih^ et varie de zéro à — 1 00 . De z = -|-oo àz=-f-iQO,
v/i — X*3*= — /v'z*^ i = — /oo
est multiplié par e* = i, et devient =4- oo . Donc on a
dno = I,
dn(K4- /K') — o, dniK'= -H 00 .
FONCTION dni/.
Si z avait évité le point + i en passant^au-^/e^^oi/^, on aurait en,
pour 5 = -j ï/ = K — iK', et ^i — k'^z^ aurait pris, au delà de ce
point, des valeurs de la forme + ih^. Dans ce cas, on aurait eu
dn(K — /K') =r o, dn(— /K') = — oo .
Lorsque z décrit l'axe des j^ positifs, dna varie do -t- i à H- oo . Le long des axes négatifs, dnii= dn ( — u) reprendra les mêmes >aleurs que ci-dessus.
Lorsque z décrit un chemin rccliligne re'P, ^i — k'^z^ décrira
la même hyperbole équilalère que ^i — c- et se déplacera suivant
l'une ou Tautre des deux branches, suivant que y i — k'^z^ partira de O avec le signe -H ou avec le signe - — .
On verra, comme pour la fonction cnii, que la distribution des
Fîg
. io6.
Y K*st
ir
signes des valeurs de dnu dans chaque rectangle de dimensions 2K et 4K.' est indiquée par \^fig- 106.
Ici, dnu parcourt deux fois la série complète de ses valeurs dans l'intérieur d'un rectangle de dimensions 2K et 4^^.'.
