Soit

l'intégrale générale de l'équation différentielle

et supposons d'abord que l'équation (1), si elle est algébrique, soit préparée de manière à ne contenir ni radicaux ni dénominateurs en X, j^, C ; et, si cette équation n'est pas algébrique, admettons que son premier membre jouisse, comme les fonctions sinus, cosinus et les exponentielles, de toutes les propriétés d'une fonction entière indépendantes du degré d'une telle fonction, c'est-àdire qu'elle ne devienne infinie, non plus que ses dérivées partielles, pour aucun système de valeurs finies de x^y^ C.

Le cylindre circonscrit à la surface (i), et dont les génératrices sont parallèles à l'axe des C, est déterminé par la condition qu'en chaque point de la courbe de contact avec la surface la normale commune à cette surface et au cylindre est perpendiculaire à l'axe des C. Donc le cosinus de l'angle que fait cette normale avec l'axe des C est nul, c'est-à-dire que l'on a

àY

5cj

D'après l'hypothèse que nous avons faite sur la forme de la fonc-

dY àY tion F, les deux dérivées partielles -r- > -r- ont des valeurs finies.

Donc l'équation ( 3 ) ne peut avoir lieu que si l'on a

Celle dernière équalion, joinle à réquation (i), délerminera la courbe de cqntacl de la surface el du cylindre parallèle à Taxe des C. Si l'on élimine C enlre ces deux équations, Téquation entre xetj^que Ton obtiendra sera celle du cylindre circonscrit qui projette la courbe de contact sur le plan des xy.

Le plan tangent à la surface et au cylindre en un point M de la courbe de contact contient à la fois la tangente à la courbe de contact et la tangente à la courbe de niveau qui passe par ce point. La trace de ce plan tangent sur le plan des xy sera la projection commune de ces deux tangentes, et, par conséquent, touchera à la fois la projection de la courbe de contact et celle de la courbe de niveau. Donc le contour apparent de la surface (i) est tangent, en chacun de ses points, à celle des enveloppées (i) qui passe par ce point.

Or la tangente à l'enveloppée qui passe au point (^, j>') a pour coefficient angulaire la valeur de y' tirée de l'équation différentielle (2). Donc la valeur de y tirée de l'équation de l'enveloppe est égale, pour chaque système de valeurs de x et dej^ satisfaisant à l'équation de l'enveloppe, à la valeur de y^ tirée de l'équation (a), c'est-à-dire que l'équation de l'enveloppe donne une solution de réquation (a).

La courbe de contact n'étant pas, en général, une courbe de niveau, l'équation de l'enveloppe ne se confondra généralement avec l'équation d'aucune des enveloppées et ne pourra se déduire de l'équation (1) par aucune particularisation delà constante C. Donc cette solution de l'équation (2) ne rentre pas dans l'intégrale générale, el, pour cette raison, on lui donne le nom de solution singulière.

Remarquons que l'égalife des valeurs de y en x et j^, tirées de l'équation différentielle (2) et de l'équation de Tenveloppe différentiée, n'a lieu que pour les points de l'enveloppe. Ces deux valeurs A^y' ne sont pas généralement identiques; elles deviennent seulement égales en vertu de V équation de Venveloppe.

852. Si l'on suppose maintenant l'équation (i) mise sous une forme telle que -rr^ ne puisse plus s'annuler, comme cela arrive, par exemple, lorsque l'équation est résolue par rapport à C et

SOLUTIONS SINGULlàRES. 379

mise sous la forme

l'expression du cosinus de Tangle de la normale avec Taxe des G en chaque point de la surface, ne dépendant pas, évidemment, des transformations que Ton peut faire subir à cette équation, doit conserver dans tous les cas la même valeur, et, par suite, l'équation (3) continuera à subsister pour tous les points de l'enveloppe. Mais alors, le numérateur ne pouvant plus s'annuler, il faut que le dénominateur devienne infini, ce qui donne la condition

\djc/

laquelle entraine l'une au moins des deux conditions

dF dF

Généralement l'une de ces conditions est la conséquence de l'autre; en effet, le coefficient angulaire de la tangente au contour apparent a pour valeur

Ce coefficient angulaire ne pouvant être, en général, ni nul ni infini en tout point de l'enveloppe, il faut, si l'un des deux termes du rapport est infini, que l'autre le soit pareillement. Il y a exception dans le seul cas où l'enveloppe se réduit à une droite parallèle à l'un des axes coordonnés.

Si donc l'équation (i) est mise sous une forme telle qu'on ne puisse plus satisfaire à l'équation (4), alors cette dernière devra être remplacée par les équations (5), qui sont généralement équivalentes.

11 pourrait se faire que la transformation apportée à l'équation (i) ne fît perdre à l'équation (4) qu'une partie de ses solutions. Alors, pour retrouver les solutions perdues, on ferait usage successivement du système (i) et (4) et du système (i) et (5).

38o LIVHE IV. — GHAP. II, § V.

853. Remarquons encore que Ton a, en un point quelconque delà surface (i).

dC dx ôx dF*

dC dy dy dF

Or, si Ton suppose la fonction F entière et rationnelle (ou jouissant de propriétés analogues à celles des fonctions entières et

rationnelles), les trois dérivées partielles de F ne pouvant s'éva-

. . dF nouir simultanément que par exception, la condition — = o, qui

a lieu en tout point de la ligne de contact, entraînera les conditions

,^. àO. dC

(6) ^^=00, ^.= co,

dont Tune est généralement la conséquence de l'autre.

Ces équations (6) peuvent encore se déduire de la condition que le plan tangent à la surface (i) soit, en chaque point de la courbe de contact, parallèle à Taxe des G. En effet, l'équation du plan tangent

ne peut être indépendante de ^ que moyennant les conditions (6) ou au moins Tune d'elles. Si une seule est vérifiée, le plan tangent est constamment parallèle au plan des z^ ou à celui des zxy et l'enveloppe se réduit à une parallèle à l'un des axes coordonnés. Nous avons vu [583 et suivants] d'autres méthodes pour obtenir la solution singulière comme enveloppe des courbes représentées par l'intégrale générale. Nous ne reviendrons pas sur les diverses remarques que nous avons présentées dans ces articles.

854. La condition nécessaire et suffisante pour que la courbe, obtenue en substituant dans l'équation (i) la valeur de C tirée de l'équation (3), satisfasse à l'équation différentielle dont (i) est l'intégrale générale est que la valeur de j'y tirée de (i) dans l'hypothèse de C constant, soit la même que la valeur tirée de la même équation dans l'hypothèse de C variable. Il faut donc que les deux

SOLUTIONS SINGVLIÂIIES. SSl

valeurs

âF âF dF^

f âx dx de dx

dy ôy dy

soient égales pour tous les points de l'enveloppe, ce qui exige que Ton ail pour tous ces points (en exceptant le cas où Ton a j^ = x> )

dC djc dy

Si on laisse de côté la solution — = o, on voit que la condition nécessaire pour que cette équation soit vérifiée est

dF dC

ày

. dF et, si -^ ne peut être supposé infini, cette condition se réduit à

ÔF

Mais, si cette condition est nécessaire, elle cesse d'être suffisante

lorsque la valeur de G que l'on en tire fait évanouir -r- > et par suite

, , dF aussi, en général, — [852]. Dans ce cas, il faut, après avoir éliminé G entre les équations (i) et (4), vérifier directement que la valeur de y tirée de l'équation ainsi obtenue est bien égale à celle que donne, pour chaque point de la courbe représentée par cette équation, l'équation ( i ) dans l'hypothèse de G constant ; et cela

dF dF d'autant plus, que la vraie valeur du rapport -r- : -r- pour G variable

pourrait être difliérente de la vraie valeur pour G constant.

Les relations

dF dF

dx dy

38t% LIVRE IV. — CHAP. II, § V.

sont, comme nous Tavons vu [593 et suivants], celles qui caractérisent les points singuliers de la courbe (i) pour chaque valeur attribuée à C. En éliminant donc C entre l'une de ces équations, la seconde par exemple, etTéquation (i), on aura généralement le lieu d'un point singulier de la courbe (i), et ce lieu pourra être l'enveloppe d'une des branches de courbe qui passent par ce point. Mais il n'en sera pas toujours ainsi.

Exemples. — I. Soit l'équation intégrale générale

(i) [jc ~ cy -4- fx - C)' - (j -H c)^ = o.

L'équation -^, = o est ici

d'où, en posant, pour abréger,

on tire

— Cz=zUy y -JrC — — u tt*, u^ii -^^ u\ --. o.

De là les deux solutions

l/=z:0 et «:= 9

c'est-à-dire

A chacune de ces deux solutions correspond la valeur j*' =1 — 1. Si l'on difTérentie maintenant l'équation (i) dans l'hypothèse de C constant, il vient

et la valeur àç. y' devient, pour x — C = u = o, de la forme - • En

difTérentiant une fois de plus, il vient, dans la même hypothèse,

2— 2y = o, c'est-à-dire

L'une de ces valeurs, j^ '= — i , est la même que celle qui résulte de la

SOLUTIONS SINGULIÈBES. 383

solution X 4- j= o. Donc cette solution représente Tenveloppe de celle des deux branches de coui'be qui correspond àj' = — i,

et cette enveloppe est en même temps le lieu du point double,

3'î intersection des deux branches. L'autre solution x-hy =

donne l'enveloppe d'une branche de la courbe correspondante à un point simple.